Algebra 1 2003/2004, VII dispensa Categoria dei grafi, o delle relazioni



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Algebra 1 2003/2004, VII dispensa

Capitolo III
La categoria dei grafi, o delle relazioni

<> (James Clerk Maxwell).
Et quis est meus proximus?
Prima di approfondire lo studio del concetto di relazione tra due insiemi A e B, di utilizzo assai frequente e utile, a cui abbiamo cominciato ad accennare alla fine del capitolo I, proponiamo l'esegesi di un altro passo evangelico, non solo perché ci pare comunemente frainteso (come quello che abbiamo analizzato quando si parlava di bipartizioni), ma anche perché in esso viene appunto luminosamente illustrata, a nostro parere, una particolare relazione nell'insieme "astratto" U degli esseri umani (il medesimo introdotto nella precedente simile analisi testuale).
Il brano che vogliamo discutere si trova soltanto in Luca 10,25-37. Lo riportiamo di seguito per intero in italiano, anche se useremo poi, per l'esame approfondito di qualche punto rilevante, la versione originale latina.
[25] Un dottore della legge si alzò per metterlo alla prova: "Maestro, che devo fare per ereditare la vita eterna?". [26] Gesù gli disse: "Che cosa sta scritto nella Legge? Che cosa vi leggi?". [27] Costui rispose: "Amerai il Signore Dio tuo con tutto il tuo cuore, con tutta la tua anima, con tutta la tua forza e con tutta la tua mente e il prossimo tuo come te stesso". [28] E Gesù: "Hai risposto bene; fa questo e vivrai". [29] Ma quegli, volendo giustificarsi, disse a Gesù: "E chi è il mio prossimo?". [30] Gesù riprese: "Un uomo scendeva da Gerusalemme a Gerico e incappò nei briganti che lo spogliarono, lo percossero e poi se ne andarono, lasciandolo mezzo morto. [31] Per caso, un sacerdote scendeva per quella medesima strada e quando lo vide passò oltre dall'altra parte. [32] Anche un Levita, giunto in quel luogo, lo vide e passò oltre. [33] Invece un samaritano, che era in viaggio, passandogli accanto lo vide e n'ebbe compassione. [34] Gli si fece vicino, gli fasciò le ferite, versandovi olio e vino; poi, caricatolo sopra il suo giumento, lo portò a una locanda e si prese cura di lui. [35] Il giorno seguente, estrasse due denari e li diede all'albergatore, dicendo: Abbi cura di lui e ciò che spenderai in più, te lo rifonderò al mio ritorno. [36] Chi di questi tre ti sembra sia stato il prossimo di colui che è incappato nei briganti?". [37] Quegli rispose: "Chi ha avuto compassione di lui". Gesù gli disse: "Va e anche tu fa lo stesso".
Cominciamo, per completezza di comprensione della famosa "parabola", [Un termine che ha a che fare con "parola", ed è pure connesso non per caso con la matematica, ossia con la sezione conica chiamata con tale nome!] e di ciò che la contorna, a chiarire alcuni particolari. Intanto, l'interlocutore di Gesù viene detto Legisperitus, un esperto della "legge", una persona quindi colta e di posizione sociale rilevante, che pone un interrogativo a Gesù allo scopo di metterlo in difficoltà (tentans illum). Dopo aver notato di sfuggita (ma la questione meriterebbe maggiore attenzione) che è in tali casi costume di Gesù di rispondere alla domanda con un'altra domanda, a guisa di "specchio" nel quale riflettere la "malignità" dell'interrogante, [Non meno celebre è l'analogo modo con cui si comportò con i Farisei che volevano esprimesse un parere sulle "tasse" da versare ai Romani, chiedendo loro di chi fosse l'effigie riprodotta nelle monete.] bisogna rendersi conto di quale fosse l'intenzione del dottore della legge, in che senso intendesse porre in difficoltà l'interrogato (secondo noi, però, non si può neppure escludere del tutto che egli fosse sincero nel manifestare il suo dubbio). La risposta che egli fornisce al quesito: <>, è tratta in parte da Deuteronomio 6,4-15, un passo che pure riportiamo di seguito integralmente nella versione italiana, perché da pochi compreso come si conviene, e in parte da Levitico 19,18: <>.
