Breve profilo storico



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2 - La matematica medievale
Povere fonti di sapere bastano ai bisogni di una civiltà decaduta come quella dell'occidente cristiano nei secoli successivi al crollo dell'autorità politica di Roma. [Il cosiddetto Medioevo va, secondo le usuali convenzioni, dalla caduta dell'impero romano d'occidente, 476, alla scoperta dell'America, 1492. Secondo un'altra consuetudine, invece, fino al 1453, anno della caduta dell'impero romano d'oriente; anche in questo caso, però, l'inizio dell'evo moderno viene contrassegnato dall'impresa colombiana, sicché appare "sgradevole" il conseguente "avanzo" di 4 decenni. Il termine media tempestas ricorre già per la prima volta in un elogio di Nicola Cusano composto da Giovanni Andrea de Bussi (vedi oltre), e appare pienamente teorizzato nella Historia medii aevi (1688) di Cristoforo Cellario (in effetti Christoph Keller, tedesco, 1638-1707, professore di eloquenza e di storia a Halle). E' chiaro che si tratta di un portato delle storiografie protestanti e illuministe, che accusano da una parte la "progressiva corruzione" della Chiesa, dall'altra l'oblio "degli ideali di bellezza e di cultura del mondo classico". A tale concezione tenta di opporsi minoritaria la storiografia ispirata dalla Controriforma, rimproverando a quelle citate di non comprendere la caratteristica fondamentale dell'epoca, e cioè "il grandioso tentativo di creare una Respublica christiana dove l'universalismo religioso potesse avere espressione anche politica", a tentare di fornire una precisa identità e unità a quel "nuovo mondo" emerso dalla fusione ("non sempre pacifica, lenta e spesso problematica") tra la componente greco-romana, quella germanico-slava, e gli apporti "semitici", soprattutto ideali, che provenivano dal giudeo-cristianesimo. L'interpretazione largamente vincente impedisce anche proposte di "periodizzazione", una qualche nostalgia nei cui confronti "compare soltanto in alcune correnti del cattolicesimo [...] disposte a rivivere in quella età la loro crisi d'inserimento nel mondo moderno".]
(Vedi a parte nella Figura 5 i regni barbarici e l'impero romano d'oriente

ai tempi di Giustiniano.)


2-1) Un aspetto paradossale della nostra storia consiste nel fatto che, nonostante la descritta rottura della "cristianità" con concezioni che provenivano dal mondo "pagano", è peraltro inevitabile una continuità dell'immagine del mondo [Weltbild, inevitabile fondamento di ogni Weltanschauung, che comprende anche il sistema di principi, opinioni, costituenti la metafisica, l'etica, etc..] cristiana con quella edificata dal mondo classico. ["La storia e la geografia [...] erano parte integrante [di quella concezione], non erano scienze per pochi eletti, al contrario, erano complemento divulgativo delle Scritture, momento di loro concreto riscontro nella realtà"; da Maria Luisa Fagioli Cipriani, Cristoforo Colombo - Il medioevo alla prova, ERI, 1985.] Nonostante non ci fosse più diretta familiarità con le opere per esempio di Aristotele [Tanto per rammentare, soltanto assai più tardi, con l'opera dei domenicani S. Alberto Magno (1193-1280; detto "Doctor Universalis") e S. Tommaso d'Aquino (1225-1274; detto "Doctor Angelicus"), e dopo il suo passaggio attraverso la filosofia araba, si assisterà a quel pieno recupero dell'aristotelismo che verrà a costituire un sistema di pensiero assai diffuso nel Medioevo cristiano, e anzi in taluni ambienti ecclesiastici fino a oggi.], o di Tolomeo, la rappresentazione del cosmo [ è parola che ha a che fare con "ordine", mentre universo è invece termine di origine latina, che rimanda alla rotazione diurna di tutto il "firmamento" in un'unica direzione - "verso" - intorno alla Terra.] rimarrà sostanzialmente la medesima, ancorché arricchita, integrata, con elementi mistici cristiani. Una sorta di monolitica sintesi culturale che sopravviverà indisturbata per secoli, in cui la "logica scientifica" veniva subordinata a quella religiosa, e che era quindi difficile contestare, sia pure relativamente a singoli suoi elementi particolari, pena la frequente accusa di "eresia". [Del resto, va tenuto presente che l'ortodossia della fede significava garanzia di unità sociale e politica, sicché era sotto un profilo non esclusivamente ideologico che venivano giudicate tendenze potenzialmente "centrifughe".] Nell'immaginario collettivo medievale, la Terra continuava per esempio a essere concepita come un globo, collocato da Dio al centro del "creato", immobile, attorniato da "sfere celesti" ruotanti secondo i loro movimenti propri stabiliti dal Creatore (tale origine divina era causa anche della loro "conservazione"). Su tali sfere erano infisse le stelle e tutti gli altri astri, di natura perfetta (di cristallo?!), "incorruttibile", diversa da quella della Terra, "corruttibile". [Il cielo delle stelle - dette "fisse" pur muovendosi relativamente alla Terra, perché costante rimaneva la loro posizione relativa - costituiva il primum mobile, e da esso (mosso in effetti da Dio stesso: "l'amor che move il sole e l'altre stelle", è l'ultimo verso del Paradiso, XXXIII, 145) il movimento si estendeva gradualmente a tutti gli altri.] Il globo terrestre, interamente rivestito d'acqua!, veniva poi immaginato suddiviso in due metà, secondo una partizione che non aveva nulla a che fare con la linea equatoriale, e quindi con la distinzione tra un emisfero nord, boreale, e uno sud, australe: una primitiva "teoria della gravitazione" introduceva infatti anche un emisfero "di sopra" e un emisfero "di sotto". La parte "superiore" del globo conteneva le terre emerse dopo il Diluvio, viste come la vetta di una montagna che emerga dal mare: Europa, Africa e Asia, un unico "continente" - il cui "centro" era la città santa, Gerusalemme - chiamato ecumene, ovvero "abitabile" (letteralmente, ancora una volta dal greco: "casa comune"), mentre quella inferiore era completamente ricoperta dalle acque del mare Oceano. ["Siede il gran mare sopra la terra tonda/e la più parte d'essa cuopre et bagna/et quella terra che soperchia l'onda/esce fuor d'essa siccome montagna./Oceano è detto quel che la circonda,/che per lo stretto del Mare di Spagna/mette per meggio della terra il mare/lo qual mediterran si fa chiamare./Questo tondo non è mezza la spera,/ma molto meno è tutto l'altro è mare/..." - versi, probabilmente recitati nel Medioevo dai cantastorie, contenuti in un manoscritto dell'umanista fiorentino Leonardo Dati (1408-1472; fu anche segretario del "papa scienziato" Pio II, vedi oltre), La sfera, conservato presso la Biblioteca Nazionale di Roma.] Il confine tra questi due emisferi era rappresentato da una linea, un meridiano (Finis Terrae), perpendicolare all'equatore (vedi più avanti la Figura 7). Ai discendenti di Noè era stato concesso di popolare l'ecumene, sempre sotto gli occhi del Signore, e l'unico scopo della vita terrena era prepararsi a quella eterna, mèta per raggiungere la quale non c'era bisogno di essere particolarmente "istruiti", anzi meglio il contrario. [Secondo Kurt Mendelssohn (La scienza e il dominio dell'Occidente, Editori Riuniti, 1981), l'Europa medievale si trovava in una condizione di "tranquilla stasi", dovuta al fatto che essendo stata "trovata la forma ideale di esistenza, non ci poteva essere alcun progresso". Perché affannarsi a cercare nuove terre, a misurare il corso degli astri, etc., se erano "poche le ragioni per guardare all'esistenza terrena come qualcosa di più di uno stato transitorio, una preparazione per la futura vita eterna"?]

