Corso di laurea specialistica in matematica



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02.12.2017
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UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI GENOVA

FACOLTÀ DI SCIENZE MATEMATICHE, FISICHE E NATURALI

CORSO DI LAUREA SPECIALISTICA IN MATEMATICA

a. a. 2010 – 2011



Laboratorio di Didattica della Matematica

Prof.ssa Laura Parenti



Congetturare, argomentare, dimostrare

Percorso di introduzione alla dimostrazione

per scuole secondarie di secondo grado

Laura Boni


Il Cosa

Il seguente percorso didattico, da attuarsi nel primo anno della scuola secondaria di secondo grado, vuole essere una proposta che stimoli negli studenti la capacità di produrre congetture, l’esigenza di argomentarle con coerenza per avviare un primo approccio al dimostrare.


Il Perché

Il saper argomentare, congetturare e dimostrare caratterizza un pensiero matematico maturo, nel senso che favorisce il passaggio da un pensiero matematico intuitivo ed operativo a forme di pensiero deduttivo ed astratto.

Imparare a formulare proprie congetture stimola tutta l’attività matematica, infatti per formulare una congettura occorre prima argomentarla e sperimentarla su esempi, infine, quando si è convinti della sua verità, si prova a dimostrarla; se al contrario si intuisce la sua falsità, si cerca di fornire un contro esempio.

Congetturare, argomentare e dimostrare, oltre ad essere competenze proprie della matematica sono anche di altri ambiti come quello sperimentale o quello linguistico e si estendono ad ogni contesto della vita culturale dell'uomo.

Queste competenze stimolano la capacità di controllo sulla realtà, il pensiero critico, e la capacità di una corretta comunicazione.

Infatti per raggiungere tali competenze gli alunni devono imparare a chiedersi il perché delle cose, quindi a concentrare il pensiero su un fenomeno particolare, a circoscriverlo, ad estrarlo dal contesto, ad esprimerlo, a formulare senza ambiguità le proprie opinioni, ad esaminare metodi ed idee altrui, ascoltando attentamente e riflettendo sulle affermazioni fatte dagli altri.


Inoltre è possibile fare collegamenti interdisciplinari con molte materie, da quelle di carattere più scientifico, come la biologia o la fisica, a quelle di carattere umanistico, come lettere e filosofia.

Potrebbe essere, ad esempio, molto interessante fare un percorso sullo sviluppo del pensiero dell’uomo.



Il Come

Si educa alla dimostrazione facendo evolvere le concezioni degli allievi da una fase intuitiva ad una sistemazione in un linguaggio preciso, formulando le problematiche intuite dapprima in modo confuso in concetti rigorosi e definiti.

Per arrivare alla dimostrazione consapevole, è necessario sviluppare le competenze argomentative, le quali hanno bisogno di un clima favorevole all'elaborazioni di ipotesi e alla successiva discussione.

Per favorire questo percorso si è pensato di far lavorare i ragazzi in situazioni di riferimento forti capaci di far emergere sia la dimensione affettiva che quella cognitiva, favorendo l’emergere di concezioni individuali per poter sviluppare e consolidare giuste intuizione e superare eventuali misconcetti.

In questo senso si è lavorato partendo da giochi, in quanto oltre che a stimolare maggiormente l’interesse dei ragazzi, favoriscono lo sviluppo di un linguaggio specifico e il mettersi in gioco in prima persona all’interno del gruppo classe.

Si è quindi scelto di favorire la discussione in classe, in quanto si ritiene che il confronto con i pari mediato dall’intervento del docente sia una via privilegiata per ottenere una crescita linguistica e concettuale condivisa e per la costruzione di nuovi concetti, che, come in questo caso, spesso si costruiscono proprio a partire dal confronto del proprio modo di ragionare con quello altrui.

In quest’ottica è però essenziale il clima che si crea nella classe. Infatti i ragazzi devono avere la possibilità di formulare diverse ipotesi, di spiegare i loro ragionamenti, senza la paura di sbagliare.

Gli allievi, quindi, devono poter prendere l'abitudine di esprimere le motivazioni di ciò che hanno affermato, educandosi al rispetto delle opinioni altrui e non essendo condizionati dal voto finale che gli verrà dato.

