Il problema dell’uno e dell’unità



Scaricare 45.5 Kb.
03.06.2018
Dimensione del file45.5 Kb.

Il problema dell’uno e dell’unità

Il problema di applicare la matematica alla realtà, che oggi si impone come una delle principali questioni dell’insegnamento scolastico, ha radici filosofiche molto antiche. Intorno al significato della parola “uno” indagarono i pensatori greci e su di ciò rifletté anche, alla fine dell’Ottocento, il logico tedesco Gottlob Frege. È impossibile riassumere le varie opinioni che, nel corso dei secoli, sono state formulate su questo argomento. Ci limiteremo a ricordarne alcune.


Come ricorda Platone nell’omonimo dialogo, il filosofo Parmenide identificava l’uno con la realtà, lo vedeva come un ente che racchiudesse in sé tutto l’esistente, e fosse quindi, allo stesso tempo “uno e molti, intero e parti, limitato e illimitato”, “mobile ed immobile”, identico e diverso, simile e dissimile rispetto a se stesso.

Per Pitagora il cosmo era invece costituito secondo principi basati su tutti i numeri naturali, le coppie di termini antitetici corrispondevano al numero due, il numero sacro per eccellenza era il dieci.

Anche Galilei troverà nei numeri la chiave di lettura dell’universo, essi costituiranno il linguaggio più appropriato per misurare le qualità oggettive delle cose, le loro proprietà intrinseche, indipendenti dalla percezione umana. Galilei pare vivere ancora sotto la suggestione della visione antica del numero come proporzione tra grandezze geometriche, risalente alla matematica babilonese, da cui aveva tratto origine la numerologia pitagorica.
Frege, nei suoi Fondamenti dell’aritmetica, riporta una posizione opposta a quella galileiana:
Opinione contraria di Baumann: secondo lui gli oggetti esterni non rappresentano delle vere unità. Il numero che spetta a un oggetto dipende palesemente dal nostro modo di concepire.

Baumann respinge l’opinione che i numeri siano concetti ricavati dalle cose esterne: “Infatti le cose esterne non presentano alcuna proprietà rigorosa; esse ci danno gruppi separati o punti sensibili, ma questi gruppi e punti possono a loro volta venire considerati come delle nuove molteplicità.” In realtà, mentre nessuno è in grado di modificare sia pure minimamente il colore o la durezza di un oggetto, mutando solo il proprio modo di concepirlo, è invece possibile concepire l’Iliade vuoi come un unico poema, vuoi come ventiquattro canti, vuoi come un gran numero di versi.



Non si parla in modo completamente diverso quando si dice che le foglie di un albero sono 1000 e quando si dice che sono verdi? Il colore verde è da noi attribuito ad ogni singola foglia, mentre così non si può dire del numero 1000. Né la cosa si chiarisce, raggruppando tutte le foglie dell’albero sotto l’unico nome di fogliame: anche questo è verde ma non è 1000. A chi spetta dunque, a rigor di termini, la proprietà 1000? Si direbbe quasi che non spetta né a ogni singola foglia né alla totalità delle foglie; forse non spetta proprio ad alcun oggetto del mondo esterno?

Se consegno ad una persona una pietra, e le dico “determinane il peso”, le ho specificato con queste mie parole tutto l’oggetto della sua ricerca. Se invece le do in mano un mazzo di carte da gioco, e le dico “contalo”, non è chiaro se voglio sapere il numero delle carte che compongono il mazzo, o dei giochi interi di carte in esso contenuti, ovvero quanto valgano queste carte contandone i punti in base alle regole di qualcuno dei giochi più in uso. Dandole in mano il mazzo di carte, non le ho ancora specificato l’oggetto della sua ricerca; devo aggiungere a tale scopo una parola, “carte”, “giochi” o “punti”. Nemmeno è possibile asserire che i diversi numeri stiano qui l’uno accanto all’altro come i diversi colori. Si può infatti additare una superficie colorata, senza aver bisogno di aggiungere alcuna parola per distinguerla dalle altre; invece, per indicare un numero, occorre proprio parlare.

