1a estrazione sono 90; I possibili esiti della 2



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24.01.2018
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Contare le sestine del Superenalotto
Se, come nel gioco del lotto, cinque numeri vengono estratti, uno dopo l’altro, da un’urna che ne contiene 90, il numero delle possibili sequenze risultanti si può calcolare sulla base del seguente ragionamento:


  1. I possibili esiti della 1a estrazione sono 90;

  2. I possibili esiti della 2a estrazione sono 89;

  3. I possibili esiti della 3a estrazione sono 88;

  4. I possibili esiti della 4a estrazione sono 87;

  5. I possibili esiti della 5a estrazione sono 86.

Complessivamente, le possibili sequenze di cinque numeri estratti sono allora:


90  89  88  87  86 = 5 273 912 160.
Tuttavia, questo non è, in realtà, il numero delle possibili cinquine. Infatti, per contare queste ultime, occorre tenere presente che, ad esempio, le sequenze di numeri estratti

1 56 34 17 82 e 34 17 82 1 56


d
anno luogo alla stessa cinquina: l’ordine di estrazione è indifferente. In effetti, le sequenze che danno luogo a questa stessa cinquina sono tante quanti i possibili ordinamenti (permutazioni) di 5 numeri distinti, ovvero 5! = 120. Pertanto, dovendo identificare le sequenze di 5 numeri estratti 120 a 120, il numero di cinquine è

In generale, esistono due formule per il numero di possibili esiti di una sequenza di estrazioni: una per il caso in cui l’ordine fa differenza (e quindi si contano le sequenze), una per il caso in cui l’ordine è indifferente (e quindi si contano i sottoinsiemi).




Il numero di possibili sequenze di k elementi prelevati da un insieme di n (disposizioni senza ripetizione di n elementi k a k) è


n (n1)(n2)  (nk+2)(nk+1)


Il numero di possibili sottoinsiemi di k elementi prelevati da un insieme di n (combinazioni di n elementi k a k) è




Osservazione
Il prodotto che compare nelle due formule può essere scritto in maniera più compatta utilizzando i fattoriali:

In particolare, il numero delle combinazioni di n elementi k a k è pari a


Per questo numero esiste una notazione abbreviata,




e lo si chiama coefficiente binomiale n su k. Il nome è giustificato dal fatto chei numeri di questa forma sono i coefficienti dello sviluppo della n-esima potenza del binomio:


Il collegamento non è casuale: per rendersene conto, basta considerare che, sviluppando il prodotto


il prodotto si ottiene tutte e sole le volte che si sceglie, in k parentesi, il termine a, (e, di conseguenza, il termine b nelle restanti nk parentesi): tale prodotto compare dunque tante volte quanti sono i possibili modi di prelevare k oggetti (le parentesi) da un insieme di n oggetti, ossia volte.

N
ota
Il coefficiente binomiale si trova, nel triangolo di Pascal o Tartaglia, al k-esimo posto della n-esima riga; le righe sono numerate dall’alto verso il basso, a partire da 0, le posizioni in ciascuna riga sono numerate da sinistra verso destra, a partire da 0.

Le regolarità che si osservano nel triangolo derivano da facili proprietà aritmetiche dei coefficienti binomiali:



  • “1” ai lati:

  • simmetria rispetto all’asse del triangolo:



Esercizio

Determinare le possibili sestine del Superenalotto.



Svolgimento


Basta applicare la formula per le combinazioni di n elementi k a k, per n = 90 e k = 6. Si ottiene:



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