La cartografia



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26.01.2018
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La cartografia

Il desiderio di rappresentare sulla carta i luoghi terrestri conosciuti è antico quanto l’uomo: se ne possono trovare chiare tracce nella storia della civiltà egizia, nella mitologia greca, nella Bibbia. Il primo tentativo documentato di disegnare una mappa dell’ecumene, quello che allora veniva considerato il mondo abitato, è dovuto al filosofo presocratico Anassimandro da Mileto (610-546 a.C.), appartenente alla scuola di Talete, che propone il primo esempio di applicazione alla cartografia della proiezione centrografica o gnomonica, che veniva originariamente utilizzata per le meridiane solari. Essa veniva applicata per le mappe di piccole regioni: si immaginava di proiettare la superficie terrestre dal centro della Terra su di un piano tangente in un punto della regione considerata.



Piano tangente nel Polo Nord


Piano tangente in un punto dell’equatore


È evidente la distorsione nelle zone lontane dal punto di tangenza
Pare che anche Eudosso di Cnido, nel secolo IV a.C., abbia realizzato tavole geografiche. Intorno al 300 a.C, comparvero i paralleli e i meridiani. Ad introdurli fu il messinese Dicearco (sec. IV a.C.) che ebbe l’idea di tracciare una linea da oriente a occidente, da lui chiamata diaframma, che suddivideva il mappamondo in due parti uguali. Questo antenato dell’equatore passava per Rodi. E per Rodi passava un’altra linea retta, perpendicolare, quella che noi chiameremmo meridiano 0, che doveva formare con l’equatore una sorta di sistema di coordinate. L’unità di misura era lo stadio olimpico. Parmenide fu invece il primo a suddividere la Terra in cinque zone, delimitate dalle linee che costituiscono, rispettivamente, l’equatore, i tropici ed i circoli polari.

Il matematico alessandrino Eratostene trasse da ciò lo spunto per cercare di acquisire conoscenze più accurate sulle reali dimensioni della Terra, basate in parte sui racconti dei viaggiatori, in parte su osservazioni astronomiche. Poiché il valore della circonferenza terrestre da lui calcolato superava l’estensione delle terre allora conosciute, concluse che il resto del globo dovesse essere coperto da una vasta distesa marina, che egli battezzò Oceano Atlantico.


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l mondo abitabile secondo Eratostene (ricostruito da K. Miller)

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metodi di misurazione terrestre furono progressivamente perfezionati sino all’avvento dell’era cristiana, che vide le prime opere monumentali. Intorno all’anno 1 lo scrittore greco Strabone compose la sua Geografia in 17 libri.

Le terre abitate secondo Strabone


Occorre aspettare un altro secolo per vedere tavole composte secondo un criterio matematico preciso: sono quelle di Marino di Tiro (andate perdute), il primo a ricorrere ad una proiezione piana in cui i meridiani ed i paralleli vengono riprodotti come linee perpendicolari ed equidistanti. Si tratta della proiezione cilindrica equidistante:




Altre innovazioni portate da Marino sono la scelta delle attuali Isole Canarie come origine dei meridiani, e la misura della longitudine in ore. Un’ora corrisponde a 15° gradi trigonometrici. L’idea di sostituire alle distanze espresse in stadi le ampiezze dei corrispondenti angoli al centro era stata formulata già da Ipparco nel secolo II a.C.. Egli aveva anche proposto di fare affidamento più sui moti dei corpi celesti che sui rilevamenti effettuati sulla terra e per mare dai naviganti. E le osservazioni astronomiche stanno alla base dell’atlante composto dal matematico egiziano Claudio Tolomeo: l’opera, intitolata Geografia, in otto libri, comprendeva ventisette carte di singole regioni, precedute da un elenco alfabetico dei nomi di tutti i luoghi allora conosciuti, circa ottomila, seguiti dalle rispettive latitudini e longitudini, espresse in gradi. I dati erano tanto accurati da consentire, a chiunque avesse in mano l’opera, di costruire da sé tutte le carte geografiche del mondo.


I metodi proposti da Tolomeo sono due. Il primo metodo è la proiezione stereografica polare che egli presenta nel suo trattato Planisferium: ogni punto del globo viene proiettato dal Polo Sud o dal Polo Nord sul piano dell’equatore.

