Istituzioni di analisi superiore 1° modulo



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ISTITUZIONI DI ANALISI, laurea specialistica

a. a. 2007/2008

PROGRAMMA D'ESAME
1) Spazi metrici e spazi normati. Punti fissi di contrazioni. Operatori lineari. Equazioni integrali.
Distanze, norme, disuguaglianze di Young, Hölder, Minkowski. Spazi di Banach. Completezza di C(K). Il teorema sul punto fisso delle contrazioni di Banach-Caccioppoli. Operatori lineari limitati. Lo spazio L(X;Y) e la sua completezza. Inverso di un operatore limitato. Serie di Neumann. G(X,Y) è aperto. L'applicazione i(A)=A-1 è continua. Equazioni integrali in C([a,b]): applicazione del teorema delle contrazioni e caso dei nuclei separabili. Il teorema fondamentale di esistenza e unicità locale per il problema di Cauchy.
2) Spazi di Hilbert
Forme sesquilineari Hermitiane definite positive. Disuguaglianza di Schwarz. Spazi preHilbertiani e spazi di Hilbert. Identità della mediana. Proiezioni su un convesso e disuguaglianze variazionali. Proiezione ortogonale su un sottospazio. Sistemi e basi ortonormali. Serie di Fourier generalizzate: disuguaglianza di Bessel, convergenza, completezza. Teorema di rappresentazione di Riesz.
3) Autovalori e autofunzioni di operatori autoagginti compatti.
Operatori compatti in spazi di Banach: l’ideale bilatero chiuso K(X).

Caratterizzazione variazionale dell’autovalore di modulo massimo. La successione degli auto valori non nulli. Il sistema ortonormale delle autofunzioni. Completezza nell’immagine.


4) Funzioni continue
Il teorema di Stone-Weierstrass e quello di Kakutani-Krein. Risultati di approssimazione polinomiale e trigonometrica. Reticoli finiti e limitazione totale. Teorema di Ascoli-Arzelà. Teorema di Peano e metodo di Tonelli.
5) I teoremi fondamentali dell'Analisi funzionale
Insiemi rari e magri; spazi di Baire e proprietà generiche. Uno spazio metrico completo è uno spazio di Baire. Il teorema di uniforme limitatezza. Convergenza forte di operatori lineari. Il teorema dell'applicazione aperta. Il teorema del grafico chiuso. Il teorema di Hahn-Banach (forma analitica) e l'estensione di funzionali lineari continui. Cenni sugli spazi localmente convessi, sulle topologie deboli e deboli* .
6) Misura e integrazione.
Spazi di misura. Funzioni misurabili a valori reali: criteri di misurabilità, operazioni algebriche, limiti puntuali. Misure complete e proprietà vere q.o. Teorema di Egorov (senza dimostrazione). Convergenza in misura (definizione ed enunciati). Funzioni semplici e loro integrali. Integrale di Lebesgue astratto: definizione, proprietà elementari, sigma-additività, assoluta continuità. Teoremi sulla convergenza: teorema di Lebesgue, di Beppo-Levi ed enunciato del teorema di Fatou. Definizione dello spazio L1(X, A,) e sua completezza. Convergenza in L1 e convergenza in misura. Cenni sull’estensione di misure (definizione ed enunciati, sigma-subadditività della misura esterna). Enunciato dei teoremi di Fubini e Tonelli. Cenni sugli spazi Lp. Misure regolari e densità di funzioni continue.


L’esame prevede soltanto una prova orale.
Il professore ufficiale del corso

Angelo Negro


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