Si è comunque ritenuta fondamentale una riflessione individuale scritta che ha preceduto e/o seguito le discussioni, per favorire la formulazione di ipotesi da parte dei singoli e il consolidamento dei concetti elaborati nel gruppo classe.

Si è lavorato con il software GeoGebra in quanto si è ritenuto che potesse essere un mediatore utile sia nell’attività di esplorazione e di congettura, sia in quella argomentativa e quindi dimostrativa.

Infatti le possibilità offerte dalle modalità di trascinamento, la dinamicità delle figure geometriche e la possibilità di osservare oltre che la figura finita anche il processo di costruzione, fanno di questo software un valido supporto per la transizione dalla fase di congettura a quella di dimostrazione.

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In sintesi

Classe: L’unità didattica descritta è da proporre in una classe prima della scuola secondaria di secondo grado.

Livello: Il livello della classe deve essere medio.

Metodologia: lezioni dialogate

Schede di lavoro

Discussioni di classe

Esercitazioni individuali

Esercitazioni in laboratorio informatico

Software utilizzati: GeoGebra

Prerequisiti: Il percorso didattico è stato impostato in modo da potersi inserire in armonia con il programma.

Le prime lezioni non prevedono prerequisiti matematici e possono essere usate come primo approccio con la classe.

Le lezioni successive vanno inserite all’interno di un contesto geometrico e sono impostate in modo tale che il percorso possa seguire il programma di geometria euclidea. Infatti le nozioni di geometria necessarie per risolvere le schede di lavoro aumentano con il susseguirsi delle lezioni. I prerequisiti necessari alle lezioni 9 e 10 sono il linguaggio algebrico e il calcolo aritmetico e letterale, e per questo motivo queste lezioni sono state previste alla fine del percorso.

In alcune lezione si fa uso del software GeoGebra, di cui gli studenti conoscono già le funzionalità principali e le potenzialità della modalità di trascinamento.



Obiettivi disciplinari: fornire gli studenti di strategie, processi e strumenti per passare dalla congettura, all’argomentazione, alla dimostrazione.

Obbiettivi trasversali : Stimolare la curiosità e l’interesse degli studenti

Accrescere la capacità di osservazione

Accrescere la capacità di astrazione

Accrescere la capacità di generalizzazione

Stimolare la riflessione

Stimolare il confronto con opinioni diverse dalla propria

Accrescere l’attenzione ai termini usati nel linguaggio verbale

Accrescere il pensiero critico

Accrescere la capacità di comunicare

Il percorso didattico

1°lezione- lezione di approccio

Obiettivi:


  • Costruire un clima di confronto costruttivo nel gruppo classe

  • Favorire l’istituzione di regole condivise dal gruppo classe che contribuiscano a creare un ambiente in cui i singoli si possano esprimere liberamente

  • Avviare una prima riflessione sull’argomentare

  • Attenzione al linguaggio consapevole o inconsapevole del singolo e della classe al fine di costruire un linguaggio di classe, disciplinare.

Scheda di lavoro n.1

Tra esattamente un’ora la terra esploderà. L’umanità rischia di estinguersi. C’è un’astronave pronta a partire per un nuovo pianeta in cui gli scienziati dicono che potrà ricominciare la vita. L’astronave però può trasportare solo otto persone. Il tuo compito sarà quello di decidere quali tra le 38 persone elencate di seguito faresti salire sull’astronave per salvare l’umanità. Hai 20 minuti di tempo per decidere.



PROFESSIONE

SESSO

ETÀ

Farmacista

M

38

Medico

M

55

Prof. di matematica

F

30

Prof. di italiano

M

29

Prof. di storia

F

29

Prof. di educazione fisica

M

28

Informatico

M

48

Astronauta

F

60

Meccanico

M

53

Idraulico

M

22

Attore

M

23

Regista

F

25

Scrittore

F

23

Archeologo

F

90

Scienziato premio Nobel

M

63

Contadino

M

52

Pompiere

M

32

Astronomo

M

42

Prete

M

31

Rabbino

M

34

Bambina

F

6

Ragazzo

M

13

Suora

F

30

Mullah

M

37

Muratore

M

60

Architetto

F

45

Ingegnere

F

50

Speleologo

F

57

Ballerino

M

18

Cantante

F

27

Erborista

M

62

Psicologo

F

49

Falegname

M

19

Astronauta

M

62

Sarta

F

40

Cuoco

F

39

Dietologo

M

42

Soldato

M

37

Chi hai deciso di far partire? Motiva brevemente le tue risposte.

