In ogni situazione che abbiamo vissuto, IL dibattito iniziava sempre con una discussione sui temi da inserire



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24.01.2018
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Da molte parti in occidente, Italia compresa, si levano voci a sottolineare la pericolosità della situazione scolastica per quanto riguarda l’apprendimento delle scienze in generale e della matematica in particolare. La matematica non è un dono di qualcuno a qualcun altro, ma una conquista personale (Enriques): è necessario prendere atto che il tipo di approccio che di fatto ha costituito la continuità didattica in matematica negli anni passati è arrivato a mostrare i suoi limiti. Occorre sostituire a una “continuità didattica” basata sull’approccio alla matematica come scienza esaustiva, completa, formale e sintattica, trasmessa già univocamente e definitivamente strutturata, una continuità che trovi i suoi punti fermi in un approccio più significativo, legato alla semantica oltre che alla sintassi, costruttivo e coinvolgente.

La matematica è (come appare ovvio… almeno a chi ci lavora) una scienza viva che però, paradossalmente, tende a produrre, quando raggiunge il livello dell’insegnamento-apprendimento formale, delle teorie morte (CREM, 1999). L’idea della matematica come “scienza morta” è tuttora molto diffusa nella cultura (e purtroppo anche nella didattica). Essa è però inevitabilmente destinata a produrre negli studenti convinzioni distorte sulla materia e di conseguenza distorsioni nell’apprendimento stesso: la matematica viene percepita come pura forma e astrazione e le sue applicazioni come rigide risposte (di cui spesso non si comprende la motivazione) a situazioni standard. In altra sede (Piochi, 2000) abbiamo riportato vari esempi, riferiti a diversi ordini di scuola, tratti dalla letteratura sulla ricerca in didattica della matematica. Le considerazioni che gli esempi suggeriscono sugli effetti della corrispondente pratica didattica sono perfettamente confermate dalle frasi dei maturandi studiate nella ricerca a cura dell’IRRSAE Toscana sui temi dell’esame di Maturità del 1996 (Cattabrini e Di Paola, 1997).

Quale curriculum ?


In innumerevoli dibattiti, corsi o convegni a cui abbiamo preso parte, il dibattito fra insegnanti iniziava sempre con una discussione sui temi da inserire (o da eliminare) in un ideale curriculum di Matematica e finiva invariabilmente per concentrarsi non sul cosa ma sul come proporre i diversi argomenti e sulla importanza da attribuire a ciascuno di loro. Infatti sembra relativamente semplice proporre delle tracce di curricoli di apprendimento matematico, siano esse oggetto di Indicazioni ministeriali oppure di studio da parte di associazioni professionali, come l’Unione Matematica Italiana, ai cui documenti (UMI-CIIM, 2001 e successivi) faremo riferimento abbondantemente.

Questo è vero non soltanto per l’Italia. Una commissione della European Mathematical Society (EMS) ha lavorato per vari anni allo scopo di raccogliere i “dati strutturali sulle varie situazioni di insegnamento nei paesi esaminati, con particolare rilievo alle questioni, di qualsivoglia natura, che potevano maggiormente incidere sull’insegnamento della matematica, […] descritta ‘ingombrante ma ineludibile in ogni curriculum’ per il posto che essa occupa nella cultura quotidiana per il cittadino comune e per l’impatto che la ‘modellizzazione’ e la ‘scelta decisionale’ hanno assunto per ogni scienziato […] Le big ideas evidenziate come strutture portanti dei vari curricula dalla commissione education della EMS, ovvero Numbers and quantities, Shape and forms, Relationship, Incertainty, sono esattamente le stesse dei nuclei fondanti individuati dall’UMI [Unione Matematica Italiana]” (Anichini, 2001)

Rimandando ai volumi citati in bibliografia il lettore che voglia conoscere percorsi più dettagliati e esempi di attività, riportiamo qui la griglia di tematiche da trattare suggerite dall’UMI e che sostanzialmente hanno appunto consonanza sia con i documenti internazionali sia con le recenti Indicazioni Ministeriali. Il documento dell’UMI indica infatti le competenze significative su quelli che sono ritenuti i nuclei fondanti del sapere matematico; essi sono divisi in


