Corso di Matematica Generale



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Corso di Metodi Matematici per Economia e Finanza

(titolare prof. Fausto Gozzi)

Facoltà di Economia, LUISS; A.A. 2010-2011.
Corso: Metodi di Matematici per Economia e Finanza.
Anno Accademico 2010-2011.

Docente: prof. Fausto Gozzi (FG).

Collaboratori: dott. Davide Vergni (DV), prof. Giulia Rotundo (GR).
Crediti: 8.

Periodo: dal 28 febbraio 2011 al 28 maggio 2011 (12 settimane piene).

Orario:  martedì 13-15.30, mercoledì 8.30-10.00 e giovedì 9.00-11.30.
(Totale: 6 ore piene settimanali per un totale massimo di 72 ore per il corso).

Calendario delle lezioni/esercitazioni da svolgere.


Parte 1 (5 settimane): Complementi di algebra lineare ed equazioni differenziali e alle differenze lineari (a cura del dott. Davide Vergni).

Prima settimana : 1-2-3 Marzo (6 ore DV)

Seconda settimana : 8-9-10 Marzo (6 ore DV)

Terza settimana : 15-16-17 Marzo (6 ore DV)

Quarta settimana : 22-23-24 Marzo (6 ore DV)


Quinta settimana 29-30-31 Marzo (6 ore DV)

Totale ore svolte per la parte di Algebra Lineare: 30 ore (DV).

Parte 2 (7 settimane): Ottimizzazione statica e applicazioni (a cura del prof. Fausto Gozzi con esercitazioni della prof. Giulia Rotundo).

Sesta settimana 5-6-7 Aprile (4 ore FG + 2.5 ore GR) 6.5 ore:


Mar 5 (FG 2.5 h), Mer 6 (FG 1,5 h), Gio 7 (GR 2.5 h).
Settima settimana 12-13-14 Aprile (6.5 ore FG) 6.5 ore:
Mar 12 (FG 2.5 h), Mer 13 (FG 1,5 h), Gio 14 (FG 2.5 h).
Ottava settimana 19-27-28 Aprile (2.5 ore FG + 3 ore GR) 5.5 ore:
Mar 19 (FG 2.5 h), Mer 27 (GR 1,5 h), Gio 28 (GR 1.5 h).
Nona settimana 3-4-5 Maggio (4 ore FG + 1.5 ore GR) 5.5 ore:
Mar 3 (FG 2.5 h), Mer 4 (FG 1,5 h), Gio 5 (GR 1.5 h).
Decima settimana 10-11-12 Maggio (4 ore FG + 2 ore GR) 5.5 ore:
Mar 10 (FG 2.5 h), Mer 11 (FG 1,5 h), Gio 12 (GR 1.5 h).
Undicesima settimana 17-18-19 Maggio (6.5 ore FG) 6.5 ore:
Mar 17 (FG 2.5 h), Mer 18 (FG 1,5 h), Gio 19 (FG 2.5 h).
Dodicesima settimana 10-11-12 Maggio (6.5 ore FG) 6.5 ore:
Mar 17 (FG 2.5 h), Mer 18 (FG 1,5 h), Gio 19 (FG 2.5 h).
Totale ore svolte per la parte di Ottimizzazione Statica: 42.5 ore (FG 34, GR 8,5).


Programma dettagliato per la parte di Algebra Lineare ed Equazioni Differenziali e alle Differenze

1) Introduzione ai numeri complessi
Introduzione dell'unità immaginaria per la soluzione di equazioni algebriche. Fattorizzazione dei polinomi. Il teorema fondamentale dell'algebra. Fattorizzazione con radici complesse. Molteplicità algebrica. Operazioni con i numeri complessi. Parte reale e parte immaginaria.Somma e prodotto con i numeri complessi. Complesso coniugato, modulo e divisione. Rappresentazione dei numeri complessi. Rappresentazione cartesiana. Il piano di Gauss e la rappresentazione Geometrica. La rappresentazione trigonometrica e le formule di De Moivre. La formula di Eulero e la rappresentazione esponenziale. Prodotti, divisioni e potenze di numeri complessi in rappresentazione esponenziale. Cambiamenti di rappresentazione e interpretazione grafica.

