È un caso particolare dei sistemi di punti materiali



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13.11.2018
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È un caso particolare dei sistemi di punti materiali

  • È un caso particolare dei sistemi di punti materiali

  • È di grande importanza per le applicazioni pratiche

  • Un corpo è detto rigido se le distanze tra tutte le possibili coppie di punti del corpo non cambiano



Questa è un’astrazione che si applica tanto meglio quanto più i corpi sono indeformabili

  • Questa è un’astrazione che si applica tanto meglio quanto più i corpi sono indeformabili

  • Un corpo perfettamente rigido non esiste

  • Dal punto di vista microscopico la rigidità dei solidi è dovuta a forze di natura elettrica tra gli atomi costituenti



Lo studio del moto di un corpo rigido viene fatto normalmente

  • Lo studio del moto di un corpo rigido viene fatto normalmente

    • in un SR inerziale, oppure
    • nel SCM (sistema non inerziale ma con gli assi sempre paralleli a quelli di un SR inerziale), oppure
    • in un sistema con gli assi solidali al corpo rigido (sistema non inerziale, con assi che possono anche ruotare rispetto a quelli di un SR inerziale)


È determinato da una o più forze esterne, generalmente applicate in punti diversi del corpo

  • È determinato da una o più forze esterne, generalmente applicate in punti diversi del corpo

  • Le forze sono quindi caratterizzati da una forza risultante F e da un momento risultante

  • Ricordiamo che il lavoro delle forze interne in un corpo rigido è nullo quindi la variazione dell’energia cinetica è uguale al lavoro delle forze esterne



Le leggi fondamentali sono le equazioni cardinali della meccanica

  • Le leggi fondamentali sono le equazioni cardinali della meccanica

  • Si puo` anche usare la conservazione dell’energia meccanica nel caso in cui le forze in gioco siano conservative o si abbia attrito statico



Un corpo rigido è in equilibrio statico se e solo se valgono le due condizioni:

  • Un corpo rigido è in equilibrio statico se e solo se valgono le due condizioni:

    • è inizialmente in quiete:
    • P e L non variano nel tempo
    • Dalla prima eq. segue che la forza risultante è nulla , dalla seconda che il momento di forza risultante è nullo
  • Inoltre implica che è indipendente dal polo scelto e quindi il polo puo` essere un punto qualunque



Tutti i punti descrivono traiettorie uguali, in genere curvilinee, con la stessa velocita`, in genere varia

  • Tutti i punti descrivono traiettorie uguali, in genere curvilinee, con la stessa velocita`, in genere varia

  • Ogni punto ha lo stesso moto del CM: la conoscenza del moto del CM basta per conoscere il moto di tutti i punti del corpo

  • Gli assi del sistema solidale col corpo rimangono sempre paralleli a quelli del SCM



La dinamica e` quella di un punto materiale e non c’e` movimento rispetto al CM

  • La dinamica e` quella di un punto materiale e non c’e` movimento rispetto al CM

  • Momento angolare ed energia cinetica nel SCM sono nulle

  • QdM ed energia cinetica del corpo sono

  • L’equazione del moto del CM e`



Il momento angolare non e` indipendente dalla QM

  • Il momento angolare non e` indipendente dalla QM

  • e quindi il teorema del momento angolare non aggiunge alcuna informazione, infatti

  • Cioe` e` esprimibile in funzione di F



Ogni punto descrive un moto circolare, la traiettoria e` un arco di circonferenza, di raggio diverso per ogni punto considerato, ma con centro su una stessa retta, detta asse di rotazione

  • Ogni punto descrive un moto circolare, la traiettoria e` un arco di circonferenza, di raggio diverso per ogni punto considerato, ma con centro su una stessa retta, detta asse di rotazione

  • La rigidita` del corpo implica che tutti i punti abbiano la stessa velocita` angolare in un dato istante, parallela all’asse di rotazione



Se l’asse e` fisso nel tempo puo` cambiare solo in modulo e verso

  • Se l’asse e` fisso nel tempo puo` cambiare solo in modulo e verso

  • Nel caso piu` generale puo` cambiare anche in direzione: asse di rotazione variabile



