Giacomo Chiesi



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Giacomo Chiesi

Matricola 124777

Lezione del 5/12/2000, ore 14.30-16.30

Termocinetica.
Introduzione.
Il quarto ed ultimo argomento del corso di Fisica Tecnica è rappresentato dalla termocinetica, che studia il trasferimento di energia termica nelle varie forme in cui esso si attua.

A prima vista, la definizione suddetta non si discosta di molto da quella di termodinamica; eppure la differenza è significativa. Se infatti la termodinamica si occupa dello scambio energetico tra sistemi dal punto di vista macroscopico, e ciò ne detta la natura statistica, lo studio della trasmissione del calore non è necessariamente di carattere macroscopico. La termocinetica suppone la presenza di scambi di calore e pertanto implicitamente postula l’assenza d’equilibrio tra i sistemi in gioco sicché la descrizione fenomenica che questa branca della fisica dà dei processi di proprio interesse non è statistica bensì analitica. Inoltre, come detto, la termodinamica studia stati di equilibrio che sono per natura ideali in quanto per realizzarsi richiederebbero un tempo infinito: ci basti pensare a come nei tre principi non compaia la grandezza fisica tempo. L’assenza di equilibrio nei processi di variazione energetica, ossia l’oggetto della nostra attuale attenzione, suppone invece l’utilizzo di equazioni temporalmente variabili.

Riassumendo schematicamente quanto appena affermato, possiamo dire che tra termodinamica e termocinetica intercorrono le seguenti differenze formali:


  1. Oggetto di studio della termodinamica sono i sistemi in equilibrio, mentre la termocinetica si occupa dei modi in cui il calore viene scambiato, ossia delle modalità di variazione dello stato di un sistema;




  1. Il punto di cui sopra comporta una dipendenza dal tempo delle grandezze che ci permettono di studiare la trasmissione del calore; ricordiamo invece che grandezze termodinamiche quali la pressione, il volume, ecc. sono sostanzialmente indipendenti dal tempo;




  1. Sempre dal punto 1 discende una ulteriore discrepanza: la termocinetica non può essere statistica, come invece accade per la termodinamica, in quanto descrive variazioni dipendenti dal tempo;




  1. Infine, la termocinetica tratta precipuamente e dettagliatamente (seppur con tutte le approssimazioni del caso) gli scambi di calore; al contrario, l’analisi termodinamica prende in esame tutti i processi fisici in grado di portare variazioni di stato in sistemi di vario tipo, e la trasmissione di calore non è che un caso particolare di fenomeno generante tali modifiche.

Assumono dunque grande rilevanza grandezze variabili con il tempo, come i concetti di velocità (di uno scambio di calore) o potenza (ossia di calore scambiato nell’unità di tempo).


Tipi di scambio termico.
Nell’introduzione si è fatto riferimento al concetto di trasmissione energetica, idea di fondamentale importanza nello studio della termocinetica, che merita pertanto una più estesa e precisa definizione. L’esperienza diretta dimostra che, se due corpi vengono messi a contatto, essi tendono a raggiungere il cosiddetto equilibrio termico. Ciò implica la variazione di una grandezza fisica macroscopica - la temperatura nella fattispecie - che si porta al medesimo valore per entrambi i sistemi. Tale processo di assestamento del sistema non è che l’effetto di uno scambio di calore che ci accingiamo a studiare.

Il trasporto energetico viene solitamente trattato nell’ambito del continuo ed è pertanto descritto mediante equazioni di campo. Entro tale ipotesi, le modalità di trasmissione del calore sono tradizionalmente classificate in tre categorie: la conduzione, la convezione, l’irraggiamento. Andremo ora ad analizzare le caratteristiche di ognuna delle tre forme di scambio, sottolineando un fatto importante: la loro definizione astratta, stanti le notevoli differenze, è indipendente da quella delle altre; ma dal punto di vista ingegneristico una loro distinzione su base pratica è inconsistente: nella quasi totalità dei casi, infatti, le tre modalità sono sovrapposte, così come i loro effetti. Compito dell’ingegnere è distinguere quando la conseguenza di qualcuno dei fenomeni è trascurabile rispetto agli altri, in modo da minimizzare per quanto possibile la difficoltà del problema ed il costo della sua risoluzione.