  1. _____________________________________________________________________________



  1. _____________________________________________________________________________



  1. _____________________________________________________________________________



  1. _____________________________________________________________________________



  1. _____________________________________________________________________________



  1. _____________________________________________________________________________



  1. _____________________________________________________________________________



  1. _____________________________________________________________________________

Attività

Terminata la scheda individuale gli alunni dovranno confrontarsi per decidere insieme quali saranno le otto persone che saliranno sull’astronave. I ragazzi avranno a disposizione per questa seconda parte dell’attività 40 minuti.

L’insegnante, cercando di intervenire il meno possibile nella discussione, dovrà stimolare i ragazzi ad esporre le proprie idee argomentandole. Il docente, inoltre, dovrà annotare il comportamento dei singoli alunni e gli interventi più significativi per la discussione che seguirà l’attività.
Discussione

Finita la seconda fase dell’attività si avvia una discussione che ha due scopi principali:



  • scrivere alcune regole di comportamento condivise da tutta la classe per garantire nelle lezioni successive un confronto efficace e rispettoso;

  • incominciare una riflessione sull’attività di argomentare, facendo ad esempio notare ai ragazzi quando non hanno fornito delle argomentazioni coerenti a sostegno delle loro idee;

  • far notare ai ragazzi il carattere soggettivo delle loro argomentazioni.

2°lezione- lezione di approccio
Obiettivi:

  • Costruire un clima di confronto costruttivo nel gruppo classe

  • Stimolare gli studenti a formulare proprie congetture

  • Avviare una prima riflessione sull’argomentare

  • Attenzione al linguaggio consapevole o inconsapevole del singolo e della classe al fine di costruire un linguaggio di classe, disciplinare.

Scheda di lavoro n.2

Leggi il seguente racconto e rispondi alle domande.



c:\users\laura\desktop\009.jpg

Secondo te chi è il colpevole? _________________________________________________________

Quali sono stati gli indizi che ti hanno portato a questa conclusione?

_______________________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________________

Quali sono i ragionamenti che ti hanno portato alla conclusione partendo dagli indizi che hai

indicato?________________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________________
Nota
In alternativa si potrebbe far leggere un racconto d’autore privato del finale, ad esempio di Agatha Christie o di Arthur Conan Doyle. In questo modo si potrebbe avviare un percorso interdisciplinare con l’insegnante di lettere.
Attività
Divisi in coppie (se c’è un numero dispari di ragazzi si formerà un gruppo di tre) gli studenti dovranno confrontarsi sulle proprie conclusioni ed arrivare ad una soluzione comune. Se è possibile l’insegnante dovrà formare le coppie in modo tale che i componenti di ogni coppia siano arrivati a soluzioni differenti.

Al termine della discussione i ragazzi dovranno compilare singolarmente la scheda di lavoro n.3


Scheda di lavoro n.3

A quale conclusione è arrivato il tuo compagno?________________________________________________

_______________________________________________________________________________________

Quali sono stati gli indizi che lo hanno portato a questa conclusione?

_______________________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________________

Quali sono i ragionamenti che lo hanno portato alla conclusione partendo dagli indizi che hai indicato nella risposta precedente? ______________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________________

Quale conclusione avete scelto insieme?______________________________________________________

_______________________________________________________________________________________

Perché avete escluso l’altra?________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________________

Attività
Ogni coppia presenta al gruppo classe la propria soluzione spiegando perché è stata scelta.

Il resto della classe deve cercare di trovare delle incoerenze nel ragionamento.

L’insegnate riporta alla lavagna le soluzioni, gli indizi che hanno portato alle soluzioni e le incoerenze segnalate dagli alunni.

Al termine della discussione verrà scelta come soluzione vincente quella che è stata presentata con maggior coerenza. Se come storia iniziale è stata scelta una storia d’autore al termine della discussione si leggerà il finale della storia e vincerà la coppia che si è avvicinata maggiormente alla soluzione effettiva.



Discussione

La discussione dovrà essere un riepilogo dell’attività svolta.

