Il problema dei paradossi nella storia della logica formale



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01.12.2017
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Consideriamo la seguente situazione:



Usiamo gli insiemi …



Ricordiamo che:



Paradosso del barbiere = antinomia di Russell (Bertrand Russell 1902)

    • antinomia = compresenza di due affermazioni contraddittorie (tesi e antitesi) che sono entrambe giustificate, ossia prodotte da un ragionamento corretto
      • p ↔ ┐p (p “se e solo se” non p)


Le antinomie non erano una novità:

    • Le antinomie non erano una novità:
      • il paradosso del mentitore, o di “Epimenide cretese” (scuola megarica, IV-III secolo a.C.)
        • se affermo “io mento”, il mio enunciato è vero se e solo se è falso
      • il dilemma del coccodrillo (scuola stoica, IV-II secolo a.C.)
        • un coccodrillo rapisce un bambino e la madre lo supplica di non divorarlo; il coccodrillo dice alla donna che gli restituirà il figlio solo se lei riuscirà a indovinare la sua reale intenzione di restituirlo o meno; la donna dice “tu non vuoi restituirmelo”, e il coccodrillo non sa più cosa fare perché – a questo punto - non può né tenere il bambino, né restituirlo senza entrare in contraddizione con se stesso …
      • le antinomie della cosmologia razionale (Kant, Critica della ragion pura, 1781)
        • i discorsi sul mondo sviluppati dalla riflessione metafisica danno luogo a coppie di affermazioni reciprocamente contraddittorie sulla verità delle quali non vi è modo di decidere:
          • il mondo ha un limite nel tempo e nello spazio / il mondo è infinito nel tempo e nello spazio
          • tutto nel mondo è fatto di elementi semplici / nulla è semplice, tutto è composto
          • ecc..


NB: differenza tra “paradosso” e “antinomia”

      • le antinomie sono una sottoclasse dei paradossi, i quali sono affermazioni che vanno contro (“parà”) il senso comune (“doxa”);
      • ci sono quindi paradossi che non sono antinomie:
        • i cosiddetti paradossi del “sorite” (da “soros”, che vuol dire “mucchio”), anche detti paradossi dell’induzione
          • paradosso dei granelli di sabbia: un granello di sabbia non è un mucchio di sabbia; due granelli nemmeno; neanche tre … quanti granelli ci vogliono per dire che abbiamo un mucchio di sabbia? La differenza tra mucchio e non mucchio sta in un solo granello in più (o in meno)?!?
          • il Calvo: un uomo che ha perso un capello non è calvo; quando ha perso due capelli, ancora non è calvo; nemmeno quando ne ha persi tre … la differenza tra calvo e non calvo sta in un solo capello in meno (o in più)?!?
        • i sofismi, ossia ragionamenti falsi nella forma, ma di primo acchitto convincenti:


… ma l’antinomia di Russell fu una “bomba” perché emerse all’interno del logicismo:

  • … ma l’antinomia di Russell fu una “bomba” perché emerse all’interno del logicismo:

    • tentativo di provare che
      • tutta la matematica pura utilizza concetti definibili in termini di un numero piccolissimo di concetti logici fondamentali;
      • tutte le proposizioni matematiche fondamentali sono deducibili da un numero piccolissimo di concetti logici di base.
    • Peano, assiomatizzazione dell’aritmetica dei numeri naturali (1899)
    • Hilbert, assiomatizzazione della geometria (1899)
    • Frege, formalizzazione della logica (Ideografia, 1879) e riduzione dell’aritmetica alla logica (1893-1903)
    • Russell e Whitehead, riduzione della matematica alla logica e tentativo di soluzione delle antinomie (Principia Mathematica, 1910-1913)


… ma perché il logicismo?

  • XIX secolo: scoperta delle geometrie non euclidee

    • Riemann e Lobačevskij (varianti del V postulato di Euclide)
    • postulati non veri rispetto allo spazio dell’esperienza ordinaria
    • come si può dimostrare la loro coerenza, ossia escludere che sia possibile dedurre da essi dei teoremi che si contraddicono tra di loro?
      • un insieme di assiomi è coerente se tutte le conclusioni da esso deducibili sono vere
      • poiché lo spazio descritto dai postulati euclidei coincide con l’esperienza ordinaria, nessuno si era mai chiesto prima se quei postulati fossero coerenti
    • come, in generale, si può dimostrare la mutua coerenza di qualunque insieme di assiomi, dato che non è possibile dedurre tutti i teoremi (sono infiniti) per verificarne la verità?
      • universalità e necessità vs probabilità -> il sogno di Leibniz…


Costruzione di “modelli” (interpretazioni del mondo descritto dagli assiomi)

  • Costruzione di “modelli” (interpretazioni del mondo descritto dagli assiomi)

    • con un numero finito di elementi -> consentono di verificare la coerenza degli assiomi (veri rispetto al modello);
    • con un numero infinito di elementi (la maggior parte dei sistemi di assiomi a fondamento dei vari rami della matematica, ad esempio l’aritmetica elementare) -> consentono di osservare solo un numero limitato di elementi
  • Logicismo: se traduciamo tutti i concetti e le regole fondamentali che compaiono negli assiomi matematici in concetti e regole logiche, sarà possibile controllarne facilmente la coerenza.