  • Trasporto conduttivo, o Conduzione.



Con il termine conduzione si denota la diffusione dell’energia termica che ha luogo anche

in assenza di movimento della materia ed è dovuta esclusivamente alla mancanza di uniformità della temperatura nel sistema considerato. L’esempio più classico è quello che contempla il contatto di due corpi solidi manifestanti, all’inizio del fenomeno, una data differenza di temperatura. Le molecole del corpo a temperatura superiore vibrano e si spostato con una velocità maggiore rispetto a quelle del secondo e, nel caso suddetto di contatto, possono trasferire a queste ultime una parte della loro energia (ad esempio, attraverso urti elastici). Aumenta in tal modo l’energia interna del secondo corpo, la cui temperatura subisce, di conseguenza, un incremento.



Consideriamo il sistema in figura 1, supponendo che, in situazione iniziale, valga la relazione:




T1 > T2

dove T1 e T2 sono le temperature rispettivamente del corpo 1 e del corpo 2. Tale situazione di squilibrio genera un transitorio termico durante il quale si ha conduzione di calore dal corpo 1 al corpo 2 e che permane fino al raggiungimento dell’equilibrio, sotto la condizione finale:



T1 = T2





  • Trasporto convettivo, o Convezione.

Con il termine convezione si è soliti designare invece il trasporto del calore in un mezzo che è sede di moti interni. Se i due corpi dell’esempio di cui al punto precedente sono separati da un mezzo piuttosto che essere a stretto contatto, allora abbiamo una trasmissione convettiva che si ha grazie al mezzo frapposto.

A scopo esemplificativo studiamo il caso in cui tale mezzo è rappresentato dall’acqua. Supponiamo che il sistema analizzato presenti una struttura verticale e consti di due corpi il primo dei quali, posto al vertice del blocco, ha una temperatura T1 inferiore a quella T2 del corpo collocato più in basso; i due corpi siano separati da un contenitore riempito di acqua.

Ciò che accade, qualitativamente parlando, è quanto segue: il transitorio termico porta i due corpi alla medesima temperatura, ma, diversamente dal caso conduttivo, sono le molecole del mezzo frapposto, ossia l’acqua, ad assolvere questo compito. Esse prelevano energia al sistema dotato di temperatura più elevata, discendono lateralmente per depositare il calore al corpo freddo e quindi con un moto centrale ascendono nuovamente per sottrarre energia al corpo in alto. Il movimento delle molecole è schematizzato in figura 3.

Generalmente parlando, la convezione è una modalità di trasporto tipica dei fluidi. Si distinguono due casi limite di convezione, in relazione alla causa del fenomeno: se il moto molecolare è imposto tramite l’azione di mezzi meccanici quali pompe, ventilatori o altre macchine simili, si parla di convezione forzata; qualora invece il moto sia indotto dalla azione combinata di campi di forze il processo viene chiamato convezione naturale o libera. L’esempio appena riportato rientra ovviamente nel secondo caso, mentre il campo convettivo generato all’interno di un computer da un opportuno sistema di raffreddamento che impedisca il raggiungimento di sovratemperature è un esempio di convezione forzata.


  • Irraggiamento.

L’ultima forma di scambio termico è rappresentata dall’irraggiamento, modalità di trasporto che non richiede necessariamente la presenza di un mezzo materiale tra i corpi che scambiano energia. Non diversamente dalla propagazione di un’onda elettromagnetica, il calore si propaga nello spazio alla velocità della luce (3  105 kms-1) ed è emesso mediante quantità finite di energia dette quanti. Poiché ogni corpo emette radiazioni elettromagnetiche, esso disperde particelle elementari nel cosmo, ossia fotoni, il cui comportamento fisico può essere descritto con modelli ondulatori o corpuscolari: ogni ente materiale emette dunque non solo energia ma anche materia. Consideriamo il caso di un corpo qualsiasi ad un dato istante 1 della sua vita. Esso è dotato di una massa M1 e di una energia E1.