(Il mondo concepito secondo la "geografia sacra" nel Medioevo:

si tratta di un'immagine della Terra vista dall'"alto", il che non significa però dalla "stella polare"!

Peraltro, il punto cardinale nord si trova a sinistra, come non siamo abituati oggi a raffigurare.)

(Codice Guidonis, 1119, Biblioteca Nazionale di Bruxelles.)

(Figura 6)


2-2) Intanto, i "semi" gettati dalla scienza greca maturano e fioriscono in paesi del Vicino Oriente, e in India (non si dimentichi che Alessandro Magno arrivò fino all'Indo, e che popolazioni di origine greca, quali gli Hunza, vivono ancora nelle valli dell'Himalaya). Il contributo della civiltà araba alla tradizione, e a un'ulteriore evoluzione, della scienza e del pensiero greco. La Al-jabr wal muqabalah di Mohammed ibn Musa al-Khuwarizmi (IX secolo, latinizzato in Algorismus) introduce quello che diverrà addirittura il nome di una nuova "materia". ["La parola al-jabr presumibilmente significava qualcosa come restaurazione o completamento, e sembra si riferisca alla trasposizione dei termini sottratti da un membro all'altro dell'equazione; quanto alla parola muqabalah, si ritiene che essa si riferisca alla riduzione o equilibrio, ossia alla cancellazione dei termini simili che compaiono in entrambi i membri di una equazione", da Boyer. Si ritiene che l'opera avesse tra le proprie motivazioni immediate pure quella di consentire di districarsi senza eccessivo impaccio tra le complesse regole del diritto di successione arabo.] L'autore discute tra l'altro metodi di risoluzione delle equazioni appunto algebriche di I e di II grado, sebbene in modo ancora "retorico", senza alcuna forma di "simbolizzazione" alla Diofanto. In tale libro, che esercitò grande influenza in Europa, viene introdotto il sistema di numerazione prevedente l'uso delle cifre decimali e dello zero, ancora oggi attuale. E' giusto chiamare tale sistema arabo-indiano, in quanto arrivava sì dagli Arabi, ma questi a loro volta l'avevano appreso dai loro vicini Indiani. ["Gli Arabi dichiararono sempre, con perfetta onestà, le sorgenti a cui attinsero" - Loria.] Algebra e trigonometria: Abu'l-Wafa (940-998); al-Karkhi (circa inizio XI secolo); al-Biruni (973-1048). La geometria di Omar Khayyam (1050-1122) e Nasir Eddin al-Tusi (1201-1274). L'astronomia: al-Farghani (IX secolo, latinizzato in Alfragano); al-Battani (attivo intorno al 900, latinizzato in Albatenio). Tra i grandi filosofi arabi (lasciando da parte storici, geografi, etc.) citiamo almeno i nomi di Avicenna (980-1037) e Averroè (1126-1198; di lui resta famosa la teoria della "doppia verità" - vedi per esempio Bruno d'Ausser Berrau, nella citata Episteme, N. 1), i quali ebbero anche loro grande influenza in occidente. L'ultimo noto "scienziato" arabo è al-Kashi, la cui morte avvenuta nel 1436 può essere scelta come biffa per segnare la conclusione del periodo della grande scienza araba. Dal 1492, caduta la città di Granada per opera dei "re cattolici" Fernando (d'Aragona) e Isabella (di Castiglia), gli Arabi (termine che talora utilizziamo genericamente per "islamici", da un certo punto comprendente quindi anche i Turchi) non hanno più possedimenti in Europa, e inizia il periodo della loro decadenza anche politica. E' stato già introdotto il termine "miracolo" (punto 0-11), e c'è in effetti chi parla di un "miracolo arabo" (per esempio il Loria): invero, al declino scientifico dell'occidente cristiano corrisponde quasi simultaneamente l'inizio della "parabola" araba, mentre la rinascita degli interessi scientifici in "Europa" si accompagna al tramonto di essa.
2-3) Il termine Islam si riferisce a una completa "sottomissione" dell'uomo a Dio, una concezione "fatalista" del mondo e della storia, che si esprime nella formula tipica insh'-Allah ("sarà quel che vuole Dio"; mash'-Allah è invece analoga espressione per il passato, ovvero: "è stata la volontà di Dio"), mostrando appieno tutta la sua radice giudaica. Un non banale problema storiografico è posto dalla domanda: perché dalla parte cristiana si riscontra avversione nei confronti della "scienza", e dall'altra no? (almeno genericamente parlando). Forse per l'assenza di una "chiesa" organizzata, di una classe sacerdotale, separata dalla "gente comune", che funga da "dotta custode dell'ordine"? Forse perché, per motivi storici contingenti, non ci fu alcun bisogno per gli Arabi di distinguersi antiteticamente da un mondo pagano inizialmente "persecutore"?
2-4) Altre culle di conservazione della scienza classica: il caso dell'India. Le Sulvasutras (o "regole della corda") raccolgono un corpo di conoscenze relative ad attività di misurazione, in un periodo che va all'incirca dall'VIII secolo AC al II secolo DC. Successivamente i Siddhantas si riferiscono invece a "sistemi di astronomia", le cui dottrine "sono evidentemente di origine greca, ma mescolate a molti elementi dell'antico folclore indiano" (l'unico Siddhanta integralmente pervenutoci risale al 400 DC). Aryabhata (vissuto intorno al 500 DC) è il primo, e il più importante, nome pervenutoci di un matematico indiano (scrisse "un esile volumetto in versi che copre i campi dell'astronomia e della matematica"). Al suo si possono aggiungere i nomi di Brahmagupta (VII secolo), che si occupò di algebra e trigonometria, e Bhaskara (XII secolo), che riprese temi trattati da Brahmagupta e da altri matematici suoi predecessori in uno scritto dal titolo Lilavati. [Questo lavoro viene comunemente attribuito a Bhaskara, pur riconoscendone i debiti con opere precedenti di altri autori, mentre Loria (p. 174) ne parla come di una "compilazione fatta da Bhaskara di un'opera di Brahmagupta". Lilavati è il nome di una donna ("Vezzosa e cara Lilavati, i cui occhi somigliano a quelli di un giovane daino") a cui l'autore rivolge le sue questioni matematiche, forse una figlia, alcuni pensano la moglie, ma di chi? Di Bahskara o di Brahmagupta? Lilavati fu tradotto in persiano nel 1587, da un poeta di corte di nome Fyzi, su disposizione dell'imperatore "moghol" Akbar (il termine sembra una modificazione di "mongolo"; l'impero moghol, con