<<[4] Ascolta, Israele: il Signore è il nostro Dio, il Signore è uno solo. [5] Tu amerai il Signore tuo Dio con tutto il cuore, con tutta l'anima e con tutte le forze. [6] Questi precetti che oggi ti do, ti stiano fissi nel cuore; [7] li ripeterai ai tuoi figli, ne parlerai quando sarai seduto in casa tua, quando camminerai per via, quando ti coricherai e quando ti alzerai. [8] Te li legherai alla mano come un segno, ti saranno come un pendaglio tra gli occhi [9] e li scriverai sugli stipiti della tua casa e sulle tue porte. [10] Quando il Signore tuo Dio ti avrà fatto entrare nel paese che ai tuoi padri Abramo, Isacco e Giacobbe aveva giurato di darti; quando ti avrà condotto alle città grandi e belle che tu non hai edificate, [11] alle case piene di ogni bene che tu non hai riempite, alle cisterne scavate ma non da te, alle vigne e agli oliveti che tu non hai piantati, quando avrai mangiato e ti sarai saziato, [12] guardati dal dimenticare il Signore, che ti ha fatto uscire dal paese d'Egitto, dalla condizione servile. [13] Temerai il Signore Dio tuo, lo servirai e giurerai per il suo nome. [14] Non seguirete altri dei, divinità dei popoli che vi staranno attorno, [15] perché il Signore tuo Dio che sta in mezzo a te, è un Dio geloso; l'ira del Signore tuo Dio si accenderebbe contro di te e ti distruggerebbe dalla terra>>. [Secondo noi, nessuna traccia di monoteismo, ma soltanto l'affermazione, peraltro di notevole durezza e pratico cinismo, di un Dio tribale, più potente degli altri, che ha eletto Israele a suo popolo, e che Israele deve venerare come suo esclusivo padrone, allo stesso modo che "schiavi" diversi hanno diversi "padroni" da servire. L'occasione si presta a citare il parere di una studiosa - sottolineiamo che si tratta di un'ebrea, per fugare possibili accuse ... di antisemitismo! - che in una comunicazione privata ci ha scritto: <>.]
Come si è visto, è in Levitico che si trova il famoso "comandamento" aggiuntivo, che riassumerebbe tutti gli altri contenuti nelle "tavole della Legge", secondo una certa interpretazione del cristianesimo. Diliges proximum tuum sicut te ipsum, un precetto di natura etica che era quindi ben noto da secoli al popolo ebraico, ma che appunto veniva accolto in un senso restrittivo, conforme cioè al brano di Deuteronomio. Il prossimo per un ebreo era semplicemente un ebreo, comprensibilissima "solidarietà di popolo" a fini di sopravvivenza e di potenza. Il dottore della legge conosce già la risposta alla domanda <<Et quis est meus proximus?>>, in termini "funzionali" potremmo dire che stava pensando alla banale corrispondenza costante E  P(E), che associa ad ogni elemento x  E l'intero insieme E, x E. Qui, come si sarà capito, E  U rappresenta naturalmente l'insieme dei soli Ebrei, il "popolo eletto", e per il colto interlocutore di Gesù, che voleva verificare se quegli condividesse l'identica concezione etico-religiosa, tanto bastava a definire le sue norme di comportamento.
Nella parabola, Gesù estende senz'altro il dominio della precedente funzione, che possiamo appunto considerare la definizione precisa di "prossimo", all'intera umanità, scriveremo pr: U  P(U). <<Homo quidam descendebat...>> è infatti un uomo qualsiasi, non necessariamente un ebreo. Il sacerdote e il Levita, i primi che lo incontrano dopo l'assalto dei briganti, sono persone che rivestono un ruolo importante nella società ebraica. Un Levita è un appartenente alla tribù di Levi (Esodo 6,16-25), che aveva il compito di assistere i sacerdoti nel tabernacolo e più tardi nel tempio, ma non era un sacerdote, perché solo i discendenti di Aronne potevano esserlo. I Samaritani erano infine gli abitanti della Samaria, discendenti di incroci tra popolazioni locali ed ebrei rimasti in loco al tempo dell'esilio babilonese. [Ma quindi forse gli unici autentici "eredi" dall'originale ceppo ebraico, di cui alcuni gruppi sopravvivono ancora oggi, con una "tradizione" ininterrotta.] Credevano nello stesso Dio degli Ebrei, ma si rifiutavano di adorarlo nel tempio di Gerusalemme, dato che si erano costruiti un proprio luogo di culto sul monte Garizim, e tra di loro e gli Ebrei correvano disprezzo e odio.