Indipendentemente dalle interazioni che l’ente può avere con la rimanente porzione dell’universo, esso irradia calore che gli sottrae energia e massa. Quindi, all’istante 2, successivo a 1, il corpo avrà un’energia E2 minore della precedente ed una massa leggermente minore. In termini analitici possiamo scrivere:
 corpo M = M(), E = E (),

M(2) < M(1), E(2) << E(1), 2 > 1


Nell’esempio di figura 3 il risultato del processo è naturalmente enfatizzato.

L’intensità d’irraggiamento di qualsiasi corpo è direttamente proporzionale alla temperatura del corpo stesso: ciò significa che per bassi valori di temperatura la dispersione energetica dovuta alla modalità di trasporto in questione è trascurabile, come nel caso della temperatura atmosferica. All’interno di sistemi di interesse ingegneristico, invece, questa condizione è spesso non verificata: basti pensare ad apparecchi elettrici di vario tipo nei quali le correnti possono comportare aumenti di temperatura considerevoli dovuti alla dispersione energetica per effetto Joule.




Linearità di un sistema.
Prima di affrontare lo studio dello scambio di calore per conduzione, diamo la definizione di linearità di un sistema, concetto di fondamentale importanza nello studio della termocinetica.

Un sistema rappresenta un dispositivo, od una interconnessione di dispositivi, o un apparato, che produce un segnale di uscita (detto risposta o effetto) in corrispondenza ad un segnale in ingresso (detto anche sollecitazione, eccitazione o causa). L’esempio classico è costituito da un qualsiasi dispositivo elettronico, operante su un segnale in entrata x (generalmente funzione del tempo) e generante un segnale in uscita y legato ad x mediante una relazione matematica chiamata funzionale. Se il funzionale T di un sistema è una applicazione lineare, e cioè se soddisfa la relazione:


 x1(t), x2(t),  , : T[x1(t) + x2(t)] = T[x1(t)] + T[x2(t)]
dove x1(t), x2(t) sono segnali elettrici e  e  sono costanti, allora il sistema è lineare.

Più intuitivamente possiamo affermare che un sistema è lineare se il funzionale della somma di due ingressi è la somma delle uscite corrispondenti agli ingressi, ossia la somma dei funzionali; cioè, ancora, un sistema è lineare se per esso è applicabile il principio di sovrapposizione degli effetti.


Grandezze ed equazioni termocinetiche. Legge di Fourier.
La conduzione è, in generale, fenomeno fortemente non lineare, nel significato di linearità cui si è accennato nel paragrafo precedente; come tale essa non può essere descritta da relazioni di diretta proporzionalità tra le grandezze in gioco. Infatti, di solito, il riscaldamento di un corpo è direttamente proporzionale al quadrato della temperatura. La conduzione è tuttavia il più lineare dei tre modi mediante i quali scambi di calore possono avvenire e per questo motivo per tale fenomeno viene spesso adottato un modello di natura lineare.

Un altro carattere distintivo delle equazioni termocinetiche è il fatto che esse sono relazioni vettoriali. Come accennato nel paragrafo “Tipi di scambio termico”, sfrutteremo la teoria dei campi e gli operatori differenziali per studiare gli scambi termici: è importante notare che si osservano trasporti energetici se sussistono differenze di temperatura tra punti distinti dello spazio, sicché lo studio dei moti energetici implica una completa caratterizzazione della disposizione spaziale delle grandezze termocinetiche.

Chiarite le caratteristiche delle equazioni che adotteremo, vediamo di dare qualche nozione sulle grandezze termocinetiche. Studiando gli scambi di calore, supponiamo, analogamente a quanto facevano gli studiosi della teoria del calorico, il movimento di un fluido: il concetto di riferimento sarà dunque rappresentato dal flusso termico, che dà una misura della potenza termica scambiata, ossia del riscaldamento di un corpo, esso rappresentando una potenza per unità di superficie. La logica che ci ha portato a definire il flusso termico (spesso indicato anche con il nome densità di flusso del calore) non è dissimile da quella che sta dietro al concetto di intensità acustica: non è un caso infatti che al giorno d’oggi il flusso termico venga anche chiamato intensità di irraggiamento. I due concetti sono latori del medesimo significato fisico e sono equivalenti ad una energia per unità di tempo ed unità di superficie.