Se un medesimo oggetto può, a pari diritto, venir chiamato verde o rosso, ciò prova nel miglior modo che esso non è, a rigor di termini, il vero portatore né dell’attributo verde né del rosso. L’attributo verde spetta soltanto a una superficie che sia esclusivamente verde. In modo analogo concluderemo che un oggetto, cui a pari diritto possono attribuirsi diversi numeri, non è il vero portatore di alcuno di essi.

C’è quindi una differenza sostanziale fra colore e numero, poiché un dato colore, per esempio l’azzurro, spetta a una superficie indipendentemente dal nostro arbitrio. Il colore è una capacità di riflettere certi raggi luminosi e di assorbirne, in grado maggiore o minore, certi altri; in ciò il nostro modo di concepire non può mutare proprio nulla. Invece non si può affermare che al mazzo di carte da gioco poco fa considerato spetti, in sé stesso, il numero 1 o 100, o un altro numero qualsiasi; gliene spetterà l’uno o l’altro, secondo il nostro modo di concepirlo, e nessuno gli potrà venir attribuito come predicato.”
Salta all’occhio la differenza rispetto a quanto affermato da Galilei ne Il Saggiatore, dove il colore di un oggetto è addotto proprio come esempio di proprietà soggettiva.
Il brano mette in discussione la convinzione galileiana che i numeri riflettano proprietà oggettive delle cose. Questa è la posizione empirista, sostenuta, nel corso dell’Ottocento, da vari filosofi, che vedono nel numero un concetto ottenuto per astrazione dall’osservazione della natura, e che si applica ai nomi degli oggetti come un aggettivo. Tra questi Frege ricorda lo storico della matematica Moritz Cantor (da non confondere col logico Georg Cantor) ed il filosofo ed economista John Stuart Mill, secondo il quale il numero esprimerebbe una caratteristica fisica, poiché, ad esempio, “due mele sono fisicamente diverse da tre”. La sua idea è racchiusa in queste parole:
“Il nome di un numero denota una proprietà, spettante all’aggregato di oggetti, cui attribuiamo tale nome. Questa proprietà è il modo caratteristico secondo cui l’aggregato risulta riunito, o può venire scomposto in parti.”
Frege contesta che il numero, ottenuto contando certi oggetti, si riferisca all’insieme di questi oggetti visto come aggregato. Egli ricorda un esempio di Leibniz, secondo il quale il numero quattro può essere realizzato anche immaginando di contare cose di varia natura, che appartengono a contesti diversi, come Dio, un angelo, un uomo e il movimento. Frege osserva che “vi sono […] diversi modi, nei quali può venire scomposto un aggregato, e non ve n’è alcuno più caratteristico degli altri. Per esempio un fascio di paglia può venire scomposto: o tagliando in due tutti gli steli, o sciogliendo il fascio negli steli che lo costituiscono, o raggruppando questi steli in due fasci più piccoli. Possiamo forse dire che un mucchio di 100 granelli di sabbia risulta riunito come un fascio di 100 steli di paglia? Eppure all’uno e all’altro abbiamo attribuito il medesimo numero.

Nell’espressione “uno stelo di paglia” il numero uno non ci dice proprio nulla circa la composizione di questo stelo a base di cellule o di molecole. Un numero ancor maggiore di difficoltà sorge dallo zero.