  • nuclei tematici, i quali caratterizzano i contenuti dell’educazione matematica nella scuola di base (il numero, lo spazio e le figure, le relazioni, i dati e le previsioni) e dovranno comunque essere sviluppati in modo coordinato e con collegamenti interni e ad altre discipline

  • nuclei trasversali, centrati sui processi degli allievi (misurare, argomentare e congetturare, risolvere e porsi problemi). “Il primo consente un approccio corporeo ed esperienziale alle grandezze, in collegamento con le scienze, per ricavare relazioni tra le grandezze esperite e costruire modelli di fenomeni studiati; il secondo caratterizza le attività che favoriscono il passaggio dalle nozioni intuitive e dai livelli operativi a forme di pensiero più avanzate che, nella scuola superiore, saranno coinvolte nella dimostrazione matematica, nel calcolo algebrico, nell’uso di modelli matematici in contesti vari; il terzo offre occasioni importanti agli allievi per costruire nuovi concetti e abilità, per arricchire di significati concetti già appresi e per verificare l’operatività degli apprendimenti realizzati in precedenza” (UMI-CIIM, 2001).


Perché si insegna la Matematica?

L’uniformità sopra ricordata, sia internazionale che nazionale, relativa ai “titoli” dei diversi capitoli si riduce notevolmente se invece si guarda alle modalità di proposta ed al “peso specifico”, alla rilevanza da attribuire ad ognuno di essi. Per trovare una chiave di lettura corretta occorre dunque prioritariamente chiedersi quale sia il senso di insegnare matematica oggi e in che modo essa possa contribuire alla formazione degli studenti e dei cittadini in genere, anche alla luce di alcune riflessioni sui cambiamenti sociali in atto.

Già i Programmi per la Scuola Elementare del 1985 mettevano in luce il compito dell’educazione matematica di “contribuire alla formazione del pensiero nei suoi vari aspetti: di intuizione, di immaginazione, di progettazione, di ipotesi e deduzione, di controllo e quindi di verifica o smentita”, sviluppando “in modo specifico, concetti, metodi e atteggiamenti utili a produrre le capacità di ordinare, quantificare e misurare fatti e fenomeni della realtà e a formare le abilità necessarie per interpretarla criticamente e per intervenire consapevolmente su di essa".

Secondo l’UMI “l’educazione matematica deve contribuire, insieme con tutte le altre discipline, alla formazione culturale del cittadino, in modo da consentirgli di partecipare alla vita sociale con consapevolezza e capacità critica. La formazione del curricolo scolastico non può prescindere dal considerare sia la funzione strumentale, sia quella culturale della matematica: […] priva del suo carattere strumentale, la matematica sarebbe un puro gioco di segni senza significato; senza una visione globale, essa diventerebbe una serie di ricette prive di metodo e di giustificazione”. E le recenti Indicazioni Ministeriali ricordano che “la matematica dà strumenti per la descrizione scientifica del mondo e per affrontare problemi utili nella vita quotidiana; inoltre contribuisce a sviluppare la capacità di comunicare e discutere, di argomentare in modo corretto, di comprendere i punti di vista e le argomentazioni degli altri.” (Indicazioni Ministeriali 2007).

Dunque l’insegnamento della Matematica va ben al di là della proposta di pure tecniche, ha una profonda valenza culturale e sociale, è una delle chiavi con cui si potrà rispondere ai bisogni di conoscenza e democrazia nella società. Il modo di insegnare Matematica deve allora essere determinato non solo dalla struttura interna delle conoscenze matematiche, ma anche dalla necessità di contribuire a obiettivi educativi generali, vincolati allo sviluppo di capacità cognitive.




