Indice, a si chiama radicando



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31.01.2018
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RADICALI
L’estrazione di radice è l’operazione inversa dell’elevamento a potenza.

Per definizione:



Il numero n si chiama indice, a si chiama radicando.

Se l’indice è pari, il radicando deve essere sempre positivo. Se l’indice è dispari, il radicando può essere positivo o negativo.

Esempi:


  • poiché

  • poiché

  • poiché

  • non esiste in campo reale , infatti in R non può esistere alcun numero che elevato al quadrato dà risultato negativo.

Riepilogando:

- Un radicale di indice dispari ammette sempre un valore reale che ha lo stesso segno del radicando.

- Un radicale di indice pari ammette due valori reli e opposti oppure nessuno a secondo che il radicando è positivo o negativo.
Non sempre è possibile l’estrazione di radice, per esempio non è possibile estrarre la , infatti non esiste alcun numero che elevato al quadrato ci dà 7. I radicali di questo tipo si chiamano numeri irrazionali.

I numeri irrazionali sono numeri decimali illimitati e non periodici.

Esempi di numeri irrazionali:



= 3,141592653………. = 3,605551………. = 1,709975947……….
Esempi di numeri razionali:

=3 = = 1,5

L’insieme dei numeri razionali e irrazionali costituisce il campo dei numeri reali.

RADICALI SIMILI

Due o più radicali si dicono simili quando hanno lo stesso radicando e lo stesso indice.


POTENZA DI UN RADICALE

Per elevare a potenza un radicale basta elevare a potenza il radicando.

Esempi:





SEMPLIFICAZIONE DI RADICALI

Per semplificare un radicale, o renderlo irriducibile, basta dividere l’indice del radicale e l’esponente del radicando per il loro m.c.m.

Esempi:







Proprietà invariantiva

Il valore di un radicale non cambia moltiplicando o dividendo l’indice del radicale e l’esponente del radicando per uno stesso numero.

Esempio:


  • ecc…..

RIDUZIONE ALLO STESSO INDICE

Basta trovare il m.c.m. degli indici e poi applicare le proprietà note.

Esempio:


Ridurre al minimo comune indice i radicali

; ;

Otterremo: ; ;


TRASPORTO DENTRO IL SEGNO DI RADICE

Per trasportare dentro il segno di radice un fattore esterno, basta elevare questo fattore alla potenza dell’indice di radice.

Esempi:


  • =

  • =

  • =

TRASPORTO FUORI DAL SEGNO DI RADICE

Per trasportare de fattori fuori dal segno di radice conviene spezzare la radice in più radici.

Esempi:


  • = = = =

  • =

MOLTIPLICAZIONE E DIVISIONE DI RADICALI

Si possono moltiplicare o dividere radicali che hanno lo stesso indice semplicemente includendo i radicandi in un’unica radice. Se gli indici non sono uguali, si devono rendere tali.

Esempio:


  • = = =

SOMMA ALGEBRICA DI RADICALI

Più radicali si possono sommare solo quando sono simili. La loro somma avrà come radicale lo stesso radicale e come coefficiente la somma dei coefficienti.

Esempio:


  • = =

RADICE DI RADICE

La radice di una radice è una nuova radice che ha per radicando lo stesso radicando e per indice il prodotto degli indici.

Esempio:


  • = =

Se ci sono dei fattori tra una radice e l’altra, prima di sviluppare la radice di radice bisogna trascinare questi fattori nelle radici più interne.

Esempi:


  • = =

  • = = = =

POTENZE CON ESPONENTE FRAZIONARIO

Qualsiasi radicale si può esprimere sotto forma di potenza ad esponente frazionario, cioè =

In pratica in una espressione si possono trasformare così tutti i radicali e poi risolvere l’espressione semplicemente applicando le proprietà delle potenze.

Esempio:


  • = = = = = = =

RADICALI DOPPI

Dicesi radicale doppio ogni espressione del tipo .

Ogni radicale doppio è spezzabile nella somma (o differenza) di due radici semplici se e solo se a2-b è un quadrato perfetto.



Formule

= +

= -

Esempi:


= + = +

  • = ed essendo = = = si avrà :

= - = = =


RAZIONALIZZAZIONE

Razionalizzare significa trasformare una frazione contenente una o più radici al denominatore in una frazione equivalente non contenente radici al denominatore.



I°caso (denominatore con un’unica radice)

Esempi:




  • =

  • = = = =

  • = = =

2°caso (denominatore con somma algebrica di due radicali quadratici)

Si sfrutta la conoscenza del prodotto notevole (a+b)(a-b) = a2-b2

Esempi:


  • = = = =

  • = = =

Altri casi

Nel caso in cui al denominatore ci sia somma o differenza di radicali cubici, si sfrutta la conoscenza dei prodotti notevoli:



(a+b)(a2-ab+b2) = a3-b3

(a-b)(a2+ab+b2) = a3+b3

Nel caso in cui al denominatore ci sia un trinomio o un quadrinomio, con l’uso delle parentesi si trasforma trinomio o quadrinomio in binomio, dopo di che si procede come negli esempi precedenti.




Prof. Rosa Anna Bruzzese I radicali





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