Questa tecnica è ispirata a quella usata da Ipparco, che proiettava la Terra ortogonalmente sul piano tangente al globo nel polo sud (proiezione ortografica).





In entrambe queste proiezioni risulta visibile, nel disco delimitato dall’equatore, solo uno dei due emisferi. Nel secolo XVII il geometra francese Philippe de La Hire propose una variante della proiezione polare che riduce al minimo la distorsione: il centro era collocato sul raggio passante per il polo, ad una distanza dal centro pari al raggio diviso 2.

Il secondo metodo di Tolomeo è la proiezione conica gnomonica: ogni punto di una regione viene proiettato dal centro del globo su di un cono tangente al globo stesso lungo un certo parallelo.


Nel corso della storia sono stati sviluppati molti altri tipi di proiezioni, tra cui la proiezione di Mercator, che porta il nome latinizzato di Gerhard Kremer, un geografo fiammingo del Cinquecento. Egli perfezionò la proiezione cilindrica: questa in origine prevedeva di proiettare i punti della superficie terrestre perpendicolarmente su di un cilindro circoscritto alla Terra e contenente l’equatore. Essa aveva lo svantaggio di falsare le direzioni, risultando assai poco utile in navigazione:

Mercator apportò le necessarie correzioni, e nel 1569, nell’opera Nova et aucta orbis terrae descriptio, ideò la proiezione cilindrica isogonica: la superficie terrestre viene proiettata dal centro della sfera su un cilindro circoscritto all’equatore. Questa tecnica non rimedia al difetto della deformazione in prossimità dei poli, non conserva distanze e aree, però riproduce fedelmente, sul piano, gli angoli misurati sulla superficie terrestre.

Un’applicazione che gode di questa proprietà viene oggi detta conforme, ed è uno degli oggetti di studio di una disciplina che proprio dalla cartografia ha tratto origine, soprattutto grazie al contributo di Eulero: la geometria differenziale. Essa generalizza lo studio delle mappe a superficie di ogni forma, anche astratte, e a spazi geometrici aventi un numero di dimensioni comunque elevato. Si occupa, tra l’altro, della determinazione delle linee geodetiche, ossia delle linee che hanno lunghezza minima tra quelle che congiungono due punti assegnati. Una proiezione conforme, pur non conservando le lunghezze, conserva gli angoli, e quindi conserva, localmente, i rapporti fra le lunghezze. Quando diciamo “localmente” intendiamo “all’interno di una piccola regione” e “con buona approssimazione”. In effetti, nella proiezione cilindrica di Mercator, sulla carta, una distanza misurata vicino ai poli viene resa, rispetto alla stessa distanza misurata all’equatore, con un elevato fattore di contrazione.

Per ovviare a questa deformazione le carte topografiche vengono oggi realizzate utilizzando la proiezione su di un cilindro circoscritto al globo lungo il meridiano che attraversa il centro della regione considerata: questa tecnica, dovuta a Gauss, è detta proiezione di Mercator trasversale universale (MTU).

La differenza più evidente tra la proiezione di Mercator e quella cilindrica equidistante è il fatto che nella prima i paralleli sono sempre più vicini man mano che ci si avvicina ai poli: in questo modo si rende ragione del fatto che, al diminuire della latitudine, la distanza fra due gradi di longitudine diventa sempre più piccola. Poiché gli angoli sulla superficie vengono conservati, le linee che formano lo stesso angolo con tutti i meridiani, dette lossodrome, nella proiezione di Mercator corrispondono a linee rette, mentre nella proiezione stereografica sul piano dell'equatore sono spirali logaritmiche.


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na versione perfezionata e conforme della proiezione conica di Tolomeo fu invece introdotta, nel Settecento, dal matematico svizzero Lambert (ricordato, fra l’altro, per aver contribuito alla nascita delle geometrie non euclidee):

L’inconveniente della deformazione delle regioni sulle carte geografiche ha dato origine allo studio delle cosiddette superficie sviluppabili, che sono oggetto della geometria differenziale: si tratta, in poche parole, delle superficie che possono essere tagliate e srotolate su di un piano. Evidentemente la sfera non è di questo tipo: ne erano convinti anche i cartografi antichi, ma la dimostrazione venne solo nel Settecento. Tuttavia è sicuramente utile cercare superficie simili alla sfera per le quali questa operazione sia possibile. Oggi sappiamo che le superficie siffatte sono solo i coni, i cilindri e le superficie rigate (cioè formate da rette) circoscritte a curve nello spazio.