Direttamente dipendente dalla definizione fisica di flusso termico è il concetto di potenza termica: questa è definita come il calore scambiato nell’unità di tempo. La principale differenza tra la definizione di flusso e potenza sta nel fatto che il primo non tiene conto dell’ampiezza della superficie considerata mentre ciò vale per la seconda. Analiticamente, la relazione che intercorre tra le due grandezze è la seguente:



dove Q rappresenta la potenza termica, q il flusso ed S la superficie che fa da tramite per la conduzione, ossia quella entro la quale si svolge lo scambio energetico. Nel SI, la potenza termica è ovviamente misurata in [Js-1], ossia in [W].

Come accennato poco sopra, la temperatura può essere studiata come un campo scalare continuo dipendente dal tempo; ergo, indicatala con T, possiamo scrivere:



dove la terna (x, y, z) rappresenta le coordinate spaziali e  la temporale. Analogamente a quanto visto per campi elettrici, magnetici, gravitazionali, il sistema può essere caratterizzato mediante delle linee di forza le quali forniscono le direzioni di variazione dell’intensità del campo considerato. Tali linee di forza sono perpendicolari alle cosiddette superfici equipotenziali che nel presente caso vengono dette isoterme e la loro lunghezza dipende dall’intensità del campo agente. Il flusso termico fornisce una misura dell’andamento spaziale della temperatura: quindi esso non solo è un vettore dotato di tre coordinate ma è esattamente il gradiente della temperatura. Dalla teoria matematica dei campi ci è noto che tale vettore è perpendicolare alle superfici isoterme, parallelo alle linee di forza e che la sua lunghezza è tanto maggiore quanto più prossime tra loro sono le superfici equipotenziali del campo.

Analiticamente, quanto detto è sintetizzato dall’equazione di Fourier:


(1.1)


relazione in cui le grandezze vettoriali (q) sono contrassegnate dalla freccia  in apice e dove q è il flusso termico,  il cosiddetto coefficiente di conduttività termica, l’operatore gradiente.

Per quanto riguarda le grandezze coinvolte, accenniamo ad una definizione compiuta di ognuna di esse eccezion fatta per la densità di flusso di calore di cui abbiamo già parlato.

Il segno negativo che compare nell’equazione è dovuto a considerazioni di carattere fisico. Il gradiente di un campo scalare punta verso le zone d’intensità maggiore del campo medesimo, ma per il principio zero della termodinamica gli scambi di calore avvengono in modo da uniformare la temperatura ovunque e cioè il calore fluisce da zone in cui la temperatura è superiore a zone più fredde, in direzione opposta a quella del gradiente. Il flusso, orientato nella direzione delle temperature decrescenti, avrà dunque verso opposto; da qui la necessità di anteporre il segno meno al simbolo . Diamo infine uno sguardo all’unità di misura del flusso: nel sistema internazionale esso è misurato in [Wm-2], rappresentando una energia per unità di tempo (ovvero una potenza) per unità di superficie.

La conduttività termica , indicata con il nome di coefficiente in modo improprio non essendo essa adimensionale, è caratteristica del materiale entro cui valutiamo l‘equazione (in quanto rappresenta il flusso termico che passa attraverso una zona con gradiente di temperatura unitario), è proprietà non negativa e generalmente funzione dello stato termodinamico. Quanto a quest’ultima caratteristica, aggiungiamo brevemente che  dipende dai valori assunti da temperatura e pressione e che questo potrebbe mettere in crisi la validità della legge di Fourier: tuttavia la dipendenza (peraltro lineare) del coefficiente dalla temperatura è piuttosto debole, nel senso che una sua variazione è, in molti problemi ingegneristici, trascurabile. D’altra parte l’equazione scritta sopra ha la sola pretesa di essere una legge fisica e quindi di fornire una descrizione approssimata del fenomeno al quale la suddetta si applica: sotto tale punto di vista, essa assolve il compito che le viene assegnato in modo soddisfacente.

