Il calcolo combinatorio è IL termine che denota tradizionalmente la branca della matematica che studia I modi per raggruppare



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01.06.2018
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CALCOLO COMBINATORIO

Il calcolo combinatorio è il termine che denota tradizionalmente la branca della matematica che studia i modi in cui si possono raggruppare e/o ordinare secondo date regole gli elementi di un insieme finito di oggetti. Il calcolo combinatorio si interessa soprattutto di contare tali modi, e solitamente risponde a domande quali : "Quanti sono...", "In quanti modi...", "Quante possibili combinazioni..." eccetera.

In molte applicazioni sorge il problema di sapere in quanti modi possibili si può presentare un certo fenomeno. Il problema, all’apparenza, sembra banale: ciò è vero se il numero degli elementi presi in considerazione è piccolo, ma quando questo numero è elevato si presentano delle difficoltà nel formare tutti i raggruppamenti possibili . Dato un insieme S di n - oggetti si vogliono contare i raggruppamenti che si possono ottenere con k oggetti tratti da questo insieme. Prima di affrontare un problema di calcolo combinatorio bisogna capire due fatti importanti:


  • Se l'ordinamento è importante, ovvero se due raggruppamenti sono gli stessi a meno di un riordinamento ({x,y,z} è uguale a {z,x,y}?)

  • Se si possono avere più ripetizioni di uno stesso oggetto, ovvero se uno stesso oggetto dell'insieme può o meno essere riusato più volte all'interno di una stessa configurazione.

Permutazioni semplici (senza ripetizioni)


Le permutazioni semplici altro non sono che le disposizioni di n oggetti presi ad n ad n. ossia, dato un insieme di n oggetti, si dicono permutazioni di tali n oggetti tutti i gruppi che si possono formare con gli n oggetti dati prendendoli tutti. Se ne deduce allora che le

permutazioni semplici differiscono soltanto per l’ordine con cui sono disposti gli n oggetti distinti contenuti nei vari raggruppamenti.

Per contare quante siano le permutazioni di un insieme con n- oggetti, si osservi che il primo elemento della configurazione può essere scelto in n modi diversi, il secondo in

(n-1), il terzo in (n-2) e così via sino all'ultimo che potrà essere preso in un solo modo essendo l'ultimo rimasto. Dunque, indicando con Pn il numero delle possibili permutazioni di un insieme di n elementi, si ottiene che esse sono esattamente n! (n fattoriale):

1) Ad esempio le permutazioni degli elementi dell'insieme A ={a,b,c} sono P3 = 3! = 6: abc, bac ,bca, cab, cba, acb.

Per completare meglio la definizione di fattoriale fissiamo anche i valori seguenti:

1! = 1 e 0! = 1.

cioè: il numero delle permutazioni di n elementi distinti è uguale al

prodotto dei primi n numeri naturali (escluso lo zero).

Ricorrendo alla definizione di fattoriale, possiamo anche dire che: il



numero delle permutazioni semplici di n elementi distinti è dato dal

fattoriale del numero n, ossia:

Pn = n!

2) Gli anagrammi altro non sono che le permutazioni che si ottengono da

una parola variando solo il posto delle lettere.

Ad esempio, con la parola ROMA (composta da 4 lettere) si ottengono

P4 = 4! = 4.3.2.1 = 24

anagrammi.

Permutazioni con ripetizioni


Precedentemente abbiamo supposto che gli elementi fossero tutti distinti. Supponiamo ora che di questi n-elementi ve ne siano  uguali tra loro ( < n ). Ci proponiamo allora di

trovare il numero delle loro permutazioni che indicheremo con Pn


Iniziamo con un esempio. Consideriamo la parola ORO che contiene due

lettere uguali. Abbiamo visto che il numero di anagrammi di una parola

(con lettere tutte diverse) di tre lettere è dato da:

P3 = 3! = 3.2.1 = 6

Nel caso della parola ORO i possibili anagrammi distinti sono soltanto:

ORO ROO OOR

cioè sono tre e non sei come ci si sarebbe aspettato, cioè sono in numero

minore di Pn. In generale, volendo calcolare le permutazioni di n oggetti

in cui ve ne siano  identici fra loro, si ottiene un numero di permutazioni dato da: Pn /!