L’insegnante dovrà far emergere il fatto che per arrivare ad una soluzione convincente si sono dovuti cercare gli indizi utili e metterli insieme con coerenza.

In questa attività, a differenza di quella precedente, le argomentazioni assumono un carattere oggettivo in quanto nascono dalla presenza di indizi.

Il docente potrà anche far notare le situazioni in cui non sono state rispettate le regole di comportamento scritte durante la lezione precedente.

3°lezione-lezione di approccio

Obiettivi:


  • Stimolare gli studenti a formulare proprie congetture

  • Avviare una prima riflessione sull’argomentare

  • Attenzione al linguaggio consapevole o inconsapevole del singolo e della classe al fine di costruire un linguaggio di classe, disciplinare.

  • Introduzione alla generalizzazione

  • Introduzione alla dimostrazione

  • Far cogliere agli studenti la differenza tra verifica e dimostrazione

Scheda di lavoro n.4

Con la riga e il compasso fai la seguente costruzione:



  • Disegna un segmento AB

  • Disegna la circonferenza di centro A e raggio AB

  • Disegna la circonferenza di centro B e raggio AB

  • Indica con C un punto di intersezione tra le due circonferenze.

  • Disegna il triangolo ABC

Rispondi alle seguenti domande:

Il triangolo ABC ha qualche particolare caratteristica?____________________________________________

_______________________________________________________________________________________

Perché?_________________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________________

Se prendessi un qualunque altro segmento A’B’ otterresti un triangolo A’B’C’ con la stessa caratteristica?

______________________________________________________________________________________

Perché?_________________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________________

Discussione

Si condividono con il gruppo classe le risposte. Mi aspetto che la maggior parte degli alunni scopra che il triangolo è equilatero e affermi che questo fatto è vero in generale perché si è verificato in tutti gli esempi.

Compito dell’insegnante è far ragionare gli alunni sul fatto che non basta intuire che una proprietà sia vera in qualche caso per dire che è vera sempre, infatti bisognerebbe provarlo in tutti i casi possibili, ma questo implicherebbe compiere infinite prove.

Il fatto che la proprietà sia vera in parecchi casi è comunque un “indizio” che ci dice che potrebbe essere vera sempre, ma bisogna capire perché è vera e quindi bisogna provarla. Per farlo dobbiamo usare proprietà che conosciamo già.

A questo punto l’insegnante costruisce con la classe la dimostrazione.

Al termine della lezione il docente spiega il significato di DIMOSTRAZIONE e di TEOREMA.

Una dimostrazione, in matematica, è il dedurre all’interno di un modello scelto una proprietà a partire da altre assunte come vere o già dimostrate, attraverso una sequenza di passaggi controllabili in modo oggettivo, ossia senza dar spazio a interpretazioni personali e usando procedimenti prestabiliti, in modo che tutta la argomentazione sia verificabile in modo rigoroso. [da MaCoSa]

Una proprietà per cui si sia trovata una dimostrazione si chiama TEOREMA. In un teorema ciò che si suppone vero si chiama IPOTESI ( e si indica Ip, Hp) e ciò che si vuole dimostrare viene chiamato TESI (Ts).

Sarà opportuno far ragionare i ragazzi sull’importanza di stabilire il modello all’interno del quale si dimostra la congettura. A questo fine si possono fornire alcuni semplici esempi che possano aiutare il ragazzo a capire il concetto.

Per esempio si può fare osservare che il fatto che due rette perpendicolari ad una terza retta siano tra loro parallele è vero nel piano, ma non nello spazio.



Scheda di lavoro n.5

Scrivi la congettura dell’esercizio precedente formulandola come teorema evidenziando quali sono le ipotesi e qual è la tesi.

_______________________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________________

Hai già incontrato la parola teorema a scuola?__________________________________________________

Scrivi degli esempi di teoremi che hai già studiato.

_______________________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________________

Individua le ipotesi e la tesi dei teoremi che hai scritto nella risposta precedente.

_______________________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________________

Scrivi delle frasi del linguaggio comune in cui si usa la parola dimostrare.

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_______________________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________________

Discussione

Durante la discussione gli studenti condividono le proprie risposte.

È probabile che si ricordino alcuni teoremi studiati alla scuola media, come il Teorema di Pitagora.

