Dard, mentre le difficoltà riguardano il come lo si insegna



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24.04.2019
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-  Il rettangolo è formato da due triangoli rettangoli. Si chiamano così perché hanno un angolo di 

90°. Dividiamo il rettangolo con una diagonale in due parti uguali. Siccome la somma degli angoli interni di 

un triangolo è 180°, per trovare l’area del rettangolo si fa base per altezza. 

-  Prima di tutto per iniziare questa figura geometrica si chiama così perché ha tutti gli angoli di 

90°, cioè retti. I suoi lati sono 2 a 2 uguali AB e CD e AD e BC. Quindi per trovare l’area si fa base x 

altezza. 

-  L’area del rettangolo si trova facendo base per altezza cioè  

      [l’alunno disegna un rettangolo indicandone correttamente i vertici, con le lettere A,B,C,D] 



Prima disegno il rettangolo poi scrivo le lettere e l’ipotesi e dopo inizio a spiegare la regola cioè l’area di 

un rettangolo si trova facendo base per altezza, cioè AB per AD. 

 

  Agli studenti del 1° anno di un Istituto tecnico professionale per il commercio in una cittadina 



della Lombardia (Piochi et al. 1998), all’inizio dell’anno nella lezione immediatamente 

successiva allo svolgimento del test di ingresso, l’insegnante è arrivata in classe con un pacco di 

volantini del supermercato e li ha distribuiti agli alunni divisi in gruppi, chiedendo di trovare gli 

enti matematici presenti in essi e farne una relazione. C’è stata un’impossibilità (letteralmente!) 

da parte degli allievi di realizzare un’attività di questo tipo. Una delle relazioni riconosceva tale 

impossibilità, rilevando che gli studenti non sono assolutamente abituati se non ad un 

insegnante che spiega e dà esercizi per casa: la nuova proposta  aveva creato sconcerto:  

Io ero abituata a vedere la mia professoressa di matematica che spiegava, e noi a casa dovevamo 

studiare, ma a fare i gruppi e a interpretare un volantino non ero abituata

 



  Le immagini che seguono forniscono esempi di “rappresentazione grafica” prodotta da alunni di 

prima superiore con difficoltà di apprendimento non legate a handicap, alle prese con quesiti 

relativi alle frazioni. Gli esempi sono tratti da (Longo, Di Carlo, Ambrosiane, 1995) e si 

riferiscono ad una ricerca sui processi di rappresentazione formale. 

 

 

 



 


 

 



 


 

 



  Studenti di Liceo Scientifico, in occasione dell’esame di Maturità (anno 1996) hanno espresso 

sulla Matematica opinioni del tipo seguente 

1



-   Per entrare nel linguaggio matematico è obbligatorio mettere da parte la creatività che non 

serve. La matematica… non lascia il minimo spazio alla fantasia e all'inventiva. 

-    La matematica non è creazione, è qualcosa che si basa su formule ben precise senza le quali non 

si può arrivare alla soluzione dei quesiti.  

-   La matematica ha un’importanza scientifica molto ridotta perché è soltanto calcolo numerico: 

non è importante per la formazione umana e può essere facilmente sostituita dal computer. 

 

 



Questi esempi non fanno che confermare “l’intreccio profondo fra fattori di diverso tipo: 

conoscenze, gestione delle conoscenze, convinzioni, emozioni, atteggiamenti [che viene messo in 

luce dai] tentativi di interpretare le difficoltà evidenziate in ambito scolastico da soggetti che non 

presentano deficit cognitivi” (Zan, 1995).  E’ infatti dimostrato come la capacità di utilizzare le 

proprie conoscenze sia fortemente influenzata da questi tre ordini di fattori: 

  fattori metacognitivi, sia quelli che riguardano la conoscenza del proprio patrimonio cognitivo, 



sia i processi di auto-regolazione del lavoro  

  le convinzioni, intese come “la conoscenza soggettiva che un individuo costruisce nel tentativo 



di interpretare il mondo che lo circonda” (Lester, 1987) 

  fattori affettivi  riguardanti sia le emozioni che il soggetto prova nei confronti dell’oggetto di 



studio, nel nostro caso della matematica (noia, paura, gioia…) sia gli atteggiamenti adottati nei 

confronti dell’apprendimento (motivazione, interesse, fiducia in se stessi, fatalismo,…). 

 





 

 



 

 

 



Può essere utile richiamare ora alcuni concetti dovuti alla scuola francese di didattica della 

matematica (Chevallard, Ernest, Brousseau…)

2

. Anzitutto bisogna rimarcare come il processo 



dell’insegnare si muova attraverso una relazione complessa che coinvolge non solo l’insegnante e 

l’alunno ma riguarda anche il sapere da trasmettere. Si tratta di considerare un triangolo in cui il lato 

allievo-sapere (l’apprendimento) si costruisce non solo attraverso la relazione (pedagogica) 

insegnante-allievo, ma anche attraverso la relazione (epistemologica) insegnante-sapere.  