Nel nostro caso quindi è: P3/2= 3!/2! = 6/2 = 3


Se poi, data una parola di n lettere nella quale una lettera è ripetuta -volte, un’altra -volte ecc. o, più in generale, dato un insieme di n-elementi dei quali  sono uguali fra loro,  uguali fra loro, ecc., il numero delle permutazioni distinte con elementi ripetuti che si possono ottenere è dato da:

P, =


Ad esempio, se prendiamo in considerazione la parola MATEMATICA

Disposizioni semplici (senza ripetizioni)


Consideriamo un insieme A formato da n- elementi distinti ed un numero k < n. Si chiamano disposizioni semplici degli n elementi presi a k a k ( o disposizioni di classe k) un gruppo ordinato formato da k -elementi dell’insieme A in modo che valgano le seguenti

proprietà:

1. in ciascun raggruppamento figurano k oggetti senza ripetizione;

2. due di tali disposizioni si ritengono diverse quando differiscono per almeno un elemento oppure per l’ordine con cui gli stessi elementi si presentano.

Il numero delle disposizioni semplici di n elementi distinti, della classe k, si indica con il simbolo Dn, k il cui valore è dato dal teorema seguente:

Il numero delle disposizioni semplici di n elementi distinti della classek, è uguale al prodotto di k numeri interi consecutivi decrescenti dei quali il primo è n.

Si ha cioè:

Dn, k = n (n -1) (n -2) …… (n - k +1)

e si dimostra che:

n!

Dn, k = ..................



( n – k ) !

1) Se vogliamo calcolare D7,3 nei due modi descritti, si ha:

D7,3 = 7.6.5 = 210

7! 7 6 5 4 3 2 1

D7,3 = ………... = ……………………… = 210.

(7 3)! 4 3 2 1

2) Ad esempio le disposizioni semplici a 2 a 2 degli elementi dell'insieme A = {1,2,3,4,5} sono D5, 2 = 5!/(5-2)! = 5!/3! = 120/6 = 20  12, 13, 14, 15, 21, 23, 24, 25, 31, 32, 34, 35, 41, 42, 43, 45, 51, 52, 53, 54.

Si osserva che le permutazioni sono casi particolari delle disposizioni semplici: le permutazioni di un insieme di n oggetti sono le disposizioni semplici di tali oggetti di classe n. In effetti per il loro numero:




Disposizioni con ripetizioni


Consideriamo un insieme costituito n - elementi distinti ed un numero naturale k senza alcuna limitazione superiore. Il problema che ci poniamo è quello di costruire tutti i possibili raggruppamenti distinti prendendo k oggetti in modo che:

a) in ciascun raggruppamento figurano k oggetti ed uno stesso oggetto può figurare, ripetuto, fino ad un massimo di k volte;

b) due qualsiasi raggruppamenti sono distinti se uno di essi contiene almeno un oggetto che non figura nell’altro, oppure gli oggetti sono diversamente ordinati, oppure gli oggetti che figurano in uno figurano anche nell’altro ma sono ripetuti un numero diverso di volte.

Il numero delle disposizioni con ripetizione si indica con il simbolo D'n, k e si dimostra che tale numero è dato da: D'n,k = nk

1) Ad esempio, determiniamo quanti numeri diversi di tre cifre si possono formare con le nove cifre significative. È evidente che si tratta di disposizioni con ripetizione di 9 elementi della classe 3, per cui è: D'9,3 = 9 3= 729.

Cerchiamo il numero delle possibili sequenze di k oggetti estratti dagli elementi di un insieme di n oggetti, ognuno dei quali può essere preso più volte. Si hanno n possibilità per scegliere il primo componente, n per il secondo, altrettante per il terzo e così via, sino al k-esimo che completa la configurazione. Il numero cercato è pertanto:



2) Ad esempio le disposizioni con ripetizione di classe 2 degli elementi di A= {1,2,3,4,5} sono 52 = 25  11, 12, 13, 14, 15, 21, 22, 23, 24, 25, 31, 32, 33, 34, 35, 41, 42, 43, 44, 45, 51, 52, 53, 54, 55.

Si osserva che può anche essere k > n

Combinazioni semplici (senza ripetizioni)


Dato un insieme di n elementi, si dicono combinazioni semplici degli n-elementi presi a k a k (o di classe k) k <= n tutti i gruppi di k elementi, scelti fra gli n dell’insieme dato, in modo che ciascun gruppo differisca dai restanti almeno per uno degli elementi in esso contenuti (senza considerare, quindi, l’ordine degli elementi).