Metacognizione e approccio laboratoriale


L’acquisizione della conoscenza matematica, l’apprendimento del metodo per potersi avvalere delle sue potenzialità, è un processo lento, laborioso, che deve avviarsi proprio nella scuola di base e il cui inizio non può che essere una prolungata attività su elementi concreti, esaminati, discussi, rappresentati in forme adeguate al livello di maturazione e conoscenza di ciascuno. Dunque la costruzione di competenze matematiche va perseguita in opportuni campi di esperienza, ricchi e motivanti, che permettano agli studenti esperienze cognitive significative, consonanti con quelle esperite in altri contesti: linguistici, storici, sperimentali, motori, figurativi e ludici. In tal modo l'uso del linguaggio e del ragionamento matematico si porranno naturalmente come strumenti per l'interpretazione del reale e non come bagaglio astratto di nozioni.

Il processo che conduce a “pensare matematicamente” può però essere attivato dall’insegnante solo se gli alunni sono chiamati ad essere protagonisti del proprio apprendimento ed a sua volta questo è possibile solo ove essi siano messi di fronte a situazioni per loro significative e stimolanti, che pongano dei problemi e provochino il desiderio di risolverli.

Occorre riuscire a realizzare una proposta, che soprattutto proponga un metodo, mettendo in primo piano la componente metacognitiva dell’apprendimento, accanto a quella cognitiva e che coinvolga l’allievo in una serie di scoperte e riflessioni collegate ai concetti e alle competenze proposte. Gli allievi devono essere incoraggiati, stimolati, invitati ad una continua verbalizzazione di idee, intuizioni e proposte: bisogna rimuovere la convinzione (erronea !) che fare matematica consista nel trovare l’unica soluzione corretta e che questa vada trovata, fuggendo (o comunque nascondendo col bianchetto) gli errori, mediante l’applicazione di procedimenti standard e formule di cui l’insegnante è depositario.

La classe deve vivere dunque a tutti gli effetti il clima un “laboratorio”1 dove è lecito, anzi è apprezzato esporre a tutti le proprie idee, giuste o sbagliate che si rivelino, in una situazione di rispetto, condivisione e ascolto; lavorando così, non passa molto tempo prima che davvero si scopra come la frase o la proposta apparentemente stravagante di qualcuno (non di rado uno dei non-considerati, proprio perché dotato di una capacità di pensiero divergente) può essere davvero la chiave per far compiere a tutti un passo avanti. È chiaro come questo sia, fra l’altro, un modo ideale di superare nella pratica quotidiana il dilemma integrazione-differenza: piuttosto che guardare alle debolezze concentriamoci sulle forze e sfruttiamo il fatto che esse sono diverse in bambini diversi (Pertichino e Piochi, 2000).



Cambiamenti sociali e conseguenze didattiche


Alcune capacità matematiche, ritenute centrali e irrinunciabili fino a ieri (e forse ancora oggi, almeno a giudicare da prove e test assai diffusi), sono state di fatto negli ultimi anni prepotentemente marginalizzate dall’avvento di strumenti automatici di calcolo. Riprendendo un recente articolo di Villani citiamo il saper effettuare diligentemente calcoli faticosi e complicati: numerici, trigonometrici, di derivate e integrali, ecc.; saper “studiare una funzione” con procedimenti standard;... Si sente invece sempre più il bisogno di educare studenti capaci di modellizzare situazioni, controllare la sensatezza dei risultati dei calcoli effettuati con l’uso degli strumenti, interpretare grafici o dati statistici, stimare ordini di grandezza,...

Ma ci sono segnali anche più generali. Una serie di riflessioni sociologiche ancora sostanzialmente unanimi ci danno ulteriori tracce di riflessione, a partire dai mutamenti degli ultimi anni nelle società occidentali. “In un tempo molto breve, abbiamo vissuto il passaggio da una società relativamente stabile a una società caratterizzata da molteplici cambiamenti e discontinuità. Gli ambienti in cui la scuola è immersa sono più ricchi di stimoli culturali, ma anche più contraddittori. L’orizzonte territoriale della scuola si allarga. Anche ogni singola persona, nella sua esperienza quotidiana, deve tener conto di informazioni sempre più numerose ed eterogenee e si confronta con la pluralità delle culture. La diffusione delle tecnologie di informazione e di comunicazione, insieme a grandi opportunità, rischia di introdurre anche serie penalizzazioni nelle possibilità di espressione di chi non ha ancora accesso a tali tecnologie.