centro in India, era stato fondato nel 1526 da un successore di Tamerlano, Babur, e durò sostanzialmente, tra alterne vicende, fino al 1857, quando gli inglesi gli posero fine, a seguito della rivolta dei Sepoy), ed è Fyzi che narra la storia di come lo scritto fosse dedicato alla figlia di Bhaskara, allo scopo di rincuorarla, non si sa con quanto successo, da un problema di natura sentimentale. Riferiamo tutto ciò per mostrare, con un esempio tra innumerevoli, come nella storia abbondino, anche nei casi più innocui, fraintendimenti e "invenzioni" di tutte le specie.] Il più antico riferimento alla notazione indiana si ha nel 662 in uno scritto di Severo Sebokt, vescovo siriano, mentre la prima comparsa certa dello zero si ha in un'iscrizione indiana dell'876 (ovviamente DC). Un merito che va riconosciuto ai matematici indiani (passato poi da questi agli Arabi) è di aver semplificato i calcoli trigonometrici sostituendo alle "tavole delle corde" usate dagli astronomi greci le più convenienti "funzioni circolari", seno, coseno e tangente, collegate alle semicorde. [Ma "Paul Tannery, il grande storico della scienza vissuto all'inizio del nostro secolo, avanzò l'ipotesi che tale trasformazione della trigonometria può essere avventa ad Alessandria in epoca post-tolemaica", da Boyer.]
2-5) Il caso dei Bizantini (dal nome greco Bisanzio, la località intorno alla quale era stata costruita Costantinopoli) va tutto compreso nell'ottica con cui è stato introdotto il "periodo dei commentatori". Ad essi si deve per esempio se "sono state conservate nel testo originale greco le opere di Archimede e [...] di Apollonio". Ricordiamo i nomi di Antemio di Tralles (vissuto intorno al 500), che fu l'architetto del tempio di Santa Sofia, e del suo successore Isidoro di Mileto (VI secolo), il quale fu anche uno degli ultimi capi dell'Accademia platonica in Atene. [E' da non confondere con Alessandro pure di Tralles, città della Lidia, vissuto quasi nello stesso periodo (527-565), il quale viene ricordato della storia della medicina per un'opera terapeutica in 12 libri,  , che fu tradotta in latino e in arabo, ed ebbe grande influenza sulla medicina medievale.]
2-6) Poiché stiamo affrontando il tema della matematica al di fuori dei confini spaziali che costituiscono l'oggetto pressoché costante della nostra attenzione, diamo qualche cenno anche alla matematica cinese, tenendo sempre conto della circostanza che possono essere fondatamente ipotizzati indiretti apporti greci ad essa, mediati attraverso la confinante cultura indiana [Si pensi per esempio alla diffusione del Buddhismo in Cina, che a partire dalla sua fondazione risalente al principe indiano Siddharta Gautama vissuto nel VI secolo AC, è documentato presente in Cina intorno al I secolo AC - fino a essere oggi considerato la "religione" più diffusa in quel paese.], e che le datazioni temporali relative a epoche "primitive" risultano (come peraltro quasi sempre) quanto mai incerte e soggettive. "L'affermazione che i cinesi avessero fatto importanti osservazioni astronomiche [...] sin dal XV millennio AC è certamente infondata, ma la tradizione che fa risalire il primo impero cinese al 2750 AC circa non è irragionevole. Secondo un'opinione più prudenziale le più antiche civiltà della Cina sono databili verso il 1000 AC" (da Boyer; si noti la perfetta corrispondenza cronologica con le ipotesi formulate all'inizio della presente appendice). Il più antico testo di matematica cinese, di carattere astronomico, è il Chou Pei Suan Ching (il titolo sembra "fare riferimento all'uso dello gnomone nello studio della traiettoria circolare dei corpi celesti"); secondo alcuni risalirebbe al I millennio AC, secondo altri invece soltanto al I secolo AC ("Il problema della sua datazione è complicato dal fatto che esso può essere stato l'opera di parecchi scienziati di periodi differenti"). Intorno al 250 AC va invece ricondotto il Chiu-chang suan-shu (ovvero Nove capitoli sull'arte matematica), "forse la più influente fra tutte le opere matematiche cinesi [che] comprende 246 problemi riguardanti l'agrimensura, l'agricoltura, le associazioni, l'ingegneria, la tassazione, il calcolo, la soluzione di equazioni e le proprietà dei triangoli rettangoli". Diciamo che complessivamente interessanti da un punto di vista storico sono i contributi cinesi all'aritmetica (veniva usato un tipo di numerazione sostanzialmente decimale, e di tipo anche "posizionale"), all'interno dei quali si riscontra una delle prime notazioni intese a indicare i numeri negativi (ci si imbatte in tali enti per esempio nel corso dei calcoli necessari per risolvere un sistema di equazioni lineari in più incognite a coefficienti interi).
2-7) Nell'830 il califfo [Termine usato dagli Arabi, letteralmente "successore" - sottinteso, del "profeta" - laddove visir, pur sempre provenendo dall'arabo wazir - aiutante, vicario - verrà utilizzato dai Turchi per designare i "ministri" del sultano.] al-Mamun fonda a Baghdad, peraltro sul modello delle antiche "scuole" greche, la Bait al-hikma, ovvero "Casa del sapere", la prima istituzione del genere nel mondo che emerge dalla scomparsa del "mondo classico". Tali scuole si diffondono nei paesi conquistati dall'Islam fin nella Spagna, e da lì il loro modello passa a ispirare poi le nostre "università". [In Spagna, a studiare presso scuole arabe, si recava chi volesse arricchire le sue conoscenze più di quanto non fosse possibile in "occidente", e dalla Spagna spirava quindi il nuovo "vento culturale". Si ricorda in particolare il nome di Gerberto di Siviglia (940-1003), che sarà poi il papa Silvestro II, il quale si impegna anche in studi matematici.] Universitas Studiorum, o Studium Generale, ovvero luoghi del sapere universale, integrale, senza le "specializzazioni" con cui l'attuale nostra mentalità è abituata a concepire l'università. [Il termine "ateneo" è invece ancora una volta di ovvia origine greca, , nel senso di luogo consacrato alla dea Athena; fu questo il nome dato a una "scuola" fondata in Roma da Adriano - vedi anche il punto 1-4-3 per un'altra