Geometria analitica



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01.12.2017
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GEOMETRIA ANALITICA

Introduzione:

La geometria analitica ( γεω.μετρ.ία - ανά.λυ.σις da λυω = sciogliere, risolvere, o αλίζω = unisco ) è una branca molto semplice della matematica che affronta problemi geometrici in un piano cartesiano, il che significa essenzialmente risolvere con metodi algebrici elementari diverse leggi naturali e geometriche e descriverle nel piano riferendosi a degli assi opportunamente scelti1.


Tanto la geometria quanto le prime relazioni algebriche hanno origine al crepuscolo della preistoria, con lo sviluppo delle prime grandi civiltà nel nord Africa, nella Mesopotamia e nel medio oriente.

A quel tempo la matematica serviva a scopi pratici come ad esempio regolare i confini delle proprietà dei terreni, da cui il nome γεω.μετρ.έω – misuro la terra, ma presto divenne una pratica utile al commercio, alle costruzioni, alla politica economica ed in particolare ai rilevamenti astronomici, all’epoca ancora pregni di significati mistici ed immaginarie coincidenze con la vita reale, sebbene talmente precisi da risultare utili ancora oggi validi come fonte diretta della configurazione celeste antica.


Furono però tali necessità a spingere l’uomo ad intendersi di matematica, e tanto i maghi quanto i commercianti conoscevano alcuni fondamenti di algebra senza però esserne coscienti.

Le prime unità di misura erano assai rudimentali: si utilizzavano proporzioni umane come la spanna, il braccio, il piede, e spesso le quantità delle merci andavano a barili, giare, a seconda del tipo di contenitore, quindi gli scambi dell’epoca dovevano essere facilmente soggetti a lunghe trattative circa il reale valore in questione, pratica ancora diffusissima in medio oriente e Africa.


La matematica verrà battezzata come tale molti millenni dopo la sua comparsa, nel 300 a.C. in seguito agli studi del filosofo greco Pitagora, che analizzò a fondo il significato dei numeri al livello logico disponendo ad esempio delle pietruzze ( in greco καλκολος, da cui la parola calcoli ) ed osservando certe cadenze eseguendo determinate operazioni, creando in definitiva i numeri come entità. Alcune operazioni erano note già da prima presso gli arabi, gli ebrei ed i persiani, ma il fervore dell’epoca riguardo a questi argomenti portava verso un’unione tra la geometria, di cui già Talete si era interessato quasi un secolo prima, e le proprietà algebriche dei numeri, un concetto astratto e non dimostrabile ai sensi ma perfettamente funzionale al livello pratico.
Per molti secoli la ricerca in tal senso fu lenta: era ancora la geometria grafica a predominare sulla parte analitica: ma fu grazie alla ricerca sulle geometrie euclidee che si ebbe il successivo sviluppo:

a partire dal 1400 si nota una svolta verso la resa grafica delle astrazioni algebriche, ed iniziarono ad essere note le relazioni che esistono tra le curve nel piano cartesiano e le caratteristiche di alcuni fenomeni che si osservavano in natura, sino a divenire, con la meccanica, parte attiva nella progettazione di macchine e strumenti di precisione, costituendo in definitiva il substrato indispensabile al fenomeno del progresso tecnologico dei giorni nostri.


Il grande vantaggio è nel fatto che molti fenomeni naturali sono approssimabili da leggi matematiche come la retta o la parabola, con la differenza che i risultati di un’analisi empirica o sensoriale non sono mai precisi ed affidabili come i risultati di un’analisi numerica.

CONSIDERAZIONI SUGLI ASSI CARTESIANI

Renes Descartes, meglio noto come Cartesio (1600), ebbe l’intuizione di introdurre un metodo grafico, già studiato da Nicola d’Oresme, (1350) per discretizzare lo spazio: schematizzo un piano descrivendo due assi ortogonali tra loro, appartenenti al piano ed assumo come zero assoluto l’intersezione tra questi. Generando una serie di valori positivi e negativi intorno allo zero su entrambi gli assi, ogni punto nel piano viene rappresentato da una coppia di coordinate leggibili dagli assi in longitudine (ascisse X) o in altitudine (ordinate Y). Per indicare dove un punto A si trova nel piano cartesiano, per convenzione si scrive prima l’ascissa, poi, separata con un punto e virgola, l’ordinata, quindi nel nostro caso A ( 2 ; 3 ). Notare che le coordinate possono essere negative: osservare il punto B ( – 2 ; – 2) in figura.

In tal modo se paragoniamo una serie di dati X ad un’altra serie Y, una curva nel piano cartesiano rappresenta il comportamento del fenomeno che tali dati descrivono per ogni punto P (X;Y).

Ecco alcuni esempi di come il metodo di Cartesio viene ancora oggi largamente utilizzato:





Accelerogramma di un sisma:

Asse Y: accelerazione

Asse X: tempo

Descrive le azioni di un terremoto al trascorrere del tempo


Elasticità di un materiale


Asse Y: tensione esercitata

Asse X: deformazione del materiale

Descrive il comportamento dei un materiale

al variare dell’intensità della forza di prova







Istogramma dei visitatori in un sito:

Asse Y: numero di visite

Asse X: anni (tempo)

Sebbene graficizzato tridimensionale, è un grafico cartesiano a due assi.