L’equazione (1.1) si mantiene valida soltanto per materiali isotropi, mentre il comportamento di materiali termicamente anisotropi, tra i quali rientrano i materiali non-fourieriani, per i quali  non dipende dall’intensità di q, viene descritto generalizzando tale formula nella seguente:

(1.2)


dove  è il tensore di conduttività termica, che è un tensore doppio semidefinito positivo.

In unità SI la conducibilità termica è espressa in [Wm-1K-1] e mediante i suoi valori è possibile operare una distinzione tra isolanti termici, per i quali  è solitamente inferiore all’unità, e conduttori termici. I materiali isolanti impediscono gli scambi di calore, e quindi in generale rendono approssimativamente nullo il flusso termico, in quanto immobilizzano le molecole di aria che realizzano i moti convettivi: l’aria, infatti, è il migliore isolante esistente (per quanto essa presenti un coefficiente non nullo – di 0.024 Wm-1k-1 alla temperatura di 20o C) ed è dunque ottima allo scopo di rendere ineffettivi, o almeno trascurabili, gli scambi termici.

Nel campo dell’ingegneria elettrica uno dei problemi più comuni è rappresentato dalla necessità di favorire scambi termici tra sistemi piuttosto che di isolarli dall’ambiente: si pensi ad esempio ai dispositivi di raffreddamento di componenti elettrici come circuiti, logiche, memorie, processori: il limite delle prestazioni di questi sistemi non risiede in problemi di ordine circuitale o tecnologico quanto termico e in generale le proprietà del fenomeno convettivo sono di impiego più efficace di quanto non lo siano invece i moti convettivi.

Al termine della trattazione degli argomenti assegnati riporteremo una tabella di valori assunti dalla conducibilità termica per alcuni tra i più comuni materiali. Inoltre, per non appesantire la trattazione degli argomenti affrontati a lezione con nozioni ulteriori, rimandiamo all’Appendice 1 per una più dettagliata esposizione dell’importanza del concetto di conduttività termica.

Un cenno matematico merita infine l’operatore differenziale gradiente, definito come:

Il gradiente è cioè il vettore avente come coordinate le derivate spaziali parziali del campo scalare.

Applicazioni della Legge di Fourier.
Ogni legge fisica, che presenta una validità generale per una determinata gamma di problemi, deve naturalmente poter trovare una applicazione pratica e diretta nei casi reali, ossia quelli di interesse ingegneristico. Vedremo ora pertanto alcuni esempi di applicazione della legge di Fourier, incominciando dal caso più semplice, ma non per questo meno importante, della lastra piana indefinita, per poi passare all’analisi di fenomeni leggermente più complessi.



  • Lastra piana indefinita.

Consideriamo una lastra di spessore costante S e che presenti una larghezza ed una lunghezza sufficientemente grandi affinché possano essere ritenute infinite. Ciò significa limitare la nostra attenzione ad una singola dimensione, in modo da sostituire il simbolo di derivata al posto di quello di gradiente nella legge di Fourier. Ci proponiamo inoltre di analizzare il fenomeno di scambio termico trascurando la sua dipendenza dalla variabile tempo. Se dunque supponiamo che le due superfici della lastra presentino una differenza di temperatura, osserveremo un transitorio termico seguito dalla condizione a regime, la quale è stabile in assenza di sollecitazioni esterne e cioè non dipende dal tempo. L’ipotesi fatta poc’anzi ci permette di analizzare soltanto quest’ultima situazione. Per quanto affermato:



e la diretta conseguenza di quanto detto è la dipendenza del flusso di calore dalla sola variabile x, per cui si ha:

dove il simbolo di vettore è stato omesso poiché q, variando solo in funzione di x, non rappresenta più una tripla bensì uno scalare.