Traslazione e rotazione sono i moti piu` importanti, in quanto vale il teorema, di cui non diamo la dimostrazione:

  • Traslazione e rotazione sono i moti piu` importanti, in quanto vale il teorema, di cui non diamo la dimostrazione:

  • Il moto rigido piu` generale e` una rototraslazione: ogni spostamento infinitesimo puo` sempre essere considerato come somma di una traslazione e di una rotazione infinitesime con velocita` v e variabili nel tempo



Per descrivere una rototraslazione si utilizzano le equazioni cardinali:

  • Per descrivere una rototraslazione si utilizzano le equazioni cardinali:

    • il teorema del moto del CM
    • il teorema del momento angolare
  • In una rototraslazione le velocita` v e sono, in generale, indipendenti

  • In situazioni in cui e` presente un vincolo le due velocita` possono essere legate da una relazione che elimina tale indipendenza (rotolamento puro)



Calcoliamo il momento angolare di un corpo esteso in rotazione attorno ad un asse, supposto inizialmente fisso, con velocita` angolare , rispetto al polo O scelto sull’asse

  • Calcoliamo il momento angolare di un corpo esteso in rotazione attorno ad un asse, supposto inizialmente fisso, con velocita` angolare , rispetto al polo O scelto sull’asse

  • Esprimiamo rl(t) in termini del componente 1-D lungo l’asse (diciamolo z) e del componente 2-D perpendicolare



Abbiamo messo in evidenza la dipendenza dal tempo delle grandezze

  • Abbiamo messo in evidenza la dipendenza dal tempo delle grandezze

  • Fintanto che l’asse di rotazione rimane lo stesso

    • la coordinata z e` indipendente da t
    • La coordinata (t) ruota, con modulo indipendente da t


L diviene

  • L diviene

  • Nella parentesi quadra il termine si annulla

  • Il vettore ha la direzione di e modulo

  • :

  • Il vettore ha direzione opposta a le modulo :



Cioe` L e` la somma di un termine longitudinale e di un termine trasversale

  • Cioe` L e` la somma di un termine longitudinale e di un termine trasversale

  • L’esistenza di quest’ultimo significa che, in generale, il momento angolare non e` parallelo al vettore velocita` angolare



Il termine longitudinale e` proporzionale al vettore velocita` angolare

  • Il termine longitudinale e` proporzionale al vettore velocita` angolare

  • La costante di proporzionalita` e` detta momento d’inerzia del corpo rispetto all’asse di rotazione scelto

    • E` indipendente dalla posizione del polo sull’asse ( non dipende dalla posizione di O)
    • E` indipendente dal tempo ( non dipende da t)


Il termine trasversale

  • Il termine trasversale

    • Dipende dal tempo (tramite x e y oppure l)
    • Dipende dalla posizione del polo sull’asse (tramite z)
  • Questo termine e` nullo in due casi notevoli in cui l’asse di rotazione

    • e` un asse di simmetria della distribuzione di massa del corpo (allora per ogni punto x,y,z esiste un punto -x,-y,z che compensa il primo)
    • e` un asse principale d’inerzia (vedi oltre)


Il momento angolare, calcolato rispetto ad un punto sull’asse di rotazione, puo` essere scritto come

  • Il momento angolare, calcolato rispetto ad un punto sull’asse di rotazione, puo` essere scritto come

  • I vettori ruotano tutti con la stessa velocita` angolare, quindi anche e ruotano con tale velocita`; quest’ultimo descrive una superficie conica attorno all’asse di rotazione

  • Questo moto e` detto precessione del momento angolare attorno all’asse di rotazione



Per definire il momento d’inerzia di un corpo, bisogna conoscerne la distribuzione di massa, cioe` la distanza degli elementi di massa dall’asse attorno a cui ruota

  • Per definire il momento d’inerzia di un corpo, bisogna conoscerne la distribuzione di massa, cioe` la distanza degli elementi di massa dall’asse attorno a cui ruota

  • Per una distribuzione continua di massa



Ne segue che cambiando l’asse di rotazione, cambia il momento d’inerzia, cioe` la costante (indipendente dal tempo!) che lega il momento angolare longitudinale alla velocita` angolare