Da notare la differenza fra disposizioni e combinazioni (semplici): mentre nelle disposizioni si tiene conto dell’ordine, nelle combinazioni semplici, invece, si considerano distinti solo quando due i raggruppamenti differiscono almeno per un elemento. Per determinare il numero delle combinazioni semplici di n elementi di classe k, e che indichiamo con il

simbolo Cn, k, ci serviamo della formula:


Da questa formula si ricava che il numero delle combinazioni di n oggetti di classe k è dato dal quoziente di k fattori interi, consecutivi,decrescenti a partire da n ed il prodotto di k fattori interi, consecutivi,decrescenti, a partire da k.
1) Ad esempio le combinazioni semplici di classe 4 degli elementi diA = {1,2,3,4,5,6} sono 6!/(4!2!) = 15  1234, 1235, 1236, 1245, 1246, 1256, 1345, 1346, 1356, 1456, 2345, 2346, 2356, 2456, 3456.

Combinazioni con ripetizioni


si possono prendere in considerazione anche le combinazioni con ripetizione. Consideriamo un insieme formato da n elementi e fissiamo un numero k (senza alcuna limitazione superiore): ci proponiamo di costruire i possibili raggruppamenti distinti prendendo k elementi dell’insieme dato in modo che:

a) in ciascun raggruppamento figurino k elementi dell’insieme dato potendovi uno stesso elemento figurare più volte fino ad un massimo di k volte;

b) due raggruppamenti sono distinti se uno di essi contiene almeno un elemento che non figura nell’altro, oppure gli elementi che figurano in uno figurano anche nell’altro ma sono ripetuti un numero diverso di volte.

Il numero di combinazioni con ripetizione di n oggetti di classe k è uguale a quello delle combinazioni senza ripetizione di n+k-1 oggetti di classe k ed è quindi uguale a:



.

Ad esempio, vi sono modi di distribuire a 2 bambini distinguibili 4 caramelle indistinguibili, contando anche i casi in cui uno dei bambini non riceve nessuna caramella: 0-4, 1-3, 2-2, 3-1, 4-0. Oppure, le combinazioni con ripetizioni per n oggetti di classe k rappresentano il numero delle derivate parziali di ordine k calcolabili per una funzione a n variabili.

1) Consideriamo, ad esempio, l’insieme:A = a, b, c

Le combinazioni di classe 2, con ripetizione, sono: (a, a) (a, b) (a, c) (b, b) (b, c) (c, c)

(sono sei).

Le combinazioni di classe 3,con ripetizione,sono:(a,a,a ) (a,a, b) (a,a, c) (a, b, b) (a, b, c) (a, c, c) (b, b, b) (b, b, c) (b, c, c) (a, c, c) (sono 10).


ESERCIZI

1) In quanti modi diversi si possono scegliere tre libri da una libreria che ne contiene 12?

2) In quanti modi si possono scegliere tre numeri diversi, compresi tra 1 e 50, in modo che la loro somma sia divisibile per 4?

3) Nel menù di un ristorante si può scegliere tra cinque primi piatti, sei secondi e sette dessert: quanti tipi di pasti, con almeno una portata diversa, può somministrare il ristoratore?


Il calcolo combinatorio oltre che a rispondere a domande del tipo precedente costituisce anche uno strumento aritmetico che è di supporto indispensabile nel Calcolo delle Probabilità poiché consente di determinare il numero di eventi possibili (ma anche quelli favorevoli e contrari) che si possono verificare in una prova.

In definitiva possiamo dire che il Calcolo combinatorio fornisce quegli strumenti di calcolo per determinare il numero di aggruppamenti che si possono formare con un numero k di oggetti presi da un insieme contenente n oggetti ( n k ) secondo le modalità seguenti:



a) i k oggetti possono formare gruppi ordinati (che chiameremo disposizioni);

b) i k oggetti possono formare gruppi non ordinati (che chiameremo combinazioni);

c) se k = n otterremo dei gruppo ordinati che chiameremo permutazioni.

Coefficienti binomiali e potenza di un binomio

Il numero delle combinazioni semplici, Cn,k è spesso indicato con il

simbolo seguente: n

k

che si legge « n su k » e viene detto coefficiente binomiale perché se ne fa uso nello sviluppo della potenza di un binomio.