testimonianza dell'attività culturale di questo grande imperatore - destinata all'insegnamento superiore di filosofia, retorica, grammatica, diritto.] Le "crociate" (concepite come tali ovviamente soltanto dalla parte cristiana, laddove per gli Arabi erano invece delle ordinarie guerre di aggressione) costituiscono una considerevole occasione di scontro, ma anche d'incontro, tra occidente cristiano e Islam, accelerando il trasferimento di conoscenze da una cultura all'altra. [Una simile opinione può essere ovviamente completamente rovesciata: "La rinascita del sapere nell'Europa latina ebbe luogo durante le Crociate, ma probabilmente si verificò nonostante le Crociate" (da Boyer), a riprova di quanto sia soggettivo - ma non "arbitrario" - l'applicazione della categoria della causalità a questioni storiche.] Traduzioni in latino di testi arabi che sono a loro volta traduzione di testi greci consentono un recupero graduale della matematica classica, almeno di quella sopravvissuta. [Risale per esempio a un periodo intorno al 1120 la prima traduzione in latino degli Elementi di Euclide da parte di Adelardo di Bath (?-1160?), il quale utilizza appunto una fonte araba. Adelardo tradusse successivamente anche le tavole astronomiche di al-Khuwarizmi, e l'Almagesto di Tolomeo, ma in questo caso da un originale greco. Tra i traduttori più importanti ricordiamo anche i nomi di Gerardo da Cremona (1114-1187), e di Roberto di Chester (XII secolo, fu arcidiacono in Pamplona).] Le necessità pratiche del commercio, in una società in cui la componente "borghese" si va progressivamente affermando su quella feudale-contadina, appaiono stimolare interessi "aritmetici", o, usando opportunamente la nuova parola araba, "algebrici". Essi vengono favoriti dal nuovo sistema di numerazione arabo-indiano, rapidamente affermatosi in tutta Europa.
2-8) Diffusione delle università in Europa (avversata in qualche misura dalle frange più conservatrici del cristianesimo: nel 1163 il concilio di Tours condanna con forza la presenza di religiosi nei nuovi "studi", "Ut religiosi saecularia studia vitent"). Bologna, l'Alma Mater Studiorum, risale al 1158, ma prima ancora va ricordata la scuola di medicina di Salerno (seconda metà XI secolo). Oxford (1167); Cambridge (seconda metà XII secolo); Parigi (XII secolo); Montpéllier (1220); Padova (1222); Napoli (1224); Salamanca (1243); Roma (1303); Pisa (1343). Per Perugia si riporta ufficialmente la data del 1308. [Poiché lo scrivente, come molti dei suoi prevedibili lettori, è legato in modo particolare a questo ateneo, vale la pena allora aggiungere l'informazione che il 1308 è in effetti la data del suo riconoscimento formale, avvenuto tramite una bolla del papa Clemente V, ma che tale attestazione, ottenuta dopo lunghe e laboriose vicende, sanzionò alcuni decenni di attività "ufficiosa". Si può allora correttamente indicare la data del 1276, ma si parla di documenti che testimonierebbero un'esistenza assai precoce dell'istituzione fin dalla seconda metà del secolo XII, o addirittura prima.] L'Università medievale è organizzata prevalentemente in quattro facoltà: teologia, diritto, medicina, arti liberali (vedi il punto 0-7), la frequentazione dell'ultima essendo premessa indispensabile per l'accesso alle altre tre.
2-9) L'interpretazione del cristianesimo offerta da S. Francesco d'Assisi (1182-1226) rivaluta il ruolo e la bellezza della "natura" - ritenuta macchiata anch'essa dal "peccato originale, secondo una concezione corrente non solo al suo tempo - riaprendo così la strada a studi propriamente "fisici" in ambiente cristiano. La presenza di Francescani presso le università di Cambridge e Oxford (e, sebbene in misura inferiore, alla Sorbona di Parigi, che rimane legata soprattutto ai Domenicani) le caratterizza in senso "progressista". Roberto Grossatesta (1175-1223, vescovo di Lincoln, cancelliere dell'università di Oxford, "scrisse di filosofia e di fisica").
2-10) I cosiddetti "secoli bui" cominciano a "illuminarsi" in modo sempre più manifesto a partire dal XIII secolo (che è quello in cui nacque Dante Alighieri, 1265-1321). Leonardo Fibonacci detto il Pisano (1180-1250; nel suo Liber Abaci si utilizza l'oggi usuale - e lo fu a partire dal XVI secolo - sbarretta orizzontale per l'indicazione delle frazioni, già comune presso gli Arabi). Ruggero Bacone (1214-1292?; detto "Doctor Mirabilis", discepolo di Grossatesta, considerato tra i primi a formulare il concetto di "scienza sperimentale", e a sottolineare il ruolo della matematica nei suoi fondamenti, alla fine della vita incorse nel sospetto di eresia da parte dei superiori, e nulla si sa di preciso sulla sua fine; a Ruggero Bacone si deve l'osservazione: Mathematics is the door and the key to the sciences). Alessandro di Villedieu (prima metà XIII secolo; contribuisce, con un suo Carmen de Algorismus, all'affermazione dell'uso delle cifre arabo-indiane). Giovanni di Halifax (1200-1256, più noto con il nome di Sacrobosco, studiò a Oxford e fu docente a Parigi; suo è un modesto Algorismus vulgaris, ma lo si ricorda soprattutto per aver composto, riprendendo Tolomeo e i suoi successori arabi, un trattato di astronomia elementare, De sphaera mundi, che conobbe grande diffusione). Giordano Nemorario (prima metà XIII secolo, esponente di un "indirizzo scientifico più marcatamente aristotelico [e] iniziatore degli studi medievali di meccanica").