Questo ordine di considerazioni può apparire abbastanza originale per la matematica: di 

solito si suppone che ciò che si insegna sia “standard”, mentre le difficoltà riguardano il come lo si 

insegna. Tuttavia non è così: ad esempio, l’insegnante di scuola media laureato in Matematica ha 

sulla matematica idee diverse dall’insegnante laureato in Biologia. La materia che insegna è la 

stessa, ma le idee di fondo sono diverse: varia cioè l’asse epistemologico dell’insegnante. Per 

affrontare un qualsiasi argomento, occorre convincersi che il problema non riguarda (o almeno non 

riguarda solo) i “trucchi” più o meno efficaci che l’insegnante può usare per presentarlo, ma anche i 

contenuti dell’argomento stesso, la sua collocazione all’interno della materia, le difficoltà 

intrinseche ad esso. Contemporaneamente va considerato quale visione l’insegnante ha 

dell’argomento (cosa è importante, perché, a cosa serve...) e come si può aiutare lo studente a 

costruirsene una propria.  

 

D’altro canto la matematica è (come appare ovvio… almeno a chi ci lavora) una scienza 



viva che però, paradossalmente, tende a produrre, quando raggiunge il livello dell’insegnamento-

apprendimento formale, delle teorie morte. “Le teorie [matematiche] nascono e crescono su cantieri 

                                                         

1

 Per l’origine di queste frasi si veda (Cattabrini e Di Paola, 1997). Per un commento sul legame fra tali opinioni e 



l’apprendimento della matematica si può fare invece riferimento a (Piochi, 1998)

.

 



2

 Una esposizione sintetica ma assai chiara degli argomenti qui riportati si può trovare in (Jacquet, 1993).

 

 



 

di problemi, ed i concetti si formano intorno alle questioni che essi devono risolvere, ai 



ragionamenti nei quali essi intervengono. […] Talvolta servono secoli di aggiustamenti prima che 

[la  teoria] trovi il suo fondamento e la sua forma assiomatica deduttiva, quella che si vede nei  

trattati. A questo stadio la teoria ha spesso perduto ogni traccia della sua origine problematica, delle 

questioni che l’hanno motivata. Per di più i concetti sono introdotti nel punto loro assegnato dalla 

deduzione, e che è spesso lontano da quello nel quale si potrebbe riconoscere meglio la loro 

importanza. La teoria è, così, trasformata, per obbedire alle esigenze del pensiero razionale, in un 

monumento molto bello ma statico” (CREM 1999, pag. 15). 

L’insegnante inoltre viene a sua volta chiamato a trasmettere una versione di quello che si 

chiama “sapere sapiente”, ma filtrato e rielaborato attraverso manuali e libri di testo. L’allievo 

arriva solo alla fine di questa catena, invitato ad apprendere una “miscela” di quello che dice 

l’insegnante e di quello che contiene il libro. È però l’insegnante a scegliere gli obiettivi di 

insegnamento, le attività da proporre, la gestione della classe e a scegliere, all’interno  dei 

programmi ministeriali, l’ordine di importanza degli argomenti proposti, i tipi di esercizi da fare, i 

modi di presentazione, i materiali, se far lavorare in gruppo, quando fare discussioni, ecc... Tutto 

questo fa parte del “contratto didattico”: si tratta di un accordo, di solito implicito ma chiarissimo e 

molto forte, che stabilisce le mutue aspettative dell’insegnante e dell’alunno: “quello che l’allievo si 

aspetta che l’insegnante si aspetti”

3

. Queste scelte, e quindi in definitiva l’intero contratto didattico, 



sono determinate dai diversi assi del triangolo di cui parlavamo sopra ed è pertanto anche di essi 

che occorrerà tenere conto esaminando il modo migliore per attuare una proposta di apprendimento 

matematico ai diversi livelli.  

 

Alla ricerca di un modo efficace di proporre un apprendimento della materia, occorre 



sostituire a una “continuità didattica” basata sull’approccio alla matematica come scienza esaustiva, 

completa, trasmessa già univocamente e definitivamente strutturata, una continuità che trovi i suoi 

punti fermi in un approccio più significativo, costruttivo  e coinvolgente. 

  

 



 

 

 



 

 



 



Secondo i programmi per la Scuola Elementare del 1985, scopo dell’educazione matematica 

è “contribuire alla formazione del pensiero nei suoi vari aspetti: di intuizione, di immaginazione, di 





Insegnare ed apprendere la matematica 


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