Alcune frasi individuate dagli studenti in cui viene utilizzato il termine dimostrare potrebbero essere:



  • Hai dimostrato di aver studiato.

  • Non ti credo finché non mi dimostri il contrario.

  • Hanno dimostrato che l’imputato è innocente.

  • È una dimostrazione di amore.

Sarà opportuno sottolineare analogie e differenze del termine “dimostrare” usato comunemente e quello usato in matematica.

4°lezione-lezione di bilancio

Scheda di verifica n.1

Esercizio 1




Dai disegni riportati sopra quale proprietà si evince?
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_______________________________________________________________________________________
Si può dedurre che questa proprietà vale per qualunque triangolo? Motiva la tua risposta.
_______________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________
Esercizio 2
Con riga e compasso:

  • Disegna una circonferenza di centro O.

  • Disegna una seconda circonferenza avente centro H in un punto della circonferenza precedente e avente raggio HO.

Siano M e L i punti di intersezione delle due circonferenze. Quali caratteriste ha il quadrilatero OMHL ?

_______________________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________________

Questo fatto è sempre vero. Prova a dimostrarlo.

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_______________________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________________

4°lezione- lezione di sviluppo

Obiettivi:


  • sviluppare la capacità di formulare congetture a partire dall’esplorazione

  • argomentare le proprie congetture

  • elaborare dimostrazioni

  • elaborare contro esempi


Scheda di lavoro n.6

Definiamo un triangolo isoscele come un triangolo con due lati congruenti.

Disegna con GeoGebra un triangolo isoscele e prova a scoprire altre proprietà che secondo te valgono per tutti i triangoli isosceli.

Prendi nota qui sotto di tutto quello che osservi.



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Discussione

La definizione di triangolo isoscele è stata riportata per sottolineare il fatto che tutte le altre proprietà, che forse i ragazzi si ricordano dalle scuole medie, non fanno parte della definizione, ma si possono dimostrare a partire da questa.

Durante la discussione si porrà l’accento sul significato di definizione e si condivideranno le congetture nate dall’esplorazione. Il clima del gruppo classe dovrebbe essere di confronto costruttivo, quindi sarà importante che i ragazzi siano stimolati ad intervenire qualora non fossero d’accordo con le osservazione degli altri. Nel caso in cui siano state fatte delle congetture non vere, la mediazione dell’insegnante dovrebbe far emergere spontaneamente dei contro esempi dagli studenti.
Seguirà quindi una sistemazione formale delle osservazioni e la formulazione dei teoremi.

A questo punto si chiederà ai ragazzi di procedere individualmente alla dimostrazione dei teoremi individuati e di trovare dei contro esempi alle congetture non vere.


Nota:

Alcune congetture riportate potrebbero essere:







  • Se un triangolo è isoscele allora gli angoli alla base sono congruenti

  • Se un triangolo è isoscele allora la bisettrice tracciata dal vertice coincide con l’altezza e con la mediana.

  • Se un triangolo è isoscele allora i due triangoli, formati dal triangolo di partenza tagliato dall’altezza tracciata dal vertice, sono congruenti. (DBA=DCA)

Scheda di lavoro n.7

Esercizio 1

Riporta i teoremi emersi dalla discussione in classe scrivendo per ciascuno le ipotesi e la tesi e prova a dimostrarli.



Esercizio 2

Riporta le congetture errate emerse dalla discussione in classe e prova a fornire almeno due contro esempi per ogni congettura.



Discussione

Nella discussione vengono condivise le dimostrazioni e i contro esempi.

La discussione collettiva in classe è utile al fine di far evolvere i processi argomentativi degli

studenti verso la dimostrazione; inoltre la verbalizzazione permette agli alunni di avere un maggior controllo sulla coerenza delle proprie dimostrazioni e permette al docente di seguirli nel loro processo di crescita logico-deduttiva.

Al termine della discussione, per ogni teorema, vengono scritte una o più dimostrazioni condivise dal gruppo classe.

5°lezione- lezione di sviluppo

Obiettivi:


  • sviluppare la capacità di formulare congetture a partire dall’esplorazione

  • argomentare le proprie congetture

  • elaborare dimostrazioni

  • elaborare contro esempi

  • ragionare sulle condizioni necessarie e sufficienti


Scheda di lavoro n.8
Congettura:

Se un triangolo ha gli angoli alla base congruenti allora il triangolo è isoscele.