2-11) A Raimondo Lullo, francescano, nato a Maiorca (1235?-1315), viene riconosciuto il merito di aver dato inizio ai tentativi di applicare la matematica alla nautica, che segnano i primordi della cosiddetta "navigazione teorica". In uno dei suoi Quodlibeta (Questione 154, Tomo IV) si legge: "La principale causa del flusso e del riflusso del Mar Grande o del Mar d'Inghilterra è l'arco dell'acqua del mare che a ponente appoggia o confina in una terra opposta alle coste dell'Inghilterra, Francia, Spagna e di tutta la confinante Africa, nella quale gli occhi nostri vedono il flusso e riflusso delle acque perché l'arco che forma l'acqua come corpo sferico è naturale che abbia appoggi (confini) opposti su cui posare, poiché altrimenti non potrebbe sostenersi. Per conseguenza, così come in questa parte appoggia sul nostro continente, che vediamo e conosciamo, nella parte opposta di ponente appoggia sull'altro continente che non vediamo e non conosciamo fino ad oggi; però per mezzo della vera filosofia, che riconosce ed osserva mediante i sensi la sfericità dell'acqua ed il conseguente flusso e riflusso, il quale necessariamente esige due sponde opposte che contengano l'acqua tanto movimentata e siano i piedistalli del suo arco, si inferisce logicamente che nella parte occidentale esiste un continente nel quale l'acqua mossa va ad urtare così come rispettivamente urta nella nostra parte orientale".
2-12) Nel secolo successivo, il XIV, spicca, assieme a quello di Tommaso Bradwardine (1290?-1349, arcivescovo di Canterbury, autore di un Tractatus de proportionibus), il nome di Nicola d'Oresme (1323-1382, autore di un De proportionibus proportionum e di un Algorismus proportionum), il quale con la sua latitudo formarum precorre a un tempo la geometria analitica e il calcolo integrale. Nell'Imago Mundi di Pierre d'Ailly (1350-1420; vescovo e cardinale, docente alla Sorbona), opera che fu successivamente meditata da Cristoforo Colombo, viene ammessa la possibilità di una rotazione diurna della Terra intorno al proprio asse (si noti che anche questa concezione crea problemi alla "teoria della gravità" implicita nella Weltbild "sacra"). Con Raimondo di Sabunde (?-1432) si accentua la tesi di un primato del "libro della natura" (medico e teologo catalano, anch'egli originario dell'isola di Maiorca come Raimondo Lullo; la sua opera principale, Theologia Naturalis seu liber creaturarum, fu posta all'Indice dei libri proibiti da Paolo IV nel 1559).
2-13) La caduta di Costantinopoli (1453), che segna il definitivo collasso dell'impero romano d'oriente [Il titolo di Cesare passa però allo Zar di Russia, sicché secondo alcuni la vera fine dell'impero romano avviene soltanto con l'eliminazione dell'ultimo discendente della dinastia Romanov, al tempo della rivoluzione bolscevica.], costituisce l'evento più rilevante dell'età dell'umanesimo (termine che viene utilizzato soprattutto a significare un periodo della "storia letteraria", ma è quanto mai significativo sotto ogni contesto). Sotto l'incalzare dei Turchi, si verificano successive "migrazioni" di dotti bizantini in occidente, i quali recano con sé preziose copie di libri. [Per esempio, la Geografia di Tolomeo ci è pervenuta attraverso un rifacimento bizantino; la copia fu portata a Firenze ai primi del Quattrocento da Emanuele Crisolora, che la tradusse poco dopo in latino insieme a uno dei propri discepoli, Iacopo Angeli.] Il fenomeno accelera il processo di riscoperta delle opere greche, con le quali si ricomincia ad avere un contatto diretto (non mediato cioè attraverso versioni arabe), grazie alla concomitante ripresa dello studio della lingua originale (che era stata "dimenticata", nonostante il canone dei Vangeli sia scritto in greco). Tra le figure di maggiore rilievo a tale proposito ricordiamo il cardinale Bessarione (Trebisonda 1403-Ravenna 1472; arcivescovo di Nicea nel 1437, teologo, umanista, traduttore in latino della Metafisica di Aristotele, donò a Venezia, 1468, la sua ricca biblioteca di codici greci, costituente il nucleo dell'attuale Biblioteca Marciana: "Da lui ebbe grande impulso in Italia lo studio del greco").
2-14) Johannes Gutenberg (1400-1468) e l'invenzione della stampa. [Il più antico foglio a stampa senza indicazione né di data né di tipografo, databile tra il 1445 e il 1446, è costituito da un piccolo frammento, conservato presso il Gutenberg Museum di Magonza: in esso è riportato un brano di un poemetto tedesco sul Giudizio Universale. Successivamente, Gutenberg stampò un Calendario per l'anno 1448; le Lettere d'indulgenza, la più antica stampa a caratteri mobili che riporti la data, risalgono al 1454, mentre il famoso primo vero "libro" a stampa, una copia della Bibbia, fu composto in un periodo tra il 1452 e il 1456.] Giovanni Andrea de Bussi (1417-1475), vescovo, umanista, discepolo di Lorenzo Valla (1407-1457; altro noto umanista romano, al quale si rimprovera una "deplorevole infatuazione pagana", provò la falsità della cosiddetta "donazione di Costantino", questione di sapore "filologico" alla quale si interessò pure il Cusano - vedi oltre - che del Valla fu "protettore"), viene ricordato in modo particolare per essere stato tra i più ferventi promotori della causa della diffusione della stampa, nonostante essa fosse considerata presso certi ambienti di chiesa (non insensatamente!) un altro pericoloso strumento fatalmente destinato a essere indirizzato verso la distruzione della concezione sacra del mondo di cui abbiamo parlato, e pertanto da contrastare. [Nel bel libro di Pasquale Lopez, Sul libro a stampa e le origini della censura ecclesiastica (Ed. Regina, 1972) viene riportato che: "I guasti che soprattutto la domina ratio produce, divulgando e rafforzando anche l'incredulità e l'empietà, al punto di preoccupare più di uno spirito illuminato, scuotono, dunque, a lungo andare, la Curia romana e la inducono a reagire con crescente energia".]
2-15) Sviluppi dell'aritmetica-algebra e della geometria nel XV secolo dell'occidente cristiano, soprattutto in Germania e in Italia. Le considerazioni geometriche (De triangulis omnimodis libri V) di Johannes Müller, detto Regiomontano (1436-1476), sono ancora espresse in una maniera spiccatamente "retorica", che non tiene conto né dell'esempio dell'aritmetica di Diofanto (pure nota in un testo greco all'autore, che aveva anzi pensato a una sua traduzione; di fatto, fino al 1575, quando ne apparve la prima versione latina, "pochi furono gli scienziati che ne conoscevano il contenuto"), né dell'algebra araba. Il primo manuale di aritmetica a stampa è la cosiddetta Aritmetica di Treviso, del 1478 (modesta in realtà dal punto di vista qualitativo, costituisce oggi "una delle più preziose rarità bibliografiche"), a cui fece seguito un testo del genere pubblicato a Bamberg nel 1482 (ne era autore tal Ulrich Wagner). In Francia, Nicolas Chuquet (morto intorno al 1500) scrive un Triparty en la science des nombres, di qualche importanza relativa. Lo studio della prospettiva da parte di artisti e architetti segna la piena ripresa anche degli studi di natura geometrica, e la nascita della "geometria proiettiva". Ricordiamo i nomi di: Filippo Brunelleschi (1377-1446); Leon Battista Alberti (1404-1472); Piero della Francesca (1410-1492); Leonardo da Vinci (1452-1519; questi si ispira addirittura in modo esplicito, nel suo Trattato della pittura, al vecchio motto dell'Accademia platonica: "Non mi legga chi non è matematico" - il motto antico era: "Non entri chi non conosce la geometria"); Johannes Werner (1468-1528); Albrecht Dürer (1471-1528).
