Georg Cantor (Pietroburgo, Russia, 1845 – Halle, Germania, 1918)



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26.11.2017
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Georg Cantor (Pietroburgo, Russia, 1845 - Halle, Germania, 1918)


Il vero leitmotiv dell’opera di questo matematico fu l’idea di infinito. Intorno ad essa egli seppe sviluppare concezioni assai ardite per la matematica ottocentesca; Bell vuole vedere nella naturale inclinazione artistica della sua famiglia, popolata di musicisti e pittori, l’origine delle sue geniali intuizioni. La sua sensibilità non comune lo rese, allo stesso tempo, particolarmente fragile e suscettibile. Le testimonianze del tempo lo dipingono come un uomo amabile, allegro e generoso, ma anche dotato di un temperamento deciso e battagliero, di una personalità forte e trascinante, accentuata dall’imponenza del suo aspetto. Tuttavia la sua tenacia e la solidità delle sue convinzioni facevano sì che egli riversasse tutte le energie nella difesa delle proprie idee, lasciandosi coinvolgere emotivamente fino in fondo. Gli attacchi ed i rifiuti che il mondo accademico ad un certo punto cominciò ad opporre alle sue teorie finirono così per pregiudicare la sua salute mentale. A partire dall’età di quarant’anni, la depressione lo colpì ripetutamente, compromettendo la sua attività di ricerca. Nonostante i prestigiosi riconoscimenti che infine gli giunsero dalla comunità scientifica, egli non recuperò più l’equilibrio, e finì i suoi giorni in un ospedale psichiatrico.


Cantor aveva studiato a Zurigo, Göttingen e Berlino: qui, appena ventiduenne, aveva conseguito il dottorato con una tesi sulle Disquisitiones Arithmeticae di Gauss. Nel 1869 aveva ottenuto la docenza all’università di Halle, in Germania, dove aveva insegnato fino al 1905.
La domanda a cui Cantor volle dare una risposta riguarda il concetto di base del calcolo infinitesimale. I processi di passaggio al limite che danno luogo a derivate ed integrali racchiudono l’idea di un algoritmo che viene iterato indefinitamente: questo è ciò che aveva in mente già Archimede quando applicò il metodo di esaustione per il calcolo delle aree. Ogni passo produce una migliore approssimazione dell’area cercata: quest’ultima è solo un traguardo irraggiungibile a cui si può solo continuare ad avvicinarsi per l’eternità, oppure è il risultato effettivo di un numero infinito di passi?

L’infinito è un oggetto matematico vero e proprio, o è solo la vuota suggestione prodotta dal simbolo ? Cantor optò per la prima ipotesi, che, in fondo, aveva sempre aleggiato nella storia della matematica. In un momento in cui era viva la discussione sui fondamenti, all’infinito occorreva una definizione formale rigorosa che ne garantisse la legittima cittadinanza all’interno di un sistema logico. Cantor la cercò nella teoria degli insiemi, (Mengenlehre, 1874) gettando le basi di un lavoro che sarebbe stato completato da Frege. L’idea fu quella di vedere l’infinito come la proprietà di quegli insiemi i cui elementi non sono contati da nessun numero naturale.

Chiaramente, due insiemi avranno lo stesso numero cardinale n se e solo se gli elementi dell’uno potranno essere messi in corrispondenza biunivoca con quelli dell’altro.

Cantor utilizza la corrispondenza biunivoca per generalizzare il concetto di numero cardinale, che egli definisce come la proprietà comune a tutti quegli insiemi che sono reciprocamente in corrispondenza biunivoca, e che egli chiama equipotenti. Il numero cardinale di un insieme infinito non sarà più un numero naturale, ma un numero transfinito. Il maggior merito di Cantor sta nell’aver scoperto che esistono almeno due numeri transfiniti distinti: l’infinito non solo esiste, ma, addirittura, non è unico! Precisamente, il numero cardinale dell’insieme dei numeri naturali è diverso da quello dell’insieme dei numeri reali: non esiste corrispondenza biunivoca tra questi due insiemi. Attenzione: ciò non ha nulla a che vedere col fatto che il primo insieme è una parte del secondo. Infatti, l’insieme dei numeri naturali e quello dei numeri razionali sono equipotenti, nonostante il primo sia strettamente contenuto nel secondo.



Cantor poté valersi della collaborazione di Dedekind e Frege, ed ebbe Kronecker come acerrimo avversario. Questi giunse perfino a negare ogni fondatezza a quanto non potesse essere costruito a partire dai numeri interi mediante un algoritmo finito. A lui sono attribuite lapidarie dichiarazioni che suonano quasi come professioni del pitagorismo più radicale: “Dio ha creato i numeri interi. Tutto il resto è opera dell’uomo.” “Tutti i risultati delle più profonde ricerche matematiche devono alla fine potersi esprimere sotto la semplice forma di proprietà dei numeri interi.”
Fu soprattutto il contrasto con Kronecker, che era stato il suo maestro, a pesare sulla vita e sulla carriera di Cantor. A noi piace credere che la polemica fra i due fosse di carattere scientifico, e priva di connotazioni personali.
Le teorie matematiche di Cantor aprirono la strada al pensiero formale astratto: nello spessore filosofico dei suoi trattati si può vedere anche il frutto dei suoi studi umanistici. Egli conosceva profondamente le opere di Platone, Aristotele, Sant’Agostino, Boezio, Descartes, Spinoza, Locke, Leibniz e Kant, a cui dedicò vari saggi. Fränkel, in una nota biografica, dà ragione a Klein, secondo il quale la frequentazione della Scolastica da parte di Cantor non era certo dovuta al caso: contrariamente alle altre branche della matematica, che pongono in primo piano l’aspetto sintetico-costruttivo oppure aritmetico, la teoria degli insiemi è basata su ragionamenti generali, sottili ed analitici come quelli della logica e della teologia dei Padri della Chiesa. La dottrina dell’infinito attuale ha gli stessi tratti audaci, e, d’altra parte, la scolastica condivide con la matematica l’ideale del rigore nelle conclusioni.



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