Consideriamo due numeri reali qualunque a e b. Sono note le formule:

(a +b)1 = a + b

(a +b)2 = a2 + 2ab + b2

(a +b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

e così via. Analizzando il calcolo della generica potenza di un binomio

notiamo che tutti gli sviluppi sono dei polinomi omogenei e completi, di

grado uguale all’esponente della potenza. Ordinando gli sviluppi secondo

le potenze decrescenti di uno dei due monomi, notiamo che i loro

coefficienti sono numeri del seguente prospetto che noi chiamiamo

Triangolo di Tartaglia e che i francesi chiamano Triangolo di Pascal:

1

1 1



1 2 1

1 3 3 1


1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

…………………….

……………………….

………………………….

per la cui costruzione è sufficiente osservare che ogni riga inizia e

termina con 1 e gli altri valori si ottengono come somma dei due

elementi sovrastanti. Questo triangolo può essere scritto nel modo

seguente con lo sviluppo della potenza secondo Newton, il quale,

nella sua dimostrazione, fa uso delle combinazioni:


esercizi sul calcolo combinatorio

DISPOSIZIONI

1) Le targhe automobilistiche sono costituite da 2 lettere, 3 cifre, 2 lettere. Sapendo che le lettere possono venire scelte tra le 26 lettere dell’alfabeto anglosassone, si calcoli quante targhe differenti possono essere ottenute e quindi quante automobili possono essere immatricolate?

Con due lettere scelte tra 26, con possibile ripetizione e tenendo conto dell’ordine, posso ottenere D' 26;2 = 262 = 676 disposizioni .

Con tre cifre posso ottenere D' 10;3 =103 =1000 numeri ( ovviamente sono i numeri da 001 a 999 + 000). Per cui il totale sarà 676x1000x676= 456.976.000



PERMUTAZIONI (semplici e con ripetizione)

2) Una partita di calcio tra la squadra A e B è finita 4 a 3. In quanti modi diversi possono essersi succedute le reti?



P7(4,3) = 7! / 4!3! =

Infatti, indicando con a le reti di A e b le reti di B, ogni possibile sequenza di gol

equivale ad una permutazione dei simboli aaaabbb

COMBINAZIONI SEMPLICI

3) Nel Poker si distribuiscono, ad ogni giocatore, 5 carte estratte da un mazzo di 32. In quanto modidiversi si possono ricevere le carte?

Questo esercizio equivale a contare le possibili “mani” di poker. Poiché l’ordine in cui si ricevono le carte non ha importanza, ogni “mano” corrisponde ad una possibile combina-zione di 5 carte estratte da un insieme di 32 Carte
C32,5 = D32,5 / P5 = (32 31 30 29 28 ) / 5! = 201.376

4) Quanti sono i modi in cui si può ottenere una scala reale massima di cuori (AKQJ10 di cuori?): ovviamente uno solo! Da qui si può capire che la probabilità di avere scala reale massima di cuori è 1/201.376. Essendo 4 i semi, il numero di scale reali massime che si possono fare è 4.

5) Quanti sono i modi in cui si può ottenere poker d’assi? I 4 assi si possono ottenere in un solo modo, ma la quinta carta può essere una qualsiasi tra le restanti 28. Per cui i modi sono 28. La probabilità di fare poker d’assi è di 28/201.376=1/7129

Essendoci 8 valori per seme, i possibili poker sono 8, realizzabili in 28x8=224 modi. La probabilità di fare poker è di 224/201.376=1/899


COMBINAZIONI con RIPETIZIONE

I problemi di suddivisione in gruppi di oggetti indistinguibili si possono spesso ricondurre al calcolo di combinazioni con ripetizione.

1) In quanti modi diversi posso distribuire 12 penne in 5 cassetti? ( ogni cassetto può contenere da 0 a 12 penne e le 12 penne possono essere considerate indistinguibili).

Se chiamiamo a,b,c,d,e i 5 cassetti, ogni modo in cui posso distribuire le penne può essere rappresentato da una sequenza di lettere prese una per ogni penna inserita nel corrispondente cassetto: es. aabbbcccdddd vuol dire che ho messo 2 penne in a, 3 in b, 3 in c, 4 in d e 0 in e. Perciò il numero di modi cercato è il numero di combinazioni con ripetizione di 5 oggetti in classe 12, C

A) Esercizi svolti

1. Contare le terne ordinate formate con le lettere A,B,C,D. (Le ripetizioni sono ammesse)

2. Una carta geografica contiene 5 paesi. La si vuole colorare (ogni paese con un colore diverso) ,avendo a disposizione sette diversi colori. In quanti modi si può fare ?