Eulero si occupò sia di cartografia pratica (realizzò una carta della Russia) sia della teoria generale delle applicazioni conformi, cui applicò i numeri complessi.
Le proiezioni conformi non conservano le aree. Esistono però varianti delle proiezioni coniche e cilindriche, dette equivalenti, che conservano le aree:

Il primo problema che gli uomini dovettero affrontare per poter tracciare sulla carta i contorni di terre e mari fu quello della misurazione delle distanze. Fin dall’antichità si ricorse alla trigonometria, più precisamente, alle proprietà dei triangoli, così brillantemente esposte, ad esempio, negli Elementi di Euclide. Ecco perché le antiche carte geografiche presentano un reticolato di triangoli.




La triangolazione d’Ipparco era basata su triangoli rettangoli: conoscendo due lati, era noto anche il terzo:

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n generale, è possibile ricorrere alle proprietà dei triangoli simili per determinare distanze che non sia possibile misurare direttamente: il primo ad utilizzare questi metodi fu il filosofo presocratico Talete, considerato l’ideatore delle tecniche per misurare “l’inaccessibile mediante l’accessibile”: utilizzando il famoso teorema di geometria piana che da lui ha preso il nome, riuscì a calcolare l’altezza della piramide di Cheope a partire dalla lunghezza della sua ombra. Lo stesso principio matematico compare in alcune pagine dei Ludi matematici di Leon Battista Alberti e della Geometria Pratica del Perini. Su questi metodi si basa anche il funzionamento del teodolite, lo strumento dotato di un goniometro graduato, utilizzato nei rilevamenti topografici.


Esso consente di misurare le lunghezze sia in orizzontale, sia in verticale, determinando gli angoli visuali – detti, rispettivamente, azimutali e zenitali – con cui queste lunghezze appaiono agli occhi dell’osservatore. Il teodolite ha un antichissimo precursore nella diottra, un rudimentale apparato descritto, ad esempio, dal matematico greco-alessandrino Erone.
Il principio dell’angolo visuale è anche alla base della prospettiva, studiata dall’Alberti con rigore matematico, e della teoria astronomica della parallasse, applicata da Tycho Brahe e da Copernico.
Un altro importante aspetto messo in luce dalle ricerche intorno alla cartografia è la possibilità di trasformare un oggetto geometrico in un altro, di forma anche molto diversa, proiettandolo su di un piano. La classificazione degli oggetti che sono legati da questa relazione è compito della geometria proiettiva. Se ne vedono le prime tracce nel Seicento, nelle opere di Keplero e, soprattutto, in quelle di Pascal e di Desargues. Ad esempio, sono proiettivamente equivalenti tutte le sezioni coniche non degeneri: la circonferenza, l’ellisse, la parabola e l’iperbole. L’una può essere trasformata nell’altra proiettandola da un punto su di un piano.
Recentemente, da quando è possibile scattare dettagliate fotografie dallo spazio, ad esempio tramite i satelliti meteorologici, la realizzazione di carte geografiche ha, naturalmente, cessato di essere un problema matematico di misurazione. Recentemente, lo shuttle Endeavour ha registrato, mediante un sofisticato sistema di radar, un’immagine tridimensionale ad alta definizione dell’intera superficie terrestre. Si tratta del primo atlante mondiale realizzato con dettagli di 30 metri in orizzontale e 6 metri in verticale. Hanno partecipato al progetto, realizzato dalla NASA, anche l’Agenzia Spaziale Italiana e l’Alenia.



Un’immagine della penisola di Kamčatka (Russia)


(foto da “La Stampa” del 24/2/2000)


Curiosità Alle carte geografiche piane è ispirato il noto teorema dei quattro colori, che è stato per lungo tempo una delle maggiori croci dei matematici di tutto il mondo.


Carta del mondo babilonese

Carta del mondo di Tolomeo




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