Laboratorio di Problemi Rosetta Zan Dipartimento di Matematica, Pisa



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09.01.2018
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Laboratorio di Problemi

  • Rosetta Zan

  • Dipartimento di Matematica, Pisa

  • zan@dm.unipi.it


Attività 3.1 (sulla comprensione di un testo)

  • Individuare nei testi di problemi proposti possibili ostacoli di comprensione del testo dovuti a:

  • dizionario

  • enciclopedia

  • impliciti.



























Qual è il ruolo di una storia in un problema verbale?



PROBLEMI VERBALI

  • La struttura matematica è contestualizzata in una situazione ‘concreta’, ‘famigliare’:

  • il contesto









Prove di conservazione

  • L’uguaglianza iniziale dell’attributo principale è combinata con una somiglianza percettiva:



Il test delle 3 montagne (Piaget)





“Il punto è che i motivi e le intenzioni dei personaggi sono interamente comprensibili, anche per un bambino di tre anni. Il compito richiede al bambino di agire secondo schemi in carattere con certi scopi e certe interazioni fondamentali (fuga e inseguimento) – ed ha un senso umano. Quindi non è affatto difficile trasmettere al bambino ciò che si richiede da lui: egli lo afferra immediatamente. […]

  • “Il punto è che i motivi e le intenzioni dei personaggi sono interamente comprensibili, anche per un bambino di tre anni. Il compito richiede al bambino di agire secondo schemi in carattere con certi scopi e certe interazioni fondamentali (fuga e inseguimento) – ed ha un senso umano. Quindi non è affatto difficile trasmettere al bambino ciò che si richiede da lui: egli lo afferra immediatamente. […]

  • Quanto al fatto di essere umanamente comprensibile, il compito delle «montagne» è all’estremo opposto. Nel compito stesso, non giocano motivi di rapporti interpersonali, di natura tale da renderlo istantaneamente comprensibile.



  • Perciò il compito delle «montagne» è astratto, in un senso psicologico molto importante: nel senso che è lontano da tutti gli scopi, i sentimenti e gli sforzi umani fondamentali. Ha un sangue totalmente freddo. Nelle vene di un bambino di tre anni, il sangue scorre ancora caldo.”

  • [Margaret Donaldson, 1978, pp. 25-26]

















Casi estremi di separazione…

  • I problemi assurdi:

  • La domanda non c’entra niente col contesto









STRUTTURA DEL PROBLEMA SCOLASTICO



Un Arabo compra un pozzo di petrolio a L 100.000.000 poi lo vuole recintare con della rete metallica a L 1.400 al m., se fà due giri di filo spinato a L 2.500 al m. Quanto avra speso? [5.86 A]

  • Un Arabo compra un pozzo di petrolio a L 100.000.000 poi lo vuole recintare con della rete metallica a L 1.400 al m., se fà due giri di filo spinato a L 2.500 al m. Quanto avra speso? [5.86 A]



STRUTTURA DEL PROBLEMA SCOLASTICO

  • Negli esempi portati dai bambini:

  • alcuni elementi fissi

  • alcuni elementi variabili













PROBLEMA

  • Ogni volta che va a trovare i nipotini Elisa e Matteo, nonna Adele porta un sacchetto di caramelle di frutta e ne offre ai bambini, richiedendo però che essi prendano le caramelle senza guardare nel pacco.

  • Oggi è arrivata con un sacchetto contenente 3 caramelle al gusto di arancia e 2 al gusto di limone.

  • Se Matteo prende la caramella per primo, è più facile che gli capiti al gusto di arancia o di limone?

  • Perché?



PROBLEMA

  • Ogni volta che va a trovare i nipotini Elisa e Matteo, nonna Adele porta un sacchetto di caramelle di frutta e ne offre ai bambini, richiedendo però che essi prendano le caramelle senza guardare nel pacco.

  • Oggi è arrivata con un sacchetto contenente 3 caramelle al gusto di arancia e 2 al gusto di limone.

  • Se Matteo prende la caramella per primo, è più facile che gli capiti al gusto di arancia o di limone?

  • Perché?



PROBLEMA

  • Ogni volta che va a trovare i nipotini Elisa e Matteo, nonna Adele porta un sacchetto di caramelle di frutta e ne offre ai bambini, richiedendo però che essi prendano le caramelle senza guardare nel pacco.

  • Oggi è arrivata con un sacchetto contenente 3 caramelle al gusto di arancia e 2 al gusto di limone.

  • Se Matteo prende la caramella per primo, è più facile che gli capiti al gusto di arancia o di limone?

  • Perché?



