I sistemi caotici come modelli creativi



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I sistemi caotici come modelli creativi


Di Nello Ceccon copyright 2004
Vedere un mondo in un grano di sabbia

e un universo in un fiore di campo,

possedere l’infinito sul palmo della mano

e l’eternità in un’ora

William Blake (1757-1827)


La matematica è forse l’arte più creativa che si conosca, anche se nell’opinione comune è considerata “arida”. Nel corso dei millenni, nella storia dell’umanità, i matematici hanno astratto la realtà, mano a mano che essa veniva conosciuta. Questa ricerca dell’assoluto, della regola, del teorema che è valido in ogni contesto, ha creato un sistema di conoscenze che, in buona parte, continua ad auto-sostenersi. Significa che il pensiero matematico si è evoluto nel corso dei millenni in maniera sempre coerente con sé stesso, poche materie scientifiche possono vantare una tale efficienza! Per esempio, la geometria Euclidea, sviluppata duemilacinquecento anni fa, è ancora adesso ritenuta valida in certe situazioni, quelle più coerenti con il senso comune.

Dalla matematica moderna sono nate delle concezioni che possono dare un contesto teorico a molte intuizioni e pensieri comuni che sono alla base del pensiero umano.

Quello che vorremo introdurre, fornendo una piccola panoramica, sono le basi della teoria del caos. Riteniamo questo utile per comprendere come le ultime cognizioni della matematica possono introdurci nel processo immaginativo e creativo della nostra mente, proprio come è stato descritto due secoli fa dal poeta William Blake.

Quando parliamo di pensiero laterale, parliamo della capacità di trovare analogie ed associazioni tra cose che si pensava non ne avessero quando parliamo di brainstorming, cerchiamo di inserire, in un certo contesto, fattori di “disturbo” che poi, scatenando reazioni a catena del tipo associativo, deduttivo, o analogico, contribuiscono allo sviluppo delle soluzioni del problema.

Nei sistemi caotici o non lineari, le cose semplici, banali, inserite in un processo iterativo, che si ripete in sé stesso, acquisiscono un forte potere creativo, entrando poi in situazioni di instabilità da cui possono scaturire nuove evoluzioni.

Tutto questo è descritto, con poche regole matematiche, ma con complesse soluzioni, nella teoria del caos.

Riteniamo che avere delle conoscenze di modelli che descrivono molto bene i processi naturali, sia un forte stimolo per l’uomo creativo di questa epoca. Quando andiamo ad osservare i risultati grafici di queste formule matematiche, scaturiscono dentro di noi forti emozioni, perché ci fanno pensare a cose viventi, a fiori, cavallucci marini, nuvole.
Le basi di questa teoria sono state sviluppate principalmente dal metereologo E.N. Lorenz e dal matematico Mandelbrot a cavallo tra il 1960 e 1970. Mendelbrot descrive le funzioni a cui sono associate figure a “frattale” ed introduce il concetto di dimensione con numero non intero. Infatti, gli spazi rappresentati in maniera classica vengono descritti ad 1,2,3,… n dimensioni, lo spazio ad una dimensione è una linea retta, a due dimensioni, una superficie, a tre dimensioni un solido. Nella matematica dei frattali esistono le dimensioni frazionate, ad esempio si può parlare della dimensione 1,74.