3. In quanti modi diversi sette amici possono viaggiare su un’auto che ha solo cinque posti?E se solo uno di essi ha la patente ?

4. Il signor Rossi ha sei amici , A, B, C, D, E, F. Decide di visitarli tutti nei prossimi tre giorni, al ritmo di due al giorno . Quante possibilità ci sono ? Se vuole visitare A il primo giorno , a quante si riducono le possibilità ?

Soluzioni


1) Si tratta delle disposizioni ( perché conta l’ordine !) con ripetizione di 4 elementi , presi a tre a tre cioè

2) Si hanno sette colori , da usare 5 per volta ( uno per ciascun diverso paese ) (non sono

ammesse ripetizioni dei colori e ovviamente conta l’ordine con cui si usano )

Dunque si tratta di disposizioni semplici di sette elementi da prendere a cinque a cinque , cioè

3) Sono le combinazioni ( poiché non conta l’ordine con cui gli amici entrano in macchina ) di sette elementi da prendere a cinque a cinque ,cioè :
Se uno solo ha la patente , questi deve salire in macchina ; quindi restano quattro posti , e sei amici.

Dunque in questo caso , le possibilità sono C6 4


4) Il primo giorno il sig. Rossi ha C6 2

Il secondo giorno ha solo più C4 2

Il terzo giorno ne ha solo più una (

Dunque in tutto ha 15.6.1 = 90 possibilità.

Se A viene visitato il primo giorno , allora :

il 1° giorno ha solo 5 scelte

il 2° giorno ha C4 ,2 = 6 , scelte

il 3° giorno ha solo 1 scelta

Dunque ha 5.6.1 =30 possibili scelte .
B) Esercizi proposti

1) Quante “cinquine” al lotto ?

2) Quante possibili schedine al totocalcio ?

3) Il signor Rossi ha 5 vestiti , 16 cravatte e 8 cappelli. In quanti modi può scegliere di vestirsi (con vestito, cravatta e cappello)?

In quanti modi può scegliere 5 vestiti , 5 cravatte e tre cappelli ?

4) Un magazziniere deve codificare 9.000 oggetti con un codice : Lettera cifra cifra

Le cifre devono essere diverse e non può usare né A,B,C né 0,1. Quanti codici può formare ? Riesce a codificare tutti gli articoli ? In caso contrario ideare un codice adatto.

5) Un gruppo di amici è composto di 12 ragazzi e 8 ragazze. Hanno un’auto con 5 posti e

stabiliscono che partiranno 3 ragazzi e 2 ragazze. Quante possibilità ci sono ?

6) Quanti numeri di tre cifre, fra loro diverse, si possono scrivere utilizzando le 10 cifre

0,1,.....,9 ?

7) Quanti numeri di quattro cifre , fra loro diverse , e divisibili per due si possono scrivere

utilizzando le 10 cifre 0,1,...,9 ?

8) In quanti modi 6 persone possono disporsi intorno ad un tavolo rotondo , intendendo che due configurazioni coincidono quando ciascuno ha le stesse persone accanto ?


9) "Si hanno 4 volumi di matematica, 3 di fisica, 2 di chimica. In quanti modi diversi puoi ordinarli in uno scaffale supponendo di volere mantenere vicini quelli relativi alla stessa materia?" 

Consideriamo i blocchi di libri della stessa materia: il blocco di fisica, di matematica e di chimica.


In questa libreria abbiamo quindi 3 blocchi che si susseguono, proprio perché vogliamo tenere vicini quelli della stessa materia.
Ora, ci sono 6 modi in cui possiamo sistemare i blocchi:
M-F-C
M-C-F
F-M-C
F-C-M
C-M-F
C-F-M

Ora procediamo a esaminare i libri nel dettaglio.


Immaginiamo una disposizione di blocchi a caso, mettiamo M-F-C.
I libri di matematica li posso disporre in modi (ovvero quei 4 li faccio muovere nel blocco).
I libri di fisica li posso disporre in modi.
I libri di chimica li posso disporre in modi
Quindi i modi sono .

Tutto questo va moltiplicato per 6, perché questo lavoro lo ripeto identico per ognuno dei 6 modi in cui ho sistemato i blocchi.


In definitiva,

Nella prima fila di un'aula devono sedersi 6 studenti: tre ragazze e tre ragazzi.


In quanti modi si possono sedere se due studenti dello stesso sesso non devono stare vicini ?

Notiamo innanzitutto una cosa: il ragionamento è simmetrico (uomini e donne).