Vale a dire, tanto la persona bisognosa di soccorso, quanto il compassionevole samaritano, sono ostentatamente elementi dell'insieme U-E, ciò che conferma che Gesù vuole definire una funzione pr: U  P(U), con dominio l'intero U, senza alcuna restrizione. La parabola viene correntemente intesa però nel senso che la funzione pr di cui trattasi è di nuovo una banale corrispondenza costante: se prima per il dottore della legge essa era individuata dall'identità pr(x) = E (e per fortuna unicamente per x  E; la Legge era esclusivamente per gli Ebrei), un cristiano oggi estrae di solito la "morale" del racconto evangelico ponendo la semplice identità pr(x) = U,  x  U, a fondamento della sua etica.
Ma, chiediamoci, è esattamente questa la definizione della funzione pr che viene illustrata letteralmente nel testo? Si noti che, dopo aver raccontato la parabola, Gesù rivolge una nuova domanda a chi lo aveva interpellato: <<Quis horum trium videtur tibi proximum fuisse illi, qui incidit in latrones?>>, alla quale viene fornita l'obbligata risposta: <<Qui fecit misericordiam in illum>>. Da un punto di vista strettamente letterale, ripetiamo, se indichiamo con il simbolo h (homo) colui che fu assalito dai ladroni, con s il samaritano che lo soccorse, con sc il sacerdote e con lv il Levita, sembra che il prossimo di h sia stato esclusivamente s (nel Vangelo è riportato proprio <<fuisse>>, con riferimento all'essenza; non è scritto: "ha agito in modo tale da...", "si è fatto prossimo...", et similia), e non sc o lv; ovvero che s  pr(h), mentre sc  pr(h), allo stesso modo che lv  pr(h). Vale a dire, dobbiamo convenire alquanto a sorpresa rispetto a ciò che abbiamo sempre sentito commentare intorno a tale storia, che pr(h)  U, con la conseguenza che il famoso comandamento dell'"amore" apparirebbe più comprensibile (e umanamente "possibile"), limitato come esso sarebbe unicamente a questo prossimo, l'insieme delle persone cioè che ci hanno usato qualche volta misericordia (un insieme che potrebbe anche essere vuoto!), e non all'intera "umanità" genericamente intesa.
Una funzione pr che non sarebbe quindi per niente "banale", e intorno alla quale potremmo porci delle domande cui nel seguito daremo precisa connotazione teorica. Se y è prossimo di x, allora x è prossimo di y? (no, perché s  pr(z), ma non viceversa, almeno finché non si verifichi un episodio "simmetrico"). Se y è prossimo di x, e se z è prossimo di y, allora z è prossimo di x? (diremmo pure di no, per motivi che ormai lasciamo al lettore di elaborare da sé). Interessante appare anche la domanda se la precedente relazione sia riflessiva, ovvero se:

 x  U  x  pr(x), questione sulla quale non esprimiamo volutamente la nostra opinione.