Ogni persona si trova ricorrentemente nella necessità di riorganizzare e reinventare i propri saperi, le proprie competenze e persino il proprio stesso lavoro. Le tecniche e le competenze diventano obsolete nel volgere di pochi anni. Le trasmissioni standardizzate e normative delle conoscenze, che comunicano contenuti invarianti pensati per individui medi, non sono più adeguate” (Indicazioni Ministeriali 2007)

In tale scenario, occorre offrire agli studenti occasioni di apprendimento dei saperi e dei linguaggi culturali di base, nonché gli strumenti di pensiero necessari per apprendere a selezionare le informazioni. Promuovere negli studenti la capacità di elaborare metodi e categorie che siano in grado di fare da bussola negli itinerari personali significa favorirne l’autonomia di pensiero, orientando la didattica alla costruzione di saperi a partire da concreti bisogni.

La scuola deve dunque porre le basi del percorso formativo dei bambini e degli adolescenti sapendo che esso proseguirà in tutte le fasi successive della vita. Dovremo aiutare a elaborare gli strumenti di conoscenza necessari per comprendere i contesti naturali, sociali, culturali, antropologici nei quali gli studenti si troveranno a vivere e a operare. Questo vale per ogni disciplina, dunque anche per la matematica per la quale i processi in atto invitano a spostare l’attenzione da alcuni oggetti “classici” ad altri non sempre sufficientemente curati. Una riflessione immediata ci porta a scoprire molti aspetti in comune con le tematiche che citavamo più sopra, invitandoci a ricalibrare il “focus” dell’insegnamento:
da Abilità di calcolo scritto a Calcolo orale

Calcolo automatico

“ Studio di figure standard “ Riconoscimento di figure dinamiche e

non standard e studio delle loro proprietà

“ Studio di definizioni e formule “ Appropriazione di un linguaggio

Ragionamento

“ Memorizzazione e riproduzione “ Metacognizione

di procedure standard Elaborazione di ipotesi e loro verifica

Generalizzazione

“ “Risolvere i problemi” (del “ Modellizzazione

libro di testo) Problem posing e Problem solving2

L‘insegnante come modello di apprendimento

Gli stessi insegnanti devono porsi come modelli di apprendimento metacognitivo, abituandosi a mettersi in gioco “senza rete”, forti di un atteggiamento personale, di un metodo di lavoro, più che di conoscenze acquisite e memorizzate una volta per tutte. “L’insegnante che voglia operare secondo queste linee non dovrà aver timore di dire ‘ho sbagliato’, ‘non lo so neppure io’, ‘forse hai ragione tu’ ma soprattutto dovrà imparare a dire ‘cerchiamo insieme’, ognuno dell’ambito del proprio ruolo e delle proprie conoscenze e competenze” (Cambi et al., 2001).

D’altronde le competenze, strumentale e culturale, costituiscono inevitabilmente obiettivi di lungo termine, cosicché si pone la necessità di una didattica su tempi lunghi e di graduale assimilazione. Si avvia una costruzione nella scuola di base, prevedendo di ritornare più volte sugli argomenti, via via approfondendoli. attraversando salti cognitivi e periodi di approfondimento e sistematizzazione. Occorre che l’insegnante si permetta di non farsi prendere dalla fretta, che non tema di “perdere tempo” tornando su temi già affrontati, che imposti la propria proposta attorno a delle attività anche di lungo respiro.