Quali sono le ipotesi?
_______________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________

Qual è la tesi?


_______________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________

Aiutandoti con un disegno prova a dimostrare la congettura.


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_______________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________

La scorsa lezione abbiamo congetturato e dimostrato il seguente teorema:

Se un triangolo è isoscele allora gli angoli alla base sono congruenti.
Secondo te questi due teoremi sono equivalenti? Motiva la tua risposta.
_______________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________

Discussione

Durante questa discussione dovrebbe emergere la differenza tra i due teoremi, a questo scopo è stato esplicitamente chiesto di trovare le ipotesi e la tesi del nuovo teorema. Si avvia quindi una riflessione sulle diverse implicazioni di un teorema e sul linguaggio (se…allora, se e solo se).

Dopo un confronto sulla dimostrazione si arriva ad una dimostrazione condiva e quindi si formula il nuovo teorema:

“Un triangolo è isoscele se e solo se ha gli angoli alla base congruenti”.



6°lezione-lezione di bilancio

Scheda di verifica n.2

Definiamo quadrato un rettangolo con tutti i lati congruenti.

Utilizzando GeoGebra prova a scoprire altre proprietà che secondo te valgono per tutti i quadrati.

Prendete nota qui sotto di tutto quello che osservate.



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Scegli due delle proprietà che hai trovato.

Formulale come enunciati di teoremi ed evidenzia quali sono le ipotesi e qual è la tesi.

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_______________________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________________

Dimostra le proprietà che hai trovato.



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_______________________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________________

Discussione

Nella discussione i ragazzi condividono i teoremi da loro congetturati e le dimostrazioni.

L’insegnante deve aver cura di far emergere tra gli altri il teorema:

“Se un quadrilatero è un quadrato allora ha le diagonali congruenti”,

perché servirà nella lezione successiva.
7°lezione- lezione di sviluppo

Obiettivi:


  • sviluppare la capacità di formulare congetture a partire dall’esplorazione

  • argomentare le proprie congetture

  • elaborare dimostrazioni

  • elaborare contro esempi

  • ragionare sulle condizioni necessarie e sufficienti

Scheda di lavoro n.9

Congettura:

se un quadrilatero ha le diagonali congruenti allora è un quadrato.

Secondo te questa congettura è un teorema? Aiutandoti con un disegno motiva la tua risposta.

_______________________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________________



Discussione

Nella discussione dovrà emergere il confronto con il teorema

“Se un quadrilatero è un quadrato allora ha le diagonali congruenti”.

In questo modo i ragazzi saranno aiutati a capire che in un teorema se vale un’implicazione, non vale necessariamente anche l’altra.



8°lezione - lezione di bilancio

Scheda di verifica n.3

Prova a scrivere l’enunciato di un teorema per cui non sia vero il viceversa. Motiva esaurientemente la tua risposta.



Discussione

Durante la discussione i ragazzi condividono le proprie risposte.

Due esempi di teoremi che potrebbero emergere sono:


Il viceversa è:

Se un quadrilatero ha gli angoli congruenti allora è un quadrato



  • Se un triangolo è equilatero allora tutti i suoi angoli sono acuti

Il viceversa è:

Se un triangolo ha tutti gli angoli acuti allora è equilatero



9°lezione - lezione di consolidamento

Obiettivi:

  • verificare le abilità apprese lavorando non più nell’ambiente geometrico, ma in quello algebrico

  • confrontare il punto di partenza e il punto di arrivo dell'intervento evidenziando le tappe del percorso, il processo messo in atto, gli obiettivi disciplinari raggiunti e l'evoluzione del linguaggio

  • usare linguaggio simbolico dell’algebra

  • produrre congetture, argomentarle, dimostrarle

Scheda di lavoro n.10

Cosa vuol dire che un numero è pari?_________________________________________________________

_______________________________________________________________________________________

Come potresti scrivere un qualunque numero pari in linguaggio algebrico?___________________________

_______________________________________________________________________________________

Come potresti scrivere un qualunque numero dispari in linguaggio algebrico?_________________________

_______________________________________________________________________________________

Cosa puoi dire della somma di due qualsiasi numeri dispari consecutivi? Fai alcune prove e motiva la tua risposta.