2) Introduzione agli spazi vettoriali
Spazio dei vettori bidimensionali. Proprietà di somma e prodotto per scalare. Il concetto di spazio: chiusura rispetto alla somma e al prodotto per scalare. Dipendenza ed indipendenza lineare. Il concetto di base e il concetto di rappresentazione. Introduzione al cambiamento di base. Spazi vettoriali astratti. Esempi. Ancora dipendenza ed indipendenza lineare. Base di uno spazio vettoriale generico e rappresentazione dei vettori rispetto alla base. Distinzione tra vettore astratto e coordinate.

 

3) Richiami di algebra matriciale


Operazioni elementari con le matrici: somma e prodotto. Le matrici quadrate. Il determinante delle matrici e l’indipendenza di vettori. Metodo di Laplace per il calcolo del determinante attraverso i complementi algebrici. Proprietà del determinante. Inversione di matrici quadrate. Applicazione della matrice inversa alla soluzione dei sistemi lineari NxN. Metodo di Cramer ricavato a partire dalla matrice inversa. Legame tra indipendenza lineare dei vettori e soluzioni dei sistemi lineari. Soluzione dei sistemi omogenei come esempio di spazio vettoriale. Matrici NxM. Il rango delle matrici e l’indipendenza lineare di vettori. Calcolo del rango con le matrici orlate. Cambiamenti di base e matrice del cambiamento di base.

 

4) Operatori lineari su spazi vettoriali


Definizione di operatore lineare. Esempi. Azione sui vettori di base e rappresentazione matriciale. Esempi. Il teorema di rappresentazione. Esempi. Cambiamento di base e cambiamento di rappresentazione per gli operatori. Nucleo e immagine di operatori. Teorema della dimensione. Operatori iniettivi e suriettivi. Isomorfismi, endomorfismi, auto morfismi. Sistemi NxM e teorema di Rouche-Capelli. Esistenza di soluzioni e numero di soluzioni per i sistemi lineari. Importanza del minore che determina il rango. Numero di soluzioni nei sistemi omogenei. Soluzione generica come combinazione lineare delle soluzioni dell’equazione omogenea associata e di una soluzione particolare.

5) Autovalori e autovettori
Sottospazi vettoriali. Sottospazi invarianti. Il caso dei sottospazi invarianti unidimensionali. Autovalori e autovettori. Autovalori ed autovettori di matrici. Il polinomio caratteristico per il calcolo degli autovalori. La molteplicità algebrica. Equazione omogenea per il calcolo degli autovettori. Molteplicità geometrica. I vari casi di autovalori: reali e distinti, reali e coincidenti, complessi coniugati. La decomposizione spettrale. Il caso di autovalori reali e distinti: base di autovettori. Il caso di Jordan, ossia autovalori reali e coincidenti: gli autovettori generalizzati. Il caso di autovalori complessi coniugati: parte reale e parte immaginaria degli autovettori complessi.
6) Equazioni differenziali ed alle differenze lineari omogenee a coefficienti costanti
Il caso lineare, omogeneo a coefficienti costanti 1d. Soluzione generale. Importanza della condizione iniziale. Equazioni (differenziali ed alle differenze) lineari omogenee a coefficienti costanti di ordine n. Soluzione generale ed equazione caratteristica. Il caso non omogeneo con il metodo delle somiglianze. Sistemi di equazioni alle differenze e differenziali lineari. Soluzione generale. Potenza ed esponenziali di matrici. Il caso reali e distinti, il caso di Jordan. Il caso di autovalori complessi coniugati e la rappresentazione matriciale dei numeri complessi. Scrittura delle equazioni alle differenze e differenziali omogenee, utilizzando l'operatore differenziale e l'operatore di decremento temporale. Ricerca delle soluzioni come ricerca della base del nucleo dell'operatore.


