Dard, mentre le difficoltà riguardano il come lo si insegna



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24.04.2019
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lontane; se esso vuole le banane deve guardarsi intorno per capire come queste banane possono 

arrivare da lui.  Appena lo scimpanzé riesce a capire come usare il bastone, lo fa e con questo 

riesce a prendere il cesto di banane.  

 

Questo è l’ideale di problema: il soggetto ha una motivazione e su questa base attiva una 



serie di capacità che sono nuove, fa delle scoperte. Un’insegnante di una 3^ media di ragazzi molto 

difficili ha proposto loro la costruzione di un ipertesto

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  (Borromeo, 1997). I ragazzi hanno 



effettivamente realizzato un ipertesto, che ha poi vinto un premio; ma soprattutto gli alunni di 

questa 3^ media ormai “condannati” alla situazione di drop-out hanno recuperato una spinta 

all’apprendimento utilissima per il proseguimento degli studi. L’insegnante aveva creato la 

motivazione: ha proposto una sfida, ha spiegato che era una cosa seria e impegnativa, ha messo a 

disposizione il suo tempo, ha proposto loro una cooperazione nell’apprendere a realizzare un 

ipertesto ed ha finalizzato il lavoro ad un obiettivo, il concorso. Nei ragazzi è nata una motivazione,  

è nato il problema e il problema ha costruito nuove conoscenze e soprattutto ha scardinato certi 

atteggiamenti precedenti. 

 

Se riflettiamo su questo esempio alla luce della frase di Kanisza, viene spontaneo chiedersi 



che motivazione può esserci nello scoprire quanto ha guadagnato un cartolaio che rivende 80 

quaderni a 400 lire l’uno mentre li ha pagati 250 ! L’unica reale motivazione può consistere nel dare 

la risposta per far contenti l’insegnante o i genitori, prendendo un buon voto, ma non è una 

motivazione dell’ordine del sapere o di un interesse personale. 

 

Certamente anche questi sono esercizi che devono essere fatti: non è pensabile impegnare 



sempre la classe in problemi ad ampio respiro, ma è altrettanto impensabile non farlo mai. Va 

trovato un meccanismo per cui in certi momenti si attiva la motivazione per la ricerca (tornando 

all’esperimento di Kohler vi sia la banana da andare a cercare) e successivamente, una volta 

scoperto che esistono strumenti per raggiungere lo scopo, ci si dedica allo studio sistematico di essi 

(scoperto come si monta il bastone telescopico ci si mette a studiare quanti tipi di bastone 

telescopico esistono...).  

 

Nella prassi didattica, ad esempio, una volta scoperto che esiste uno strumento (istogramma, 



torta…) che permette di rappresentare efficacemente dati statistici, ci dedicheremo anche agli 

                                                         

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 Un ipertesto è un testo in forma non-lineare, solitamente realizzato su computer: alcune parole sono collegate in modo 



che “attivate” opportunamente rimandano ad altre pagine o altre informazioni che possono essere descrittive o iconiche 

oppure coinvolgere filmati o suoni, ecc. 




 

esercizi sullo strumento. Però ciò che dà la spinta per appassionarsi all’istogramma deve essere 



qualcosa che coinvolge e interessa (per fare un esempio banale il volere pubblicare sul giornalino 

della scuola una indagine su tutti gli alunni, sulle loro preferenze e mode…). Così nasce un 

problema: dovrò fare un articolo che uscirà sul giornale della scuola magari con il mio nome e 

cognome, voglio che venga bene, mi interesso di un argomento; cerco di scoprire quali strumenti 

matematici  posso utilizzare, da solo o con l’aiuto dell’insegnante. L’insegnante mi consiglia il 

meccanismo, mi dà un po’ di istruzioni e mi lascia libero di lavorare con diagrammi, istogrammi, 

ecc... Inizialmente potrebbero risultare poco chiari:  sbaglierò, ne parleremo insieme cercando il 

mezzo più opportuno: nasce così l’apprendimento. Può essere utile esaminare alcune idee-guida per 

muoversi su questa strada. 

 

L’allievo deve poter procedere da solo se le sue conoscenze iniziali sono sufficienti. 



 

Consideriamo ancora l’esempio concreto di lavoro: una indagine fra i ragazzi di una scuola 

media per capire quali cantanti preferiscono, per la pubblicazione sul giornalino di classe. 

L’insegnante vuole servirsene per proporre gli strumenti statistici di rappresentazione:  tabella, 

diagramma, istogramma, ecc. Perché gli allievi possano procedere da soli, occorre verificare se le 

loro conoscenze iniziali sono sufficienti e se sono in grado di ragionare sulle cose (per continuare 

sull’esempio di Kohler, devo scoprire se il braccio è sufficientemente lungo per arrivare alle 

banane). Devono poter capire dove sta l’ostacolo: ad un certo punto scopriranno che l’ostacolo è 

una tabella di cifre di una noia mortale, assolutamente non consultabile, e che non contribuisce 

affatto alla comprensione dei dati.  