_______________________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________________

Discussione

Nella discussione gli allievi condividono le proprie risposte.

Per quanto riguarda l’ultima domanda penso che, tramite la verifica con i numeri, tutti si accorgano che la somma di due numeri dispari consecutivi è un numero pari e molti si accorgano che si tratta di un multiplo di 4.

Le possibili congetture che mi aspetto sono:



  • La somma di due numeri dispari consecutivi è un numero pari

  • La somma di due numeri dispari consecutivi è un multiplo di quattro

  • La somma di due numeri dispari consecutivi è il doppio del numero pari tra esso compreso

Gli alunni, se hanno appreso gli obiettivi del percorso didattico, non si dovrebbero accontentare della fase esplorativa per accettare la generalizzazione. Quindi nasce la necessità di formulare una dimostrazione. Potrebbe accadere che alcuni studenti, forse stimolati dalle domande iniziali, abbiano già provato a costruire una dimostrazione algebrica e quindi la condividono con la classe. Nel caso in cui nessuno sia arrivato alla dimostrazione corretta si consegna la scheda di lavoro n.10.

Prima, però, si riportano sulla lavagna i modi in cui i ragazzi scriverebbero in forma algebrica i numeri pari e i numeri dispari.

Mi aspetto per esempio: pari, p, 2n, x, 2x, dispari, d, 2n+1, x, 2x+1

Tramite la discussione si cerca di evidenziare i limiti e i punti di forza delle varie scritture.



Scheda di lavoro n.11

Durante la discussione collettiva una delle congetture che abbiamo elaborato è la seguente:

la somma di due numeri dispari consecutivi è un multiplo di 4.

Quali sono le ipotesi ?_____________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________________

Qual è la tesi?____________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________________

Dimostra la congettura.____________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________________



Discussione

Nella discussione si condividono le dimostrazioni e si arriva ad una o più dimostrazioni condivise dal gruppo classe.

Alla fine della discussione si ripercorrono insieme le fasi che hanno portano alla dimostrazione:


  • esplorazione

  • congettura

  • argomentazione

  • formulazione del teorema

  • individuazione delle ipotesi e della tesi

  • dimostrazione

e si mettono in relazione con le fasi della dimostrazione geometrica.

Scheda di lavoro n.12

Se ritieni vere le altre congetture che abbiamo formulato dimostrale, diversamente trova un contro esempio.



Discussione

Nella discussione si condividono le dimostrazioni di ogni congettura e si arriva ad una o più dimostrazioni condivise dal gruppo classe.



10°lezione-lezione di bilancio

Scheda di verifica n.4

Congettura:

se un numero è multiplo di 4 allora è un numero pari.
Fai alcune prove e decidi se questa congettura è un teorema._____________________________________
Se la tua risposta è affermativa dimostra il teorema. Se la tua risposta è negativa trova un contro esempio.
_______________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________
Congettura:

se un numero è pari allora è multiplo di 4.


Questo enunciato è equivalente a quello del teorema precedente? Motiva esaurientemente la tua risposta.
_______________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________
Teorema:

Un numero è pari se e solo se è multiplo di 4.


Questo teorema è vero? Motiva esaurientemente la tua risposta.
_______________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________
Discussione
Nella discussione di questo esercizio dovranno emergere considerazione sui contro esempi e sulle diverse implicazioni di un teorema. Sarà utile collegarsi agli esempi geometrici visti in questo percorso didattico.

Ulteriori lezioni di consolidamento

Per consolidare ulteriormente i concetti incontrati in questo percorso didattico e per favorire un maggior riferimento alla realtà è possibile costruire un percorso interdisciplinare.

In particolare si può creare un percorso di fisica, in cui la fase esplorativa consista in osservazioni in laboratorio .

In una possibile continuazione del percorso si potrebbero affrontare le dimostrazioni per induzione e per assurdo.



Per introdurre le dimostrazioni per assurdo si potrebbe fare un percorso storico sulla figura di Euclide.

Uno spunto potrebbe essere il teorema 6 del primo libro degli Elementi, in cui Euclide dimostra per assurdo il teorema “Se un triangolo ha gli angoli alla base congruenti allora il triangolo è isoscele” che i ragazzi hanno dimostrato in maniera diretta nella scheda di lavoro n.7.


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