Programma dettagliato per la parte di Ottimizzazione Statica
Testo: Simon-Blume, parte 2

1) Introduzione all’ottimizzazione e richiami sulle funzioni di una variabile
Esempi guida di problemi di ottimo libero e vincolato (massimizzazione

dell’utilità o del profitto, minimizzazione di costi a produzione fissata,

ecc.).
Richiami: problemi di massimo e minimo per funzioni di una variabile, ricerca degli zeri per funzioni di una variabile. Esempi ed esercizi.

2) Calcolo Differenziale per funzioni di più variabili
Concetti di derivabilità e differenziabilità per funzioni di più variabili: limite, derivate parziali e direzionali (restringendosi a rette e usando le equazioni parametriche delle rette), differenziale,

matrice hessiana.


 

3) Funzioni Implicite e applicazioni
Curve come funzioni da R in Rn. Il grafico di una funzione è una particolare

curva, vettore tangente a una curva. Curve di livello.

Funzioni implicite, teorema delle funzioni implicite a due variabili e a più

variabili. Teorema dell’inviluppo.

Esempi di applicazione.

 

4) Ottimizzazione non vincolata


Metodi per la ricerca di punti di massimo e minimo locale liberi

- condizioni necessarie del primo ordine per individuare i candidati (i punti

critici o stazionari).

- condizioni necessarie o sufficienti del secondo ordine per studiarne la

natura.
Uso delle condizioni necessarie e sufficienti in alcuni esempi di vario tipo.
Problemi di estremo libero. Come studiare la natura dei punti candidati

estremali quando le condizioni del primo e secondo ordine non sono applicabili

o non danno certezze. Quattro metodi aggiuntivi (uso della definizione,

uso delle restrizioni locali, uso delle curve di livello, uso della convessit`a/concavit`a).

Vari esercizi ed esempi di applicazione della definizione e dell’uso delle

restrizioni locali.

Convessità e concavità: definizioni generali. Uso di esse per determinare

la natura di punti critici.

Come determinare gli estremi globali. Estremo superiore e inferiore e

uso di definizione, restrizioni e convessità/concavità per determinare gli

estremi globali.
5) Ottimizzazione vincolata
Ricerca di punti estremali locali vincolati. Scrittura generale dei problemi

di ottimo vincolato. Esempi.

Condizioni necessarie del primo ordine (Teorema dei moltiplicatori di Lagrange

o di Kuhn-Tucker). Caso di un vincolo di uguaglianza e di un

vincolo di disuguaglianza. Esempi di applicazione
Ricerca di punti estremali locali vincolati nel caso generale. Condizioni necessarie del primo

ordine (Teorema dei moltiplicatori di Lagrange o di Kuhn-Tucker).

Condizioni di qualificazione dei vincoli (CQ).

6) Uso del software MATLAB per la risoluzione di problemi di algebra lineare e di ottimizzazione

Introduzione al software di calcolo MATLAB: utilizzo come calcolatrice avanzata, istruzioni vettoriali e matriciali, file script. Istruzioni per la risoluzione di equazioni differenziali e sistemi di equazioni differenziali.

Scrittura di funzioni tramite m-file. Istruzione per la risoluzione di problemi di ottimo non vincolato fminunc.

Introduzione ai metodi iterativi: metodo di Newton, cenni sui metodi quasi-newtoniani.

Istruzione per la risoluzione di problemi di ottimo vincolato fmincon.

Istruzione per la risoluzione di problemi quadratici (quadprog).

Applicazione: risoluzione del problema del portafoglio.

Istruzione per la risoluzione di problemi lineari (linprog).



Esercizi di riepilogo.


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