  • L’antinomia di Russell emerse tentando di formulare in termini logici elementari la teoria delle classi infinite (insiemi) di Cantor (il concetto di “classe” appariva intuitivamente “chiaro” e “distinto”); l’antinomia ha la seguente forma:

    • vi sono classi che non contengono se stesse come elementi (esempio: la classe dei matematici);
    • vi sono classi che contengono se stesse come elementi (esempio: la classe dei concetti astratti);
    • la classe di tutte le classi che non contengono se stesse è o non è elemento di se stessa? (Il paradosso del barbiere …)


L’antinomia di Russell era emersa nel cuore della logica, ossia proprio all’interno dello strumento che doveva risolvere il problema della coerenza degli assiomi.

  • L’antinomia di Russell era emersa nel cuore della logica, ossia proprio all’interno dello strumento che doveva risolvere il problema della coerenza degli assiomi.



La soluzione proposta da Russell:

    • le antinomie nascono dall’autoriferimento (cfr. litografie di Escher)
    • bisogna bandire gli “strani anelli” dalla logica, dalla teoria delle classi e dalla matematica
      • Consideriamo una versione “linguistica” del paradosso del barbiere (paradosso di Grelling):
        • chiamiamo autodescrittivo ogni aggettivo che descrive se stesso (“breve”, “esasillabico”, …)
        • chiamiamo eterodescrittivo ogni aggettivo che non descrive se stesso (“viola”, “commestibile”, … la maggior parte degli aggettivi)
        • l’aggettivo “eterodescrittivo” è eterodescrittivo?


per evitare l’autoriferimento bisogna distinguere il livello dell’uso di un termine da quello della sua “menzione”:

    • per evitare l’autoriferimento bisogna distinguere il livello dell’uso di un termine da quello della sua “menzione”:
      • Chicago è ventosa
        • Il termine è usato: livello del linguaggio-oggetto
      • “Chicago” è trisillaba
      • il metalinguaggio è un linguaggio “di secondo livello” che descrive un altro linguaggio preso come oggetto della descrizione
      • quando i due linguaggi coincidono (uso l’italiano per descrivere l’italiano), si distingue l’uso dalla menzione (segnalata dalle virgolette)
        • non ha senso chiedersi se “Chicago” è ventosa …
        • … come non ha senso chiedersi se “viola” è viola …
        • … e se “eterodescrittivo” è eterodescrittivo?


La teoria dei “tipi d’insiemi”

  • Secondo Russell e Whitehead, bisogna innanzitutto distinguere un livello base in cui si trovano solo “oggetti”, non insiemi;

  • segue quindi un primo livello superiore in cui si trovano insiemi “del tipo 1”: quelli che possono avere come elementi solo “oggetti” del livello più basso, non insiemi;

  • ad un ulteriore metalivello, possono essere formati insiemi “del tipo 2”, ossia insiemi che possono contenere come elementi o insiemi “del tipo 1” o “oggetti” del livello base;

  • ecc …. purché ogni insieme di qualsivoglia tipo successivo contenga come elementi SOLTANTO insiemi di un tipo inferiore al proprio oppure oggetti del livello base, e MAI se stesso o insiemi di tipo superiore al proprio.

    • La formazione di antinomie (“strani anelli”, o “gerarchie aggrovigliate”) viene bloccata con un procedimento normativo – una regola di produzione di “insiemi ben formati”.


“eterodescrittivo” menziona se stesso (ad un meta-livello) come parola di un linguaggio oggetto, ma questo linguaggio-oggetto appare essere a sua volta un metalinguaggio: lo “strano anello” si crea perché non è chiaro a quale livello esso appartenga;

    • “eterodescrittivo” menziona se stesso (ad un meta-livello) come parola di un linguaggio oggetto, ma questo linguaggio-oggetto appare essere a sua volta un metalinguaggio: lo “strano anello” si crea perché non è chiaro a quale livello esso appartenga;
    • considerato come “oggetto” del livello base – cioè al di fuori dell’insieme definito dall’impiego metalinguistico del termine eterodescrittivo -, “eterodescrittivo” può essere – senza contraddizione - autodescrittivo, così come il barbiere è un uomo che può radersi da solo.




Douglas R. Hofstadter, Gödel, Escher e Bach: un’eterna ghirlanda brillante, 1979 (ed. it. Adelphi 1984)

  • Douglas R. Hofstadter, Gödel, Escher e Bach: un’eterna ghirlanda brillante, 1979 (ed. it. Adelphi 1984)

  • E. Nagel e J.R. Newman, La prova di Gödel, 1958 (ed. it. Boringhieri 1974)





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