 

Si dovranno costruire delle nuove conoscenze, ma è bene ricordarsi che non si dà una 



situazione di crescita se non è chiaro dove l’insegnante vuole arrivare. Ugualmente, si ricordi che 

dopo aver fatto 10 indagini tutte con i vari diagrammi, se ne può proporre anche un’undicesima ma 

ormai a livello di esercizio: non c’è più niente da scoprire, anzi si rischia di cadere nel tecnicismo e 

nella noia. 

 

La situazione problema deve permettere all’allievo di decidere se una soluzione è corretta oppure no  



 

Nel caso sopra trattato il controllo della correttezza della soluzione è strettamente collegato 

al compito. Si dovrà infatti controllare se quello che abbiamo scritto è leggibile e viene compreso 

correttamente, chiedendoci ad esempio se un  ragazzo di un’altra classe, guardando la pagina 

elaborata capisce correttamente quali sono i cantanti preferiti oppure no. Se non lo comprende, il 

problema non è risolto. 

 

La conoscenza che si desidera che venga acquisita dall’allievo dev’essere lo strumento più adatto 



alla soluzione del problema. 

 

Rispetto al problema che abbiamo posto, cioè rappresentare in modo comprensibile a tutti i 



risultati di un’indagine, lo strumento da utilizzare è naturalmente un diagramma, cioè uno strumento 

grafico, non una tabella numerica. 



 

Il problema può essere formulato in diversi ambiti e si presta a diverse generalizzazioni 

 

La polivalenza della rappresentazione grafica di risultati statistici è ovvia. Si può lavorare 



con i ragazzi a considerazioni sull’utilità dei diversi diagrammi, la loro origine, il loro utilizzo. 

L’insegnante dovrà chiedersi che idee hanno ora gli allievi, dove incontreranno difficoltà (nelle 

percentuali, nella suddivisione della torta, ...?). Avendo presenti i possibili ostacoli, cosa fare? 

Come si gestirà la classe? 

 

 

Spesso un tale approccio viene sottoposto a critiche che ne enfatizzano la difficoltà: troppo 



difficile sembra riuscire a proporre situazioni problematiche realmente significative anche soltanto 

su tutti i principali nodi concettuali. Si sconta qui un fraintendimento: quello che occorre infatti è 

soprattutto il riuscire a realizzare un diverso metodo di proposta. Si tratta di puntare su un approccio 



 

che metta in primo piano la componente metacognitiva dell’apprendimento, accanto a quella 



cognitiva e che coinvolga l’allievo in una serie di scoperte e riflessioni collegate ai concetti e alle 

competenze che desideriamo offrirgli, proponendogli al contempo occasioni significative per 

provare a pensare autonomamente.   

Molte ricerche infatti hanno messo in luce l’importanza di una “esposizione di tutti gli 

allievi a prestazioni significative avanzate” (Boero, 1990; dallo stesso articolo saranno riprese le 

citazioni fra virgolette del presente paragrafo e ad esso si ispirano i lucidi sulle possibili strategie da 

seguire che riportiamo nelle pagine seguenti) proprio ai fini di un recupero degli alunni della fascia 

debole, accanto a proposte didattiche quali : 

  verbalizzazione delle strategie risolutive dei problemi, 



  “utilizzazione sistematica di campi di esperienza non solo per costruire (o ri-costruire) i concetti 

di base, ma anche per abituare gli allievi a fare ipotesi, ad argomentare, ecc.”, 

  spazio al confronto fra le diverse strategie seguite dagli alunni nella risoluzione dei problemi, 



  attenzione continua alla comprensione da parte dell’alunno di “ciò che l’insegnante pretende da 

lui e dei modi più adatti (di volta in volta diversi !) per far fronte a tali richieste”. 

E’ proprio nella discussione libera che gli alunni (in particolare i più deboli) possono prendere 

contatto con, ed imparare ad usare, termini e argomentazioni altrimenti astratti e distanti. “Il 

bambino che in casa e nelle sue precedenti esperienze scolastiche non è stato abituato a discutere 

deve trovare delle occasioni autentiche di dibattito per essere poi a sua volta in grado, su argomenti 

alla sua portata, di dire la sua avendo gradualmente imparato il meccanismo (tutt’altro che scontato) 

della discussione”. 

 

 



E’ d’altra parte vero che c’è molta distanza fra le nozioni matematiche comuni e i concetti 

matematici sottostanti. Solo per citare due esempi, si pensi alla differenza che corre fra i numeri 

“ingenui”, cioè i decimali (anche molto lunghi, fra cui i “numeri-macchina” trattati dagli 

elaboratori) e i “numeri reali” con tutto il loro apparato di assiomi definitori; oppure a quella fra le 

formule per il calcolo dell’area delle superfici piane (più o meno elementari) e la teoria della misura 

o quella del calcolo integrale. Ora, dato che “la matematica non si può fare che per tappe”, 

l’esistenza di una tale distanza richiede che chi insegna si ponga il problema del cammino 

necessario a compiere tali tappe. Un possibile approccio sarà partire da quelli che Freudenthal ha 

proposto di chiamare “oggetti mentali”, distinguendoli dai “concetti”. Se questi ultimi sono gli 

“oggetti tecnicamente definiti in una teoria assiomatica”, gli oggetti mentali sono invece delle 

“nozioni di tipo matematico, che appartengono al pensiero comune e che sono intermediarie fra 

questo e la matematica costituita. Sono oggetti mentali ad es. i numeri ingenui citati 

precedentemente, completati dagli stessi numeri dotati di segno, le frazioni (non i numeri razionali), 

le aree dei poligoni espresse in numeri ingenui, l’area πr

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 del cerchio dove π=3,14 e r è un numero 



ingenuo […] Gli oggetti mentali sono gli strumenti del pensiero matematico in via di formazione. 