Solo così ogni allievo troverà la propria strada adeguata per fare propri i concetti proposti, costruire quelle mappe che aiutino la generazione dei futuri cittadini a orientare il proprio movimento all’interno di un territorio inevitabilmente diverso da quello a cui oggi noi adulti siamo abituati: questo il senso e la sfida del costruire un curriculo. “Tanto inutile e grottesco è il ristare impettito di tante muraglie avvitate su un confine che non esiste, quanto utile sarebbe piuttosto un intelligente navigare nella corrente, capace ancora di rotta, e di sapienza marinara. […] Essere capaci di decidere […] i legami che non vogliamo spezzare, le radici che non vogliamo perdere, le parole che vorremmo ancora sempre pronunciare, e le idee che non vogliamo smettere di pensare” (Baricco, 2006).

Riferimenti bibliografici


G. Anichini, 2001, I curricoli in Europa. Un progetto dell’European Mathematical Society (EMS), in Atti del XXVII Convegno Nazionale sull’Insegnamento della matematica, Ischia, 15-17 Novembre 2001

A. Baricco, I barbari. Saggio sulla mutazione, Milano, Feltrinelli, 2006

F. Cambi, C. Carboncini, U. Cattabrini, B. Piochi (a cura di), L’arcipelago dei saperi II, Area Matematica, Firenze, Le Monnier, 2001

U. Cattabrini e V. Di Paola (a cura di), Matematica e poesia: un tema difficile ?, Firenze, IRRSAE Toscana, 1997

A. Contardi e B. Piochi (a cura di), Le difficoltà in matematica. Metodologia e pratica di insegnamento, Trento, Erickson, 2002

CREM, La matematica dalla materna ai 18 anni, (ed. ital.) , Bologna, Pitagora Ed. , 1999

G. Kanizsa, Il ‘problem solving’ nella psicologia della gestalt, in Mosconi G. e D'Urso V., La soluzione dei problemi, Firenze, Giunti Barbera, 1973

M. Piscitelli, B. Piochi, S. Chesi, C. Mugnai, Idee per il curricolo verticale, Napoli, Tecnodid, 2001

I. Casaglia, M. Piscitelli, B. Piochi, Proposte per il curricolo verticale, Napoli, Tecnodid, 2007

M. Pertichino e B. Piochi, Il caso italiano in Europa. La matematica fra integrazione e individualizzazione, in AA.VV., Interdisciplinarietà e integrazione, Bologna, Pitagora, 2000

B. Piochi, L'insegnamento della Matematica, “Insegnare” , 2000, 4, 42-46

UMI-CIIM, Matematica 2001, Materiali per il XXVII Convegno Nazionale sull’Insegnamento della matematica, Ischia, 15-17 Novembre 2001


R. Zan, Difficoltà in matematica, Springer Verlag 2006


1 “Sarà fondamentale il laboratorio di matematica, che permetterà agli allievi non solo di eseguire ma anche di progettare, discutere, fare ipotesi, costruire e manipolare con materiali diversi, sperimentare e controllare la validità delle ipotesi fatte.” (dalle Indicazioni Nazionali, 2007)

2 Una precisazione va data a questo proposito, poiché non si tratta di questione puramente nominale. Il termine “problema” nella prassi didattica ha assunto una connotazione ambigua. Solitamente infatti i testi scolastici designano così una serie di esercizi (standard, spesso molto simili fra loro, costruiti in serie). Invece, secondo la classica definizione psicologica di orientamento gestaltista, “un problema nasce quando un essere vivente, motivato a raggiungere una meta, non può farlo in forma automatica o meccanica, cioè mediante un’attività istintiva o attraverso un comportamento appreso. L’esistenza di una motivazione e la presenza, nella situazione problematica, di un impedimento che non permette l’azione diretta creano uno stato di squilibrio e di tensione nel campo cognitivo di un individuo spingendolo ad agire per ricostruire l’equilibrio” (Kanitza, 1973). E’ a questi problemi che vale la pena di dare spazio; si possono però utilizzare efficacemente anche gli esercizi proposti dal libro di testo purché se ne faccia oggetto di attività appositamente organizzate: si veda (Casaglia, Piscitelli, Piochi 2007) per un approfondimento sul tema.

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