Facendo riferimento alla figura sopra, che tiene conto delle ipotesi semplificative da noi operate, possiamo applicare la legge di Fourier, la quale, in questo caso particolare, si presenta nella forma:


(2.1)


Come la maggior parte delle equazioni fisiche, la presente rappresenta una equazione differenziale che fornisce una soluzione generica: essa necessita dell’imposizione delle condizioni al contorno affinché possa applicarsi al caso che stiamo trattando.

Le condizioni al contorno sono di due nature: spaziali e temporali. L’ipotesi di trascurare il transitorio ci permette di tralasciare la dipendenza del flusso termico dal tempo: ergo una applicazione della condizione temporale sarebbe del tutto inutile, ma per completezza la riportiamo insieme a quelle spaziali in un quadro generale:



Ciò che si osserva è un andamento lineare della temperatura all’aumentare della distanza del punto di nostro interesse dalla parete 1. Più precisamente, tale andamento è rappresentato da una retta a valori decrescenti. Dimostriamo per via matematica quanto affermato, integrando l’equazione (2.1) per x che varia da 0 ad S:

La dipendenza del flusso termico q dalla variabile spaziale x può essere trascurata e q può di conseguenza essere estratto dal simbolo di integrale; analogamente, anche la conducibilità termica  può essere ritenuta indipendente dalla temperatura e tolta dall’integrazione tra T1 e T2, quindi:



(2.2)


L’equazione (2.2), che fornisce la cosiddetta intensità di flusso termico, può naturalmente essere generalizzata, nel senso che l’integrazione può essere fatta tra l’ascissa nulla e la generica ascissa x; in tal caso otterremmo:

(2.3)


La (2.3) è indicata con il nome di profilo di temperatura e rappresenta la legge di variazione spaziale della grandezza suddetta.
Si può anzitutto notare come la dipendenza della temperatura dalla distanza x sia effettivamente lineare, così come si era pronosticato. Nel grafico in basso , è mostrato l’andamento spaziale della temperatura nel corpo della lastra. Nel paragrafo riguardante la legge di Fourier, si è accennato al fatto che la conducibilità termica può dipendere dalla temperatura. Se si tiene conto di ciò, allora  può considerarsi una funzione lineare della temperatura e siamo dunque legittimati a scrivere:


dove 0 rappresenta il valore della conducibilità termica a 0 0C.

Poiché  dipende da T, non può più filtrare al di fuori dell’integrale, ma va integrato; quindi avremo:






In questo modo abbiamo ricavato una relazione precisa tra il flusso di calore q e la temperatura T senza trascurare la dipendenza di  dalla temperatura. Nelle applicazioni pratiche di nostro interesse, tale relazione viene di norma sostituita con la più semplice (2.2) i cui risultati sono approssimazioni ottime della soluzione esatta del problema analizzato.


  • Superficie cilindrica.

Come secondo esempio vogliamo considerare un tubo di raggio interno R1, raggio esterno R2 e lunghezza L. Manteniamo fissa l’ipotesi dell’assenza della dipendenza dal tempo delle grandezze in gioco, cioè non consideriamo gli eventuali transitori attuati nel processo di nostro interesse. La figura 6 rappresenta il sistema che vogliamo studiare. Trascuriamo, anche nel presente caso, la dipendenza del coefficiente di conduttività termica dalla temperatura, in modo da estrarlo dal simbolo di integrale.

Il calcolo del flusso termico è in questo caso molto più laborioso: infatti q non è costante su tutta la superficie del cilindro, ma esso è funzione del raggio r:

All’aumentare di r, infatti, ossia nel caso in cui dovessimo considerare superfici più ampie, vedremmo calare l’intensità del flusso termico: lo svolgimento dell’integrale, che in questo caso è bidimensionale, sarebbe molto complesso. Per ricavare la soluzione della legge di Fourier, allora, operiamo la seguente considerazione: è vero che q(r) non è costante, ma è anche vero che il prodotto della superficie per il flusso, ossia la potenza, è costante. Quindi possiamo scrivere:

dove Q, lo ricordiamo, rappresenta la potenza termica.




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