Sarà proprio necessario, per contare gli steli di paglia, riunirli in un fascio? È proprio indispensabile, perché abbia senso l’espressione “il numero dei tedeschi ciechi”, raccogliere in un gruppo tutte le persone cieche esistenti in Germania? Dovremo dire che mille granelli di segale, dopo che sono stati seminati, non sono più mille? È noto che si enumerano, senza difficoltà, le varie dimostrazioni di un medesimo teorema, eppure non sembra possibile formare con esse un vero aggregato, nel senso preciso di questo termine. La stessa obiezione si può ripetere per gli eventi, e ciò malgrado essi vengono contati, tanto se sono simultanei, quanto se sono separati da migliaia di anni.”
Contro l’oggettività del concetto di numero Frege adduce anche l’osservazione, basata sull’esempio di Leibniz, e condivisa dal filosofo inglese John Locke, che tale concetto si applica anche agli esseri incorporei ed alle idee astratte. Citando Leibniz, Frege afferma: “Ciò che non ha forza e potenza, non può venir pesato; ciò che non ha parti, non può venir misurato; nulla esiste però che non possa venir contato. Il numero è quindi, per così dire, la figura metafisica.”
Frege ne conclude che il numero non può appartenere al mondo del sensibile, visto che altrimenti non potrebbe avere alcun valore nel mondo del soprasensibile. D’altra parte, noi siamo sicuri che i lati di un triangolo sono tre allo stesso modo in cui siamo sicuri che le figure del sillogismo aristotelico sono tre: e questa seconda certezza non ci può provenire dai sensi.
Ciò non significa che al numero non possa venire riconosciuta un’oggettività. Frege concorda col matematico tedesco Lipschitz nel affermare che il numero non è un fatto psicologico, “né può considerarsi come un risultato di processi psichici, proprio come non può considerarsi tale, per esempio, il mare del Nord. È ovvio che l’oggettività di questo mare non risulta minimamente scossa, per il fatto che è nostro arbitrio tracciare i limiti di quella parte di superficie acquea del globo, cui si vuole attribuire il nome di mare del Nord. Tale arbitrarietà non è un motivo perché si debba studiare il mare del Nord per via psicologica. Così anche il numero è qualcosa di oggettivo. […] Il botanico intende asserire qualcosa di altrettanto effettivo, sia quando accenna al numero dei petali di un fiore, sia quando accenna al colore di essi. L’una cosa non dipende dal nostro arbitrio né più né meno dell’altra. Qui vi è dunque, certamente, una qualche analogia fra numero e colore; ma non per il fatto che numero e colore siano entrambi proprietà degli oggetti percepibili coi sensi bensì per il fatto che sono entrambi oggettivi.

Io faccio una netta distinzione fra ciò che è oggettivo, e ciò che è palpabile, reale e occupa uno spazio. Per esempio, l’asse terrestre e il baricentro del sistema solare sono oggettivi; eppure non potrei dire che sono reali come lo è la terra. Si afferma non di rado che l’equatore è una linea ideale; sarebbe però erroneo asserire che è una linea immaginaria. Essa infatti non viene creata dal pensiero, non è l’effetto di un processo psichico; il pensiero serve soltanto a riconoscerla, ad afferrarla.”
Sostenendo l’oggettività del numero, Frege non può trovarsi d’accordo con Schlömilch, secondo il quale il numero non sarebbe che la rappresentazione mentale del posto occupato da un oggetto in una successione. Accettando questa ipotesi, infatti, il numero, e con esso tutta l’aritmetica, diverrebbero i frutti di un atto psicologico soggettivo.

Convinto assertore dell’oggettività degli enti matematici era Cartesio. Citiamo il pensiero da lui espresso sulla natura del triangolo in una delle sue opere filosofiche, le Meditationes de prima philosophia:


“Immagino un triangolo, malgrado questa figura magari non esista e non sia mai esistita nel mondo esterno al mio pensiero. Ciononostante questa figura ha una certa natura o forma o essenza determinata che è immutabile ed eterna, e che io non ho inventato e che in nessun modo dipende dalla mia mente. Ciò è evidente, perché io posso dimostrare varie proprietà del triangolo, per esempio che i suoi tre angoli interni sono complessivamente uguali a due angoli retti, che l’angolo maggiore è opposto al lato maggiore, e così via. Che io lo voglia o no, riconosco in maniera molto chiara ed evidente che queste proprietà sono nel triangolo benché io non vi abbia mai pensato prima, e anche se questa è la prima volta che immagino un triangolo. Tuttavia, nessuno può dire che io le abbia inventate o immaginate.”
Quella che Cartesio descrive in questo brano è, essenzialmente, l’idea di triangolo come la concepiva Platone.
Facciamo ora un passo indietro, torniamo al problema del significato di “uno” e di “unità”. Queste due nozioni appaiono confuse in Euclide, che sembra non porsi il problema di distinguere tra il numero “uno” ed i singoli oggetti che nell’atto del contare vengono considerati come “unità”. Difficile definire la proprietà in base alla quale, dovendo contare due gatti, ciascuno di essi viene riconosciuto come “uno”. L’“unità” dovrebbe in ogni caso essere una proprietà comune ai due gatti, che prescinde da tutte le loro differenze individuali, ad esempio dal fatto che uno è nero e l’altro bianco. Ma l’unità non può essere definita su questa base, perché anche la “gattità” è una proprietà di questo tipo. E d’altra parte, nel concetto di “gattità” i due gatti risultano unificati, sono uno e non due.
È quindi, paradossalmente, proprio la diversità tra due oggetti ad individuarli come unità da contare separatamente: l’aveva detto già Descartes. Diversità può significare anche solo separazione nello spazio o nel tempo: così le sbarre di un cancello, pur apparendo praticamente identiche, possono essere considerate singole unità.