Qual è il succo di questa riflessione, che abbiamo voluto offrire al lettore come introduzione a un capitolo piuttosto complesso? Riconosciamo senza alcuna difficoltà di non essere affatto sicuri né che quella che abbiamo proposto sia l'interpretazione autentica della concezione etica del personaggio storico Gesù, [Permane il dubbio che semplicemente l'evangelista si sia espresso male, e che forse Gesù alla fine aveva chiesto: "Chi degli attori della vicenda si è comportato in modo da osservare il comandamento di amare il prossimo?", osservazione questa che evidenzia ancora una volta la dicotomia tra parlato-scritto e pensato. Altri, tra quei pochi commentatori che notano il problema, sostengono che in realtà Gesù si limita a non rispondere precisamente alla domanda rivoltagli, ma approfitta dell'occasione per una lezione, un messaggio, che in effetti almeno parzialmente ci perviene chiaro a distanza di secoli.] né che, ammessa l'autenticità, con essa si sia descritta in modo completo tale concezione etica. [Ulteriore meditazione andrebbe secondo noi infatti accordata alle ultime parole pronunciate da Gesù in tale occasione: <<Vade, et tu fac similiter>>, che sembrano distinguere l'imperativo di un comportamento pratico dal generico e stucchevole "comandamento dell'amore" indirizzato a chicchessia.] Al di là del pur rilevante fatto specifico (per l'umanità di chi scrive e di chi legge queste righe), la morale che intendiamo proporre a studenti di matematica è che se Gesù si fosse espresso in un modo più "formale", nel modo che nelle nostre dispense cerchiamo di insegnare, allora tante perplessità non avrebbero ragione di essere. La funzione pr avrebbe dovuto essere definita precisandone esattamente dominio, codominio e "regola" di associazione, punto e basta, nessun equivoco che consentisse richieste di chiarimento (sincere o no che esse fossero), del tipo di quella formulata dal dottore della legge, o eventuali personali interpretazioni di comodo variabili da soggetto a soggetto (ovviamente, per chi decida di dichiararsi "cristiano"). [Vero peraltro che sta anche scritto (Luca 8,8-10): <<"Chi ha orecchi per intendere, intenda!". I suoi discepoli lo interrogarono sul significato della parabola. Ed egli disse: "A voi è dato conoscere i misteri del regno di Dio, ma agli altri solo in parabole, perché vedendo non vedano e udendo non intendano">>, ma allora non se n'esce...]
Prima di riprendere il nostro cammino matematico, approfittiamo dell'occasione per: 1 - aggiungere che la concezione etica non banale alla quale abbiamo accennato ha molti punti di contatto con quella illustrata da Françoise Dolto e Gérard Séverin nel loro bel libro Psicanalisi del Vangelo (Rizzoli, Milano, 1978), soprattutto in ordine alla distinzione tra "amare" e "fare" (di cui si ritrovano echi in taluni racconti dello scrittore ebreo Isaac Bashevis Singer, premio Nobel 1978 per la letteratura), e alla non necessaria "simmetria" della relazione pr (si pensi viceversa all'impostazione etica che si risolve nel do ut des, e ai dubbi che assalgono ogni essere umano quando si chiede se abbia il dovere di "ricambiare", e in che maniera); 2 - ribadire la persuasione che tante discussioni, più o meno accese, potrebbero pacatamente risolversi nel leibniziano calculemus, un'esortazione che prevede ovviamente un'assoluta precisione nell'esposizione delle proprie tesi, e l'adozione delle raccomandazioni cartesiane "per ben condurre la propria ragione", tra le quali imprescindibile limitare il confronto passo per passo a singole proposizioni "semplici". [Il calculemus richiede invero anche la disponibilità dello spirito ad adeguare, riformare, il proprio "sistema" concettuale, qualora dallo scambio di idee sia costretto a convenire che qualcosa in esso non quadrava; quella disponibilità che il lupo non sembra mostrare nei confronti delle ragioni dell'agnello nella favola di Fedro, un apologo amaro di uno schiavo infelice che diremmo altrettanto celebre, e da tenere nella medesima considerazione, per ciò che è capace di insegnarci ancora a distanza di secoli, della parabola del buon samaritano. Un cenno finale merita la questione relativa al perché il calculemus non goda di eccessiva diffusione nella nostra società. Beh, prima di tutto non è gradito agli "imbroglioni", che appunto cercano di imbrogliare le carte per avere sempre ragione, non riconoscere i propri errori, rimangiarsi le promesse, etc., insomma, coloro che tendono a privilegiare la propria personale voluntas sulla ratio. Poi, senza tenere in conto gli "stolti", non piace nemmeno agli spiriti che avvertono dolorosa la pur naturale antinomia tra verità e libertà - ogni verità limita necessariamente lo spazio alla libertà di pensare in modo diverso, che tale verità sia cioè non vera - dimenticando però che assai poche sono le verità che all'uomo è dato di riconoscere con assoluta cogenza, e che il calculemus, capace comunque di distinguere materie sulle quali è legittimo avere una molteplicità di opinioni da materie viceversa "determinate", avrebbe più spesso l'unico effetto di favorire la comunicazione interpersonale, ovvero di precisare "giudizi di valore" e "scelte" a priori tra "principi" primi irriducibili ad altri più semplici, senza rischi di fraintendimento, o riducendoli.]



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