Calcoli algebrici e proprietà dei campi



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06.12.2017
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Relazioni tra matematica e tempo
Antonio Fontana1


Sunto. Lo scopo di questo lavoro è analizzare alcune relazioni tra matematica e tempo, mostrando come il concetto di tempo sia cambiato nel corso dei millenni da Aristotele a Einstein, passando da un tempo assoluto ad un tempo relativo.
Abstract. The pur pose of this paper is to analize some relations between time and mathematics showing how the concepì of time has changed from an absolute time in Aristotele to a relative time in Einstein.
Parole chiave: spazio, tempo



  1. Il tempo e la matematica.

Associare una nozione così sfuggente ed eterea, come quella di Tempo, ad una disciplina che presume di coltivare “certezze”, come la Matematica, è sicuramente un’operazione azzardata.

Nelle note che seguono non si ha alcuna pretesa di completezza, si tratta solamente di spunti che possono aiutare ad attivare un percorso di riflessione in classe.


    1. Il paradosso di Zenone.

La prima connessione tra matematica e tempo che esaminiamo è data da una famoso paradosso. Zenone di Elea, circa due secoli prima di Euclide, formulò il famoso paradosso:

Achille e la tartaruga. Si può formulare in questo modo: ..per arrivare al traguardo dei 1000 metri un atleta deve prima percorrere 500 metri, poi deve percorrere la metà dei 500 metri che rimangono e poi ancora la metà dei 250 metri che restano al traguardo e così via …. all’infinito. Dunque l’atleta non raggiungerà mai il traguardo. Certamente Zenone era convinto che l’atleta avrebbe invece raggiunto presto il traguardo. Dove è dunque l’errore ? La conclusione è infatti paradossale ma non è ovvio da dove il paradosso tragga origine. Forse dall’assunzione che in un tempo finito si possano fare solo un numero finito di cose. La traduzione matematica di tale assunto è che infiniti intervalli di tempo non potessero avere una “somma finita”.

E’ proprio il paradosso di Zenone a convincerci che questa assunzione è falsa. La lunghezza di un chilometro (o il corrispondente intervallo temporale) resta tale dopo che se ne sia effettuata una ideale suddivisione in mezzo chilometro, più un quarto di chilometro, più un ottavo di chilometro,

dunque
½ + ¼ + …………. + ½n +………= 1
essa è una somma di infiniti termini ma il risultato è finito.

1.2 Misurazione del tempo.


Un altro campo di interazione tra matematica e tempo è data dalla misura del tempo. Nel corso dei secoli si è cercato di misurare il tempo con precisione sempre maggiore. Galileo, intorno al 1600, intuì la legge dell’isocronismo del pendolo osservando il lampadario della Cattedrale di Pisa. Questa sua intuizione è vera solo quando l’angolo di oscillazione è piccolo. Galileo alla sua morte lasciò dei disegni raffiguranti l’orologio a pendolo. Dopo la morte di Galileo il figlio tentò invano di costruirne uno utilizzando i disegni del padre. Dopo pochi anni lo scienziato olandese Christian Huyghens riuscì a costruire il primo orologio a pendolo e dimostrare che esiste una curva lungo la quale un grave può oscillare in modo che il periodo delle oscillazioni, grandi o piccole che siano, è rigorosamente sempre lo stesso. Questa curva è la Cicloide: curva descritta da un punto di un cerchio che rotola senza strisciare lungo una retta. Le equazioni parametriche della cicloide sono:
x = t – sen t; y = 1 – cos t,  t  R

La Cicloide ha altre proprietà legate al tempo: essa è la curva che rende minimo il tempo di caduta di un grave da un punto P ad un punto Q. Cioè oltre che tautocrona è anche brachistocrona. La Cicloide è evoluta ed evolvente di se stessa.

Usando quest’ultima proprietà Huyghens riuscì a costruire un pendolo nel quale la massa si muove lungo una cicloide. Le oscillazioni di un pendolo siffatto sono rigorosamente isocrone.

1.3 Spazio – Tempo quadridimensionale


Con l’introduzione della coordinata tempo, si ha una più corretta analisi dell’Universo identificato con il cosiddetto Spazio-Tempo quadridimensionale (x,y,z,t) di Minkowsky, in cui l’insieme dei punti eventi (x,y,z,t) definisce uno spazio geometrico quadridimensionale.

Nello spazio-tempo la metrica è definita da:


ds2 = dx2 + dy2 + dz2 - c2dt2

Tale relazione si può giustificare geometricamente aggiungendo alla terna di assi cartesiani reali un quarto asse immaginario “ict” dove “ct” dà una grandezza metrica, “i” perché l’asse è immaginario.

Con Einstein si passa quindi da un Tempo Assoluto ad un Tempo Relativo, infatti un corpo a velocità prossime a quelle della luce sperimenterebbe una dilatazione del tempo.

Il tempo nella concezione Einsteiniana in riferimento ad un modello geometrico analogo allo spazio di Minkowsky la concezione della distanza nello spazio-tempo quadridimensionale è espressa dalla seguente relazione:


ds2 = dx2 + dy2 + dz2 - c2dt2 (*)

ha provocato durante il mio percorso di studi tremende perplessità in quanto la distanza, in senso classico, è sempre definita come forma quadratica positiva. Da cosa proviene il segno meno nel quarto termine? Ho capito come la questione sia legata all’ampliamento dello spazio tridimensionale geometrico reale con un quarta dimensione che ci rappresenta il tempo. Ciò mi ha portato ad affrontare nelle classi in cui insegno il problema sotto l’aspetto epistemologico ponendo ai ragazzi alcuni quesiti. La giustificazione della relazione (*) presenta due aspetti fondamentali per educazione matematica di un giovane oggi:




  1. la grandezza tempo si misura in secondi per cui il dt non è confrontabile con le grandezze metriche: dx, dy, dz; pertanto il prodotto c dt, velocità per tempo, ci dà una grandezza metrica che ben si adatta al completamento della relazione (*). Infatti, i fenomeni relativistici si giustificano su grandi spazi, con velocità prossime a quelle della luce.

2) l’asse dei tempi si può considerare un asse immaginario in quanto lo spazio geometrico in cui viviamo è tridimensionale per cui l’elemento cdt va moltiplicato per l’unità immaginaria i, risultando la distanza:

ds2 = dx2 + dy2 + dz2 +(i c dt)2


ds2 = dx2 + dy2 + dz2 - c2 dt2
a livello didattico questo mi ha permesso di introdurre ed assemblare tra di loro concetti che vengono affrontati in periodi scolastici diversi ed in contesti contenutistici diversi:
a) il campo complesso C e la sua rappresentazione sul piano di Argand–Gauss in riferimento ad alcune tipiche trasformazioni del piano.
b) il passaggio dall’algebra all’analisi che ci porta dalle grandezze finite alle grandezze infinitesime espresse dai differenziali.
c) il riferimento alla cinematica relativamente a richiami alle relazioni tra spazio, tempo, velocità con opportune osservazioni.

Considerato che da secoli in Matematica si studiano spazi astratti



n-dimensionali, ci si può chiedere se in futuro si troveranno nuove formule che diano luogo a spazi geometrici con più di tre dimensioni ed un concetto di tempo che “viva” in più di una dimensione.


1 Docente liceo scientifico Mercalli - Napoli






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