  • Ne segue che cambiando l’asse di rotazione, cambia il momento d’inerzia, cioe` la costante (indipendente dal tempo!) che lega il momento angolare longitudinale alla velocita` angolare

  • I e` una grandezza scalare estensiva, cioe` tale che per un sistema scomponibile in parti, puo` essere calcolata come somma dei contributi delle singole parti



Questa nuova grandezza e` stata introdotta per semplificare lo studio del moto dei corpi rigidi

  • Questa nuova grandezza e` stata introdotta per semplificare lo studio del moto dei corpi rigidi

  • Le sue dimensioni fisiche sono

  • e l’unita` di misura e`



Esiste un teorema, dovuto a Poinsot, che afferma: dato un corpo rigido qualunque, comunque venga scelto un punto O, e` sempre possibile trovare tre direzioni mutuamente ortogonali passanti per O, per ognuna delle quali L e` parallelo a

  • Esiste un teorema, dovuto a Poinsot, che afferma: dato un corpo rigido qualunque, comunque venga scelto un punto O, e` sempre possibile trovare tre direzioni mutuamente ortogonali passanti per O, per ognuna delle quali L e` parallelo a

  • Questi assi sono gli assi principali d’inerzia

  • Se O coincide con il CM, gli assi si dicono assi centrali d’inerzia



Per una sbarra sottile rispetto all’asse normale mediano

  • Per una sbarra sottile rispetto all’asse normale mediano

  • Per un cilindro rispetto al proprio asse

  • Per una sfera rispetto ad un asse baricentrico



I calcoli piu` semplici sono quelli per assi di rotazione coincidenti con assi di simmetria passanti per il CM

  • I calcoli piu` semplici sono quelli per assi di rotazione coincidenti con assi di simmetria passanti per il CM

  • Per assi paralleli a questi assi, esiste un teorema che permette di calcolare semplicemente i momenti d’inerzia relativi



Detto I il momento d’inerzia di un corpo di massa m, rispetto ad un asse a passante per il CM, il momento d’inerzia rispetto ad un asse a’ parallelo al primo e distante d da questo e`

  • Detto I il momento d’inerzia di un corpo di massa m, rispetto ad un asse a passante per il CM, il momento d’inerzia rispetto ad un asse a’ parallelo al primo e distante d da questo e`



Detto P il generico punto del corpo, tracciamo il piano passante per P e perpendicolare ai due assi paralleli

  • Detto P il generico punto del corpo, tracciamo il piano passante per P e perpendicolare ai due assi paralleli

  • Sia la distanza di P dall’asse a e ’ la distanza di P dall’asse a’

  • Vale la relazione



Il momento d’inerzia rispetto ad a’ e`

  • Il momento d’inerzia rispetto ad a’ e`

  • Il secondo termine e` nullo, in quanto il centro di massa appartiene all’asse a

  • quindi



Partendo dalla definizione di K

  • Partendo dalla definizione di K

  • Ricordando che

  • Possiamo scrivere

  • L’energia cinetica di rotazione dipende dal momento d’inerzia rispetto all’asse di rotazione, ovvero dal momento angolare longitudinale



In seguito all’azione di un momento esterno, la velocita` angolare di un corpo viene portata dal valore iniziale a quello finale 

  • In seguito all’azione di un momento esterno, la velocita` angolare di un corpo viene portata dal valore iniziale a quello finale 

  • Per il teorema dell’energia cinetica, la variazione di K e` uguale al lavoro delle forze agenti sul sistema

  • Per un corpo rigido, solo le forze esterne danno un contributo



In termini infinitesimi

  • In termini infinitesimi

  • Integrando gli ultimi due membri otteniamo il lavoro come integrale del momento nella variabile angolare

  • Esprimiamo la potenza in funzione del momento e della velocita` angolare



E` un caso particolare di grande importanza pratica nello studio di macchine e motori

  • E` un caso particolare di grande importanza pratica nello studio di macchine e motori

  • Il vettore ha la direzione fissa dell’asse, mentre modulo e verso possono cambiare nel tempo

  • Se non e` costante, il vettore accelerazione angolare e` diverso da zero e diretto lungo l’asse