In natura ben poche cose possono essere descritte dai modelli geometrici a dimensioni intere, avete mai trovato in un bosco un oggetto perfettamente lineare, oppure perfettamente sferico? La natura sembra invece ricorrere a modelli che si auto-riproducono quasi all’infinito, in ordini di grandezza sempre più piccoli o sempre più grandi e che hanno delle auto-similitudini, proprio come nella matematica dei frattali. Prendete un cavolfiore e staccatene una parte. Questa assomiglia, in scala più piccola al cavolfiore di partenza. Se da questa parte ne stacchiamo un pezzo ancora più piccolo, vediamo che viene riprodotto lo stesso schema del cavolfiore iniziale, solo molto più piccolo. La stessa forma si replica, si auto-riproduce in ogni ordine di grandezza. Ci sono molte altre autosomiglianze. Se osservate un albero spoglio d’inverno vedrete che le ramificazioni si autoriproducono a diversi ordini di grandezza, una roccia, vista da vicino assomiglia ad una montagna, le ramificazioni di un fulmine sono sempre simili a sé stesse, il delta di un fiume, se guardato in scale sempre più ridotte, avrà gli stessi andamenti, lo stesso vale per le linee costiere. Se osserviamo una costa del satellite, vedremo che avrà una certa geometria, con le sue baie e le sue spiagge, se andiamo a zoomare una baia, vista livello macroscopico, scopriremo che a sua volta è costituita da ulteriori baie più piccole e così via. Mandelbrot pose una domanda che divenne mitica: “Quanto è lunga la costa della Gran Bretagna? Dimostrò che le lunghezze variano, anche notevolmente, a seconda di quale tipo di scala con cui si misurava. Usando una scala sempre più piccola i valori, in termine di lunghezza, si moltiplicavano anche del doppio! Partendo da una linea retta, che ha dimensione uno, più questa viene frastagliata, più andrà ad occupare spazio nel piano, ma non occuperà mai un piano, che ha dimensione due. Si potrà quindi parlare di una linea frastagliata che ha dimensione intermedia tra uno e due. Lo stesso per un foglio di carta, che piano ha dimensione due, quando viene accartocciato, avrà una dimensione che non sarà come una sfera piena ovvero tre, ma un valore intermedio, più vicino al tre se “riempirà” molto lo spazio con gli accartocciamenti, più vicino a due se sarà meno accartocciato.

Osservando alcune figure frattali possiamo notare il senso di movimento che ci danno, ottenuto da serie numeriche che possono andare, si presume, all’infinito. La stessa ciclicità, dei motivi che si ripetono, ma mai nello stesso modo, ci portano a delle analogie con i cicli della nostra vita.
La geometria dei frattali e la teoria del caos praticamente si sono ricondotte ad un unico modello matematico, in cui si sono introdotti i concetti di “attrattore” e” punti di biforcazione”, basilare per comprendere i movimenti e le evoluzioni che ci sono in natura.

Un altro concetto importante introdotto da queste teorie, che descrivono sistemi non lineari, è quello dell’instabilità delle soluzioni e della forte influenza che hanno le condizioni iniziali.

Quando E.N.Lorenz sviluppò un sistema numerico per rappresentare un modello metereologico si accorse che anche l’approssimazione di un milionesimo del valore iniziale, andava a fare evolvere in maniera completamente diversa il sistema. Proverbiale è stata la domanda che si era posto: “Può il battito di ali di una farfalla in Brasile essere la causa di un tornado nel Texas?” La risposta, che dedusse dai suoi modelli, fu “Sì”. Da quel momento si comprese perché le previsioni metereologiche non potevano essere affidabili in un arco di tempo superiore ai due-tre giorni.
Questa matematica sta avendo ripercussioni in molti settori scientifici. Attualmente, le teorie cosmologiche in voga, parlano che il big bang, lo scoppio iniziale da cui è nato il nostro universo, sia il frutto dell’incontro di due universi a tre dimensioni, in un’altra dimensione. Il frutto dello scontro,il nostro universo, è solo uno dei tanti possibili che si possono essere creati. Queste ipotesi derivano dalla teoria della Super Stringa, in cui l’universo è descritto con venti dimensioni, ma solo quattro sono espanse (le tre spaziali e quella temporale), le altre sono accartocciate su loro stesse e quindi non vengono percepite. Il sistema stellare stesso, con i pianeti, i sistemi stellari, le galassie, gli ammassi di galassie e così via, ci fa pensare di essere in uno spazio frazionato.

Siamo sicuri che i matematici e gli astrofisici che stanno elaborando queste teorie si sentono in contatto con il divino, con l’armonia che c’è nell’universo.



Allo stato attuale i confini tra scienza ed immaginazione sono molto labili, perciò sentiamoci liberi di usarle entrambe!



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