Essi servono a comprendere e organizzare la massa dei fenomeni che nascono dai problemi che ci 

poniamo nei contesti familiari. 

 

“Non si può cominciare l’insegnamento dai concetti. Questi costituiscono un obiettivo 



(almeno per certi allievi) e gli oggetti mentali sono un cammino per arrivarci. Più frequentemente 

gli allievi ai quali si tenta d’insegnare i concetti senza passare attraverso gli oggetti mentali non 

capiscono ciò che vogliamo far loro comprendere.  Essi arrivano alla fine dei loro studi con un 

bagaglio scarsissimo e la sensazione che la matematica sia una scienza arbitraria.” Se è vero quanto 

sostiene Freudenthal, cioè che gli oggetti mentali “possono essere molto efficaci anche se non 

seguiti dalla costruzione di concetti”, ne deriva immediatamente che “quelli che hanno lavorato 

seriamente a partire dagli oggetti mentali, lasciano la scuola con un bagaglio interessante e utile: 

[…] essi hanno osservato e compreso molti fenomeni e incontrato questioni che richiamano sviluppi 

matematici approfonditi; essi hanno accumulato fonti di intuizione per il seguito dei loro studi”  (le 

citazioni fra virgolette di questa parte sono tratte da CREM, 1999, par. 2.3.1). 




 

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Sono due le principali forme in cui può essere trascurata la necessaria tappa 

dell’elaborazione degli oggetti mentali; entrambe molto insidiose, ma ben presenti nella didattica 

scolastica. Da un lato si può scegliere di trascurare gli oggetti mentali, come mal costruiti e poco 

significativi matematicamente, e puntare subito sui concetti matematici. E’ la scelta della 

“matematica moderna” degli anni ’70, ma anche di alcuni pretenziosi capitoli di libri di testo per la 

scuola secondaria (superiore in genere, ma anche inferiore) dedicati all’Algebra e alla Logica 

formale. Dall’altro lato, pur consapevoli della difficoltà di presentazione rigorosa di concetti troppo 

astratti, si può non riuscire a resistere all’introdurne almeno le principali applicazioni, insegnando 

così “concetti importanti, dalla forte connotazione tecnica, in contesti poveri, in modo che gli allievi 

non possano cogliere le ragioni di questo tecnicismo”. A titolo di esempio, ricordiamo come la 

classica “regola dei segni” del prodotto  di numeri relativi si riduca assai facilmente a calcolo 

mnemonico di pura routine, dato che gli allievi non sono in grado al momento in cui essa viene 

introdotta di vederne né la necessità, né le potenzialità. Lo stesso avviene per la definizione di limite 

con i relativi calcoli, la quale solitamente precede (accompagnata da una buona quantità di esercizi) 

almeno di un mese o due l’introduzione del concetto di derivata o di retta asintotica, i quali 

mostrano invece le potenzialità e l’uso significativo del concetto di limite.  



Sulla traccia delle considerazioni esposte fin qui deve muoversi a mio avviso il lavoro degli 

insegnanti che vogliano ricercare e sperimentare un concreto curriculum di Matematica per 

l’insegnamento-apprendimento di questa materia nell’ottica della continuità e che si pongano 

contemporaneamente il problema delle diverse esigenze e individualità degli alunni coinvolti. 

Occorre allora da un lato riuscire a comprendere, o meglio ad aiutare gli stessi alunni a verbalizzare 

le convinzioni che essi hanno sulla matematica e sui vari concetti (o pseudo-concetti) che hanno 

appreso nel corso degli anni. E dall’altro occorre impostare in tutti gli ordini di scuola la proposta di 

apprendimento della matematica centrata sul ruolo di questa materia nello sviluppo delle capacità di 

pensiero dei ragazzi e sulla utilità di essa nel confronto con la realtà. 

E’ bene essere consapevoli della difficoltà di questo lavoro e dei tempi lunghi che esso 

richiede, ma anche della sua indispensabilità per riuscire finalmente a rispondere alle reali esigenze 

dei nostri studenti, soprattutto di quelli fra loro (e non sono pochi, come è noto), che per vari motivi 

vivono la matematica soltanto come una scienza vaga e lontana, o peggio ne sono terrorizzati come 

di fronte a un fenomeno assolutamente estraneo ed incontrollabile. 



Insegnare ed apprendere la matematica 


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