Dal teorema del MA, le equazioni del moto sono

  • Dal teorema del MA, le equazioni del moto sono

  • Il moto longitudinale (1-D) e` retto da , parallelo all’asse e che puo` far cambiare solo in verso e modulo ma non in direzione

  • Il moto trasversale (2-D) e` retto da , perpendicolare all’asse e che tende a far ruotare l’asse, cioe` a far cambiare la direzione di



Il caso piu` semplice e` quello in cui il momento angolare e` parallelo all’asse, ovvero la componente trasversale e` nulla; in tal caso

  • Il caso piu` semplice e` quello in cui il momento angolare e` parallelo all’asse, ovvero la componente trasversale e` nulla; in tal caso

  • ove I e` il momento d’inerzia del corpo rispetto all’asse

  • L puo` variare in modulo e verso, ma non in direzione, quindi e` parallelo a

  • Il teorema del momento angolare impone allora che il momento delle forze che fa variare L sia anch’esso parallelo a



Risolvendo l’equazione rispetto all’accelerazione

  • Risolvendo l’equazione rispetto all’accelerazione

  • Noto il momento, si puo` ricercare l’integrale primo del moto

  • In particolare se il momento e` costante



Consideriamo un sistema formato da una sbarra di lunghezza 2z, a ciascuna estremita` della quale e` posta una sbarretta di lunghezza e una massa m

  • Consideriamo un sistema formato da una sbarra di lunghezza 2z, a ciascuna estremita` della quale e` posta una sbarretta di lunghezza e una massa m

  • Supponiamo che la sbarra e le due sbarrette abbiano massa trascurabile

  • Supponiamo che il sistema ruoti attorno alla direzione (fissa) della sbarra con azimut e velocita`

  • Calcoliamo il momento angolare del sistema rispetto al punto mediano O della sbarra



I contributi delle due masse sono uguali

  • I contributi delle due masse sono uguali

  • Poiche’ il moto delle masse e` circolare, la componente longitudinale di L vale

  • E quella trasversale



La componente longitudinale e` proporzionale a secondo il momento d’inerzia, che e` costante

  • La componente longitudinale e` proporzionale a secondo il momento d’inerzia, che e` costante

  • La componente trasversale ruota attorno all’asse (precessione) con modulo proporzionale a



Come si e` detto il moto trasversale (2-D) e` retto dall’eq.

  • Come si e` detto il moto trasversale (2-D) e` retto dall’eq.

  • con perpendicolare all’asse e che tende a farlo ruotare, cioe` a far cambiare in direzione

  • Cerchiamo ora di capire l’origine di



Affinche’ le masse descrivano un moto circolare, e` necessario che sia presente una forza centripeta per ciascuna di esse

  • Affinche’ le masse descrivano un moto circolare, e` necessario che sia presente una forza centripeta per ciascuna di esse

  • Tali forze devono essere generate dall’asse

  • Se vogliamo che l’asse rimanga fisso, occorre che i supporti che lo sostengono resistano alle forze dovute all’asse stesso

  • I supporti reagiscono con forze uguali e contrarie a quelle dell’asse (ed uguali a quelle centripete)



Il momento delle forze centripete e`

  • Il momento delle forze centripete e`

  • I due contributi sono uguali, hanno direzione e modulo

  • quindi



Ricordando l’espressione del momento angolare trasversale

  • Ricordando l’espressione del momento angolare trasversale

  • e la derivata del versore 

  • si verifica facilmente il teorema del momento angolare



Per riassumere: l’asse agisce sulle masse generando il momento di forza trasversale e le due masse agiscono sull’asse con forze che tendono a farlo ruotare

  • Per riassumere: l’asse agisce sulle masse generando il momento di forza trasversale e le due masse agiscono sull’asse con forze che tendono a farlo ruotare

  • Il momento generato dai cuscinetti che supportano l’asse e` uguale e contrario a quello dell’asse (per la 3a legge della dinamica) e quindi uguale al momento trasversale

  • Questi momenti devono essere resi piu` piccoli possibile, per ridurre l’usura dei cuscinetti

  • Si cerca quindi di rendere L parallelo a , facendo ruotare il corpo attorno ad un asse di simmetria



E` un qualunque corpo rigido oscillante attorno ad un asse orizzontale (non passante per il CM)