2-16) Negli scritti di Nicholas Krebs, detto (Nicola) Cusano, perché originario di Cues, città tedesca situata vicino Treviri [1401-1464; fu in particolare colleganza con Pio II (1458-1464), detto il "papa scienziato" per il suo interesse nei confronti delle "scienze laiche", testimoniato da un'opera intitolata Historia rerum ubique gestarum, nota anche come Cosmographia, la quale fu certamente nota a Cristoforo Colombo.], si trovano: la concezione di un universo "infinito" senza centro (o dove ogni punto può essere pensato come centro); quella di una possibile pluralità di "Soli" e di mondi abitati (precorrente l'interpretazione che ebbe abbastanza rapidamente la successiva "rivoluzione copernicana", al di là forse delle intenzioni e limiti dello stesso Copernico); la consapevolezza del ruolo epistemologico della matematica (riaffermato in seguito da Cartesio): Nihil certi habemus in nostra scientia nisi nostram mathematicam (De Possest, 1460; il titolo fa riferimento a uno degli appellativi di Dio, cioè l'Onnipotente; l'affermazione di Cusano rimanda secondo noi all'analoga di Ruggero Bacone, vedi punto 2-10, con l'ulteriore specificazione che nel discorso matematico risiede l'unica possibile umana certezza). Nel suo De docta ignorantia si teorizza una "ragione umana" che, attraverso il pieno riconoscimento dei propri condizionamenti, è comunque capace di avvicinarsi alla verità: "premessa critica [diremmo quasi pre-kantiana, vedi anche il punto 1-1-4] dello sforzo razionale", e "coscienza umanistica della forza e dei limiti, e però dei diritti e dei doveri, dell'umana ragione". Ancora del Cusano è la formula "Religio una in rituum varietate" (da: De pace fidei), con la quale così, "all'invito alla ricerca della verità", si unisce "la garanzia della tolleranza verso qualunque ricercatore". Il personaggio, e la diffusione del suo pensiero [Cusano conobbe certamente l'opera di Lullo, e quella di Cusano fu a sua volta senza dubbio conosciuta da Copernico.], sono essenziali per comprendere come si stabilisca quel "volano" di cui abbiamo parlato nel punto 1-4-5, alla cui base oltre alla "ragione" [Cui volendo potremmo aggiungere la qualificazione "matematica" (Cusano scrisse nel 1458 un De mathematica perfectione). Singolare da un punto di vista filosofico constatare che proprio agli enti matematici - enti di pensiero, e quindi a priori sottoposti alla soggettività immaginativa dei singoli intelletti - vengano viceversa riconosciute proprietà di stabilità e di certezza, che li autorizzano quale valido fondamento, , della conoscenza.] si colloca anche la solida "esperienza": "A me sembra che quelle scienze siano vane e piene d'errori, le quali non son nate dall'esperienza, madre di ogni certezza, e che non terminano in nota esperienza" (Leonardo da Vinci).
2-17) A proposito di anticipazioni di "eliocentrismo", in una correlazione però di natura "mistica" con i culti solari, e non con la stretta osservazione scientifica, ricordiamo Marsilio Ficino (1433-1499), fondatore di un'Accademia platonica a Firenze sotto gli auspici di Cosimo de' Medici, nonno di Lorenzo il Magnifico. Ficino collocava il Sole, "illuminatore, signore e regolatore dei cieli", al centro dell'universo. Sulla stessa scia Leonardo da Vinci, il quale scrive che: "la Terra non è nel mezzo del cerchio del Sole, né nel mezzo del mondo", e che: "il Sole non si move".
2-18) Tenendo conto degli accennati sviluppi dell'algebra e della geometria, c'è chi propone (per esempio A. Frajese, 1951, Introduzione - vedi Bibliografia) come biffa per l'inizio del periodo "moderno" della nostra storia l'anno 1499, corrispondente alla pubblicazione della Summa de arithmetica, geometria, proportioni et proportionalitate di Fra' Luca Pacioli (nato a Borgo San Sepolcro, 1445-1514). Si tratta in effetti del primo trattato generale di matematica a stampa [Fu invero preceduto da altri libri di "aritmetica" pubblicati a Venezia e a Firenze, di statura però assai minore.], che comprende e rielabora la gran parte del materiale tramandatoci dalla matematica antica, che deve quindi intendersi per allora pienamente recuperato. A parte il fatto che Pacioli appare un "plagiatore" di Piero della Francesca [Secondo la già antica accusa di Giorgio Vasari (1511-1574), formulata nelle sue Vite de' più eccellenti pittori, scultori et architettori (1550): "Colui che doveva con tutte le sue forze ingegnarsi ad accrescergli gloria e nome per aver appreso da lui tutto quello che sapeva, come empio e maligno cercò d'annullare il nome di Piero suo precettore, e usurpare quell'onore che a lui solo si doveva per se stesso, pubblicando sotto nome proprio, cioè di fra Luca del Borgo, tutte le fatiche di quel buon vecchio" - vedi Ettore Picutti, "Sui plagi matematici di frate Luca Pacioli", Le Scienze, N. 2, 1989.], noi preferiamo invece proporre, ritenendo di privilegiare in tal modo una "trama" più essenziale di quella dello sviluppo dell'algebra e della geometria, la data del 1416, anno della fondazione di un Centro di Cultura Nautica (a Sagres, nell'estrema punta meridionale del Portogallo) da parte del principe Enrico il Navigatore (1394-1460), gran maestro "templare".