Supponiamo dunque che il primo della fila sia un ragazzo, facciamo i nostri conti e alla fine moltiplichiamo tutto per 2 (per racchiudere l'eventualità che all'inizio della fila ci può anche essere una ragazza).

Dunque i ragazzi devono sedersi in modo di alternare il sesso, quindi M-F-M-F-M-F


oppure, caso simmetrico, F-M-F-M-F-M

Per il primo posto si hanno 3 scelte (i tre ragazzi).


Per il secondo posto abbiamo ugualmente 3 scelte (le tre ragazze)
Per il terzo posto abbiamo ora 2 scelte (i due ragazzi rimanenti)
per il quarto posto 2 scelte (le due ragazza rimanenti)
per il quinto posto si ha solo 1 scelta (il ragazzo rimasto)
per il sesto posto 1 scelta (l'ultima ragazza)

In tutto abbiamo quindi, moltiplicando tra loro i casi e infine per 2,



.

10) In quanti modi possiamo pescare due carte da un mazzo di 52 carte da


gioco in modo tale che la prima carta sia di picche e la seconda non sia una regina?
Sappiamo che la prima carta è picche. Ora distinguiamo due casi:
i)La prima carta è la regina di picche
ii)La prima carta è picche, ma non regina
Abbiamo spezzato gli eventi totali in due categorie.
Prendiamo il primo caso. La prima carta è regina di picche. Questa carta può essere estratta in solo modo. La seconda estrazione non vuole la regina: le carte che vanno bene sono dunque 48 (perché dalle iniziali dobbiamo togliere la donna già estratta e le altre tre che dobbiamo escludere). Perciò i modi totali sono
Consideriamo ora il secondo caso.
La prima carta è picche, ma non regina. Di carte picche non regine ce ne sono (tutte le picche meno la donna). La seconda estrazione non vuole regine, quindi dobbiamo togliere quelle quattro carte. Considerando che una carta (la prima) è già stata estratta, di carte rimanenti accettabili ne abbiamo , da cui abbiamo che le configurazioni in questo caso sono
Perciò le configurazioni totali sono

11) Calcolare il numero delle targhe che si possono formare nel caso in cui:


1) ciascuna targa contenga 2 diverse lettere seguite da 3 numeri distinti.
2)il primo numero sia diverso da zero.

Te lo svolgo per intero: se hai altri problemi simili ti indico la strada.


In questo caso è importante che il testo specifichi che le cifre e le lettere devono essere distinte.

1)Vediamo quante coppie di lettere possiamo formare: si tratta di disposizioni semplici.


Assumiamo che le lettere siano , pertanto le disposizioni di elementi in coppie (classe ) sono pari a

Procediamo analogamente con i tre numeri. Le cifre a disposizioni sono .
Bisogna dunque cercare le disposizioni di elementi in classe

In definitiva, abbiamo modi per disporre le lettere e modi per disporre le cifre.
Le targhe possibili sono tante quante il prodotto di questi due numeri (si immagini di numerare le coppie di lettere, e abbinare la prima con le triadi di numeri, e di ripetere il ragionamento con ogni coppia di lettere; contando tutte le targhe, i conti tornano).
Il numero richiesto è

12) Il problema è lo stesso di prima, con una minuta differenza.


Le possibili coppie di lettere già le abbiamo contate, sono
Quanto ai numeri: il primo può essere scelto in modi, lo zero è escluso.
Quindi, le possibili cifre in prima posizione sono .
La seconda posizione può essere occupata da tutti e i numeri, a eccezione di quello che già occupa la prima posizione; quindi ancora possibilità.
La terza posizione può essere occupata da numeri, ovvero i disponibili meno i già scelti.
Perciò le configurazioni totali possibili sono

Soluzione alternativa al 2):


Il numero di terne di numeri può essere anche determinato come segue.
Calcoliamo le disposizioni semplici, ovvero ignoriamo la limitazione dello zero non consentito al primo posto.
Si ha che esse sono, come già visto al punto 1,
In realtà, di queste , la decima parte ha "zero" al primo posto, questo è intuibile se immaginiamo di incolonnare tutte le terne sistemando prima tutte quelle che iniziano per zero, poi quelle che iniziano per e così via, fino a .
Appurato che un decimo delle terne inizia per zero, dobbiamo calcolare i restanti nove decimi, ovvero
, a conferma del risultato precedente (resta da moltiplicare per )


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