D’altra parte, se le unità sono sempre diverse tra loro, come osserva Jevons, si pone un problema sostanziale per l’aritmetica:


Allorché scrivo il simbolo 5, penso in realtà
1 + 1 + 1 + 1 + 1
ed è assolutamente fuori dubbio che ciascuna di queste unità è diversa dalle altre. Volendo essere preciso potrei scrivere
1' + 1'' + 1''' + 1'''' + 1'''''.”
E Frege:
è per certo necessario denotarle in modo diverso l’una dall’altra, se esse sono davvero diverse fra loro; altrimenti ne nascerebbe la più grande confusione. Ché, se bastasse il diverso posto occupato dai vari segni 1 a denotare questa diversità, bisognerebbe stabilirlo in forma ben chiara come regola senza eccezione; in caso contrario non si saprebbe se 1+1 debba significare 2 ovvero 1. Ammessa una tale regola, si dovrebbe però respingere l’uguaglianza 1=1, e si cadrebbe nella difficoltà di non poter mai indicare due volte di seguito la stessa cosa. Dunque la regola anzidetta non è ammissibile. Se ora si vuole stabilire che cose diverse vadano indicate con segni diversi, non si comprende più per quale motivo i segni suggeriti da Jevons mantengano una parte fondamentale comune; cioè non si comprende perché in luogo di
1' + 1'' + 1''' + 1'''' + 1'''''
non si preferisca scrivere
a + b + c + d + e.
L’uguaglianza fu invero perduta una volta per sempre, e l’accenno a una certa rassomiglianza, non giova a nulla. Ma così l’unità ci sfugge dalle mani, e in luogo di essa rimangono i vari oggetti con tutte le loro particolarità.

Concludendo: i segni
1', 1'', 1''', ecc.,
non sono altro che un’espressione parlante dell’imbarazzo in cui ci troviamo. Da un lato infatti ci occorre l’uguaglianza, e perciò usiamo il segno 1; dall’altro ci occorre la diversità, e perciò usiamo gli indici; questi però tornano purtroppo a distruggere l’uguaglianza precedente.”
C’è da dire che la definizione dell’unità che abbiamo dato sopra è di carattere relativo: un gatto è uno rispetto ad un altro gatto. Resta il problema di come riconoscere il singolo gatto come “unità” quando è solo. A questa domanda molti hanno risposto che unitario è ciò che appare indiviso, o, addirittura, indivisibile. Inutile obiettare che tale criterio, che forse è accettabile nel caso del gatto, è di certo insostenibile di fronte ad oggetti che siano composti di più parti staccabili o separate. Si potrebbe allora chiamare in soccorso la similitudine tra i pezzi che compongono l’unità (ad esempio le carte di un mazzo, i capelli di una chioma, ecc). Ma la similitudine non è uguaglianza, è pur sempre diversità, come quella tra le sbarre di un cancello. E allora? Il problema resta aperto.
(cit. da G. Frege, I fondamenti dell’aritmetica, in: Logica ed aritmetica, a cura di C. Mangione, Boringhieri, Torino 1977)
La definizione di numero negli Elementi di Euclide

Il numero secondo Cantor


Condividi con i tuoi amici:


©astratto.info 2019
invia messaggio

    Pagina principale