2-19) Tale scelta sottolinea la circostanza che il risveglio delle antiche arti di Pitagora e di Euclide avviene nel tardo Medioevo sotto un'ottica completamente diversa da quella del semplice recupero testuale, ovvero sotto quella di una "concezione pratica della scienza". Tenuto conto di quanto già detto a proposito dell'otium (punto 1-4-5), una scienza intesa cioè come negotium, il cui motore principale (anziché la pura "curiosità" di cui parla Aristotele all'inizio della Metafisica) diventa il confronto dialettico tra le motivazioni e i riscontri concreti. Secondo Umberto Forti (Storia della Tecnica, UTET, 1974, Vol. II): "La matematica non è pensata, al modo platonico, come un aspetto della filosofia o della metafisica, ma piuttosto come un'arte utile che ci permette di misurare, di calcolare, e - così - di operare sulle cose concrete". La "nuova" scienza è naturalmente fondata sulla matematica, che pur mantiene le caratteristiche ormai consolidate di scienza astratta, ideale, "precisa". Si tratta di una circostanza che va messa bene in evidenza: l'interesse applicativo che è secondo noi alla base della rinascita della matematica in occidente (e quindi alla nascita della "scienza moderna"), rendendo entrambe così diverse dalle corrispondenti "antiche" (ed evitando loro di conseguenza in un immediato futuro quel processo involutivo cui abbiamo accennato sempre nel punto 1-4-5), non modifica la qualità conferita dai Greci alla matematica di essere comunque "scienza razionale", e non empirica. Ovvero, nonostante avrebbe potuto verificarsi una sorta di regressione della disciplina verso un trattamento del tipo descritto in occasione dello studio delle matematiche orientali pre-elleniche, o extra-elleniche, essa non accadde, grazie verosimilmente alla permanenza di uno status ormai "canonizzato" nelle opere classiche fortunatamente rimaste, come gli Elementi euclidei. Se ne potrebbe ricavare la conclusione epistemologica che tanto più la matematica è "pura" (vale a dire, "scienza del pensiero esatto"), tanto meglio riescono poi le sue "applicazioni". Una conferma indiretta della circostanza descritta è non solo il permanere di quella che abbiamo chiamato geometria di precisione, ma anche l'affermazione di quella che sarà l'astronomia di precisione, con la quale si aprirà, naturalmente in campo scientifico, l'evo moderno.
2-20) Simon Wiesenthal (Operazione Nuovo Mondo - I motivi segreti del viaggio di Cristoforo Colombo verso le Indie, 1973; Garzanti, 1991) così descrive il compito che era stato assegnato agli scienziati chiamati a collaborare con la corona portoghese al grande progetto di esplorazione del mondo: "Venne loro affidato un compito della massima importanza per la navigazione: trovare un mezzo che permettesse alle navi veleggianti lontano dalla costa di mantenere la direzione scelta: senza un perfezionamento deciso degli strumenti, senza un metodo per determinare la posizione del sole nelle diverse stagioni e la distanza di una nave dall'equatore, viaggiare per mari sconosciuti era infatti quasi impossibile". [Citiamo a conferma di ciò un'osservazione da una lettera (1500) di Amerigo Vespucci (1451-1512), il quale dice della navigazione dei suoi tempi che: "la loro navichazione è di chondinovo a vista di terra"; un altro testimone coevo, Pietro Martire d'Anghiera (1457-1526), riferisce nei seguenti termini delle esplorazioni portoghesi dell'Africa: "perché a vista di terra, né mai da quella allontanandosi e andando ogni sera in porto, avevano scorso tutta quella costa dell'Africa la quale in su l'Oceano guarda verso mezzodì".] Come abbiamo ricordato nel punto 2-12, riconosciuti preludi del metodo delle coordinate si trovano già in Nicola d'Oresme, il quale usava per esse, nel caso del piano, i due termini di chiara provenienza geografica latitudo e longitudo, a riprova del fatto che il loro utilizzo in matematica ha tratto ispirazione dalla geografia (nel suo aspetto di premessa alla navigazione), e non viceversa (si presti attenzione al fatto che Oresme viene dopo Lullo). La circostanza che numerosi aspetti di questa storia siano generalmente misconosciuti si spiega con un'osservazione del già citato Kurt Mendelssohn, punto 2-1, secondo il quale le attività del Centro di Sagres erano "clandestine", e coperte da "estrema segretezza".
2-21) Il Mendelssohn dianzi citato riporta inoltre un'opinione assai significativa: "I coraggiosi marinai portoghesi non temevano la morte, ma il loro valore non sarebbe servito a molto se non fosse stato per le menti intelligenti e la misteriosa forza nascosta che dirigeva i loro sforzi. I grandi viaggi di scoperta sono diventati un capitolo d'obbligo nei nostri testi scolastici, ma non dicono niente, e molto poco si sa, degli uomini che li pianificarono e li diressero. In un mondo di zelo cristiano avevano buone ragioni per rimanere nell'ombra, perché erano ebrei". In effetti, a Sagres si troveranno a operare numerosi "matematici" ebrei, quali: Jehuda Cresques (1350?-?; era figlio dell'ebreo maiorchino Abraham Cresques, autore del famoso Atlante catalano); Abraham ben Samuel Zakkut (1450-1510; latinizzato in Zacuto, autore di tavole astronomiche redatte in ebraico che si ritiene Colombo portasse con sé nel suo primo viaggio); José Vizinho (di cui non si sa nulla quanto a notizie biografiche, comunque seconda metà del XV secolo), discepolo di Zacuto, etc.. Al Centro di Sagres si può ricollegare l'impresa di Cristoforo Colombo (1451?-1506), il quale sposò la figlia di uno degli aiutanti (anch'egli ovviamente un "templare") del principe Enrico. "Si dice che le sue scoperte furono possibili per l'aiuto di frati e nobildonne, regine e marinai. Credetemi: più di tutto questo poté l'azione di pochi spiriti eletti che rimasero nell'ombra. Le loro tracce compongono un misterioso disegno di cui nessuno sa intravedere il fine" (La veridica historia di Cristobal Colon , E.Elle, 1991). Tra coloro che si occupano invece apertamente in occidente di riprendere e portare avanti gli studi astronomici dei Greci e degli Arabi (i quali per esempio avevano anche ripetuto la misurazione della Terra effettuata da Eratostene) citiamo il nome di Georg Peurbach (1423-1469).