Densità di probabilità (tridimensionale)

Asse Y: una variabile

Asse X: un’altra variabile

Asse Z: valori della probabilità

Descrive la probabilità che accada un evento

Gli assi di valore nullo sono un riferimento umano per riportare la geometria alla matematica.

È controistintuale, ma l’equazione dell’asse delle X è y=0 mentre per l’asse delle Y è x=0.

Distanza di due punti

Tra le applicazioni fondamentali per l’intera analisi numerica delle forme geometriche è senz’altro il teorema della distanza tra due punti. Ma, in pratica, questi altro non è che un’applicazione analitica del teorema di Pitagora nel piano cartesiano.

Ci ricordiamo dalle elementari che “In un triangolo rettangolo, il quadrato costruito sull’ipotenusa è uguale alla somma dei quadrati costruiti sui cateti”, che tradotto in linguaggio matematico:
I2 = C1 2 + C2 2 Ovvero: I = √ C1 2 + C2 2

Ma se osserviamo il grafico nel piano cartesiano, la distanza tra i due punti A e B è un segmento che stacca due proiezioni sugli assi.

Tali proiezioni individuano le lunghezze dei cateti AC e BC di un triangolo rettangolo in C, quindi si può applicare il teorema di Pitagora.

Le lunghezze dei cateti però sono espresse nel sistema cartesiano, quindi si deve operare una piccola accortezza: appare scontato che il segmento AC in figura ha lunghezza 3, poiché istintivamente si è operato 4 – 1 = 3, ovvero



il massimo meno il minimo. Pertanto, i cateti verranno scritti usando i nomi delle coordinate dei punti A (Xa;Ya) e B (Xb;Yb) ovvero:

Dab = √ ( Xa – Xb ) 2 + ( Ya – Yb ) 2

Tale formula algebrica delle distanze è valida anche qualora le coordinate avessero valori negativi o invertendo l’ordine, basta mantenere bene la correlazione: se si inizia con Xb - Xa si deve dopo considerare Yb – Ya. Facciamo un esempio:
Fig. 1) A ( 1 ; 1 )

B ( 4 ; 5 )




Dab = √ ( 1 – 4 ) 2 + ( 1 – 5 ) 2 =


= √ 9 + 16 = √ 25 = 5
Fig. 2) A ( - 1 ; - 1 )

B ( 2 ; 3 )


Dab = √ ( – 1 – 2 ) 2 + ( – 1 – 3 ) 2 =
= √ 9 + 16 = √ 25 = 5

Si evince un ulteriore punto da specificare: la distanza tra due punti non può essere negativa.

Prima di tutto, una distanza senza riferimento si intende essere una quantità positiva, ma parlando algebricamente, è la radice quadrata della somma di due quadrati, pertanto certamente non negativa.

Punto medio di un segmento

Dati due punti A (Xa ; Ya) e B (Xb ; Yb), il punto medio MAB (Xm ; Ym) avrà coordinate calcolabili secondo le seguenti formule:






Xm = (Xa + Xb)

2
Ym = (Ya + Yb)

2
Ovvero, nel nostro caso, MAB ( 3 ; 2 ):
Xm = (Xa + Xb) = 1 + 5 = 3

2 2
Ym = (Ya + Yb) = 1 + 3 = 2

2 2
Vale ovviamente anche per punti aventi coordinate nulle o negative.
Traslazione degli assi

L’origine degli assi O (0;0) è il riferimento generale di tutto il sistema cartesiano.

Tuttavia, per generalizzare alcune leggi è necessario assumere un riferimento secondario, sempre riferito all’origine, che funga da origine traslata di un sistema cartesiano a sua volta traslato.

Sarà più chiaro nei fasci di rette o con la circonferenza.




La dimostrazione consiste nel nominare il nuovo centro degli assi cercato come un punto O’ ( a ; b ) ed osservare con che relazione cambiano le coordinate di un qualunque punto P ( Xp; Yp ) appartenente al piano nei due sistemi.

Nel nuovo sistema con origine in O’ il punto P avrà nuove coordinate diventando P ( X’p ; Y’p ) :




X’p = Xp – a



Y’p = Yp – b

Ovvero, idealmente “sottraggo terreno in partenza per far credere di partire più avanti” .


Nel nostro caso, il punto ha coordinate P (4;5) nel sistema di riferimento in O (0;0) mentre nel sistema traslato in O’ (2;3) assume coordinate: P ( 2;2)
X’p = Xp – a = 4 – 2 = 2



Y’p = Yp – b = 5 – 3 = 2

Vale ovviamente anche per punti e traslazioni a coordinate nulle o negative.



1 Troveremo spesso le equazioni espresse ad esempio y = 2x2 + 3, poiché è una curva geometrica che si sviluppa n un grafico Y–X . Se avessi voluto rappresentare la legge di Hooke sull’elasticità, avrei scritto σ = E ε ; la curva che ne deriva è riferita ad un grafico di assi σ - ε , rispettivamente: tensione prodotta e deformazione. Il sistema di riferimento XY è generico, ma trasferendo i medesimi principi di geometria analitica usando grandezze fisiche si ottengono validi risultati, sia nei riferimenti piani che in quelli spaziali.







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