  • E` un qualunque corpo rigido oscillante attorno ad un asse orizzontale (non passante per il CM)

  • Consideriamo la sezione del corpo perpendicolare all’asse e contenente il CM

  • Sia O la traccia dell’asse di rotazione e r la distanza di O dal CM, W il peso del corpo e l’angolo formato dal da r con la verticale



L’asse e` vincolato a rimanere fisso, esistera` quindi una forza vincolare V che agisce sul corpo

  • L’asse e` vincolato a rimanere fisso, esistera` quindi una forza vincolare V che agisce sul corpo

  • Come ogni forza vincolare, essa e`, a priori, incognita e sara` determinata dopo aver risolto l’equazione del moto

  • Scegliamo un sistema di coordinate cilindriche con origine O, asse polare verticale e asse z = asse di rotazione con verso uscente dal foglio



Le componenti del peso sono allora

  • Le componenti del peso sono allora

  • E le componenti della forza vincolare

  • Entrambe le forze hanno componente z nulla



Scegliamo O come polo per il calcolo dei momenti: questo e` conveniente perche’ la forza vincolare incognita ha momento nullo rispetto a O e il momento risultante e` uguale al momento della forza peso

  • Scegliamo O come polo per il calcolo dei momenti: questo e` conveniente perche’ la forza vincolare incognita ha momento nullo rispetto a O e il momento risultante e` uguale al momento della forza peso

  • Applichiamo al corpo le equazioni cardinali

  • Proiettando queste equazioni vettoriali lungo gli assi coordinati otteniamo equazioni 1-D



Per i momenti

  • Per i momenti

  • Note le espressioni del momento di forza e del momento angolare

  • (I e` il momento d’inerzia rispetto all’asse di rotazione) l’equazione diviene:

  • che e` sufficiente per trovare la legge oraria (t)



Per le forze abbiamo le due equazioni

  • Per le forze abbiamo le due equazioni

  • che ci servono per trovare le componenti della reazione vincolare una volta nota (t)



Risolviamo ora l’equazione differenziale per (t)

  • Risolviamo ora l’equazione differenziale per (t)

  • Per piccole oscillazioni possiamo confondere il seno con l’arco, ottenendo

  • Che e` l’equazione del moto armonico con pulsazione e periodo



La soluzione e`

  • La soluzione e`

  • Con A e due costanti determinabili imponendo le condizioni iniziali



Risolviamo l’equazione del periodo rispetto a g

  • Risolviamo l’equazione del periodo rispetto a g

  • Questa equazione e` la base per la misura di g mediante un pendolo

  • Due grandezze sono facilmente misurabili: M e T, le altre due I e r (o I/r) sono invece difficili

  • Una soluzione del problema si ottiene cercando altri assi, paralleli al primo, per cui l’oscillazione del pendolo abbia ugual periodo



Detta r’ la distanza di un tale asse dal CM, e I’ il relativo momento d’inerzia, vogliamo che

  • Detta r’ la distanza di un tale asse dal CM, e I’ il relativo momento d’inerzia, vogliamo che

  • Ovvero

  • Poiche’ I dipende da r, ricorriamo al th. di HS, introducendo il MdI I0 rispetto all’asse parallelo passante per il CM



Semplificando otteniamo

  • Semplificando otteniamo

  • Scartando la soluzione r’=r, poco interessante, rimane la soluzione



Dato un punto O, cerchiamo il punto O’ che sia allineato con O e il CM e opposto a O rispetto al CM: e` il punto coniugato di O

  • Dato un punto O, cerchiamo il punto O’ che sia allineato con O e il CM e opposto a O rispetto al CM: e` il punto coniugato di O

  • La distanza tra i due assi e`

  • Ora ecco l’idea brillante: per trovare il rapporto I/r basta trovare due punti coniugati e misurarne la distanza d=OO’=r+r’



Cioe` non occorre conoscere ne’ la posizione del CM ne’ il MdI

  • Cioe` non occorre conoscere ne’ la posizione del CM ne’ il MdI

  • Ne segue che

  • Il pendolo reversibile di Kater realizza praticamente questa idea



elenco: ~cauz


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