(Nell'incisione coeva sono rappresentati il re del Portogallo Giovanni II,

il quale ebbe fieri contrasti con Cristoforo Colombo, e uno scienziato che si presume

essere Abraham Zacuto. Si noti il tipo di matematica rappresentata nelle pagine

del libro che si trova nelle mani dello scienziato.)

(Figura 7)


2-22) Il futuro scopritore dell'America si trova costretto a operare contro la "geografia sacra" descritta nel punto 2-1, rischiando l'accusa di eresia (documentata da un diretto testimone, il vescovo Alessandro Geraldini di Amelia, porta-parola presso la corte spagnola del papa Innocenzo VIII). Il problema delle reali proporzioni della sfera terrestre e dell'ecumene (relativa possibile confusione tra diverse unità di misura; informazioni provenienti da mercanti e da Francescani sull'effettiva estensione della terraferma fino alla Cina). Su tali questioni potevano esserci delle divergenze di opinione, ma non ce ne potevano essere sul fatto che la Terra non fosse uguale in tutte le sue parti (non omogenea), e che nell'"emisfero inferiore" (non quello boreale!) non si potesse navigare. "Ammesso infatti, per absurdum, che si fosse potuto navigare fuor dell'abitabile in discesa, lungo la china della sfera, come si sarebbe poi potuto voltare e continuare la navigazione dall'altra parte? Sarebbe stato come voler risalire la china d'un monte, cosa che le navi non avrebbero potuto fare, nemmeno con il più forte dei venti" (la citazione, dalla già nominata M.L. Fagioli Cipriani, comprende parole di Fernando Colombo, 1488-1539, figlio - "illegittimo", nel senso di nato fuori da regolare matrimonio, ma "riconosciuto" - di Cristoforo). Di conseguenza, in tale sconosciuto emisfero ci potevano essere forse terre (i famosi antipodi, a far da "contrappeso" a quelle emerse nell'emisfero superiore), ma certamente non abitanti, dal momento che la navigazione fino a loro era per i motivi appena detti impossibile (se si immaginava una vera e propria "caduta" una volta raggiunta la "circumferentia centri gravitatis", e non una semplice navigazione in discesa sebbene senza ritorno), e che il genere umano era tutto disceso da un solo uomo (ipotesi monogenetica). A tale immagine del mondo, Colombo contrappone "modernamente" che: "Acqua e terra insieme formano un corpo rotondo. Il centro di gravità della terra e dell'acqua insieme è il centro del mondo". [Si tratta di una delle famose "postille" appuntate di propria mano dal navigatore sulle pagine di una copia del libro di Pierre d'Ailly - vedi il punto 2-12 - conservata presso la Biblioteca Colombina di Siviglia; queste parole verranno riprese quasi tali e quali da Copernico.] Concludiamo notando che, nonostante i fraintendimenti della vicenda continuino ancor oggi, a Fernando Colombo si riconosce comunque il merito di aver introdotto apertamente il metodo per la misurazione di una differenza di longitudine mediante il "trasporto del tempo" (in una "proposta" presentata al re di Spagna Filippo II nel 1524).

(Il mondo appare ancora "capovolto" in un'incisione del XVII secolo,

conservata presso il Museo del Louvre.)

(Figura 7)
2-23) Le probabili relazioni tra la scoperta dell'America e la rivoluzione copernicana, la seconda usualmente separata dalla prima da circostanze di spazio, di tempo, e qualitative (scienza versus casualità). La (rapida) affermazione di una nuova Weltbild, e la conseguente scomparsa di quella "sacra", sono segno di una disponibilità concettuale al capovolgimento dei valori, proprio come la "rivoluzione geografica" che aveva preceduto quella astronomica, ancorché sapientemente occultata per motivazioni politiche, aveva letteralmente "capovolto" il globo. Così declama al riguardo il Galileo di Brecht: "Sempre, a memoria d'uomo, le navi avevano strisciato lungo le coste: ad un tratto se ne allontanarono e si slanciarono fuori, attraversando il mare. Sul nostro vecchio continente allora si sparse una voce: esistono nuovi continenti. E da quando le nostre navi vi approdano, i continenti ridendo dicono: il grande e temuto mare non è che un po' d'acqua. E c'è una gran voglia di investigare le cause prime di tutte le cose [...] Presto l'umanità avrà le idee chiare sul luogo in cui vive, sul corpo celeste che costituisce la sua dimora. Non le basta più quello che sta scritto negli antichi libri". In altre parole, il "rinascimento" è contraddistinto sì dalla ripresa della scienza e della cultura classica, ma in misura ancora maggiore dal definitivo affrancamento dal loro comunque ininterrotto autorevole influsso.



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