Altri esempi



Problema (P.L. Ferrari)

  • In una casa è stato rotto un vaso cinese. In quel momento si trovano in casa in 4 ragazzi: Angelo, Bruna, Chiara e Daniele. Al ritorno, la padrona di casa vuol sapere chi ha rotto il vaso e interroga i 4, uno alla volta. Ecco le dichiarazioni di ciascuno:

  • Angelo: ‘Non è stata Bruna’

  • Bruna: ‘E’ stato un ragazzo’

  • Chiara: ‘Non è stato Daniele’

  • Daniele: ‘Non sono stato io’

  • Sai scoprire chi è il colpevole? Attenzione, però: delle 4 testimonianze, 3 corrispondono alla verità mentre 1 è falsa.

  • Chi ha rotto il vaso cinese? Spiega come hai fatto a trovare la risposta.



Problema (P.L. Ferrari)

  • In una casa è stato rotto un vaso cinese. In quel momento si trovano in casa in 4 ragazzi: Angelo, Bruna, Chiara e Daniele. Al ritorno, la padrona di casa vuol sapere chi ha rotto il vaso e interroga i 4, uno alla volta. Ecco le dichiarazioni di ciascuno:

  • Angelo: ‘Non è stata Bruna’

  • Bruna: ‘E’ stato un ragazzo’

  • Chiara: ‘Non è stato Daniele’

  • Daniele: ‘Non sono stato io’

  • Sai scoprire chi è il colpevole? Attenzione, però: delle 4 testimonianze, 3 corrispondono alla verità mentre 1 è falsa.

  • Chi ha rotto il vaso cinese? Spiega come hai fatto a trovare la risposta.



Alla sera Pete ha 6 palline.

  • Alla sera Pete ha 6 palline.

  • Durante il giorno ha perso 2 palline.

  • La mattina Pete aveva ………………………



IL PROBLEMA DEI GHIOTTONI (RMT: 5a elementare)

  • I quattro bambini Bianchi hanno avuto, oggi alla fine del pranzo, tutti un dolce diverso. Sonia e i due gemelli non hanno voluto il gelato alla fragola.

  • Cecilia ha inzuppato il dito nel budino al caramello di sua sorella. Bernardo, il più piccolo, ha trovato questo molto divertente.

  • Uno dei maschi ha rovesciato una parte della sua crema al cioccolato mentre litigava con suo fratello.

  • Qual è il dolce che Federico ha mangiato?

  • Chi ha mangiato la crostata di mele?



Il tema di Giacomo

  • Ho presente invece molto bene la mia maestra dalla terza alla quinta.

  • Si chiama Rosa, è alta e magra ma aveva una natura pessimista, da pessimismo leopardiano: ad esempio verso Pasqua ci faceva fare dei problemi sulle uova con delle situazioni dove tanti pulcini morivano prima di nascere. Domandava: quanti nasceranno vivi?

  • A me passava la voglia di saperlo.

  • [Giacomo, prima media]



Philip Roth La mia vita di uomo (1989)

















Un problema è una storia che si fa in matematica. [2.a]

  • Un problema è una storia che si fa in matematica. [2.a]



Logici o narrativi?

  • Si può parlare di…

    • un ‘approccio’ narrativo
    • un approccio logico
  • alla realtà?



Struttura narrativa del testo di un problema



PROBLEMA

  • Ogni volta che va a trovare i nipotini Elisa e Matteo, nonna Adele porta un sacchetto di caramelle di frutta e ne offre ai bambini, richiedendo però che essi prendano le caramelle senza guardare nel pacco.

  • Oggi è arrivata con un sacchetto contenente 3 caramelle al gusto di arancia e 2 al gusto di limone.

  • Se Matteo prende la caramella per primo, è più facile che gli capiti al gusto di arancia o di limone?

  • Perché?



Il ricatto

  • Mi hanno concesso dodici ore di tempo.

  • I tizi che al telefono hanno annunciato il sequestro di mia moglie sono stati categorici, non un minuto in più oltre le nove del mattino. Per riaverla libera, hanno preteso la rimozione di una serie di informazioni dal sistema che gestisco: se tento di avvisare la polizia loro la uccideranno; se cerco di fregarli, allo stesso modo, la uccideranno.

  • [adattato da Francesco Grimandi, Il ricatto]



  • Ci possono essere dati che dal punto di vista logico sono irrilevanti per la soluzione del problema…

  • …ma che sono invece significativi dal punto di vista narrativo per la sua comprensione, e quindi in definitiva anche per la sua soluzione.

  • E viceversa: ci possono essere dati rilevanti dal punto di vista logico ma NON da quello narrativo



Problema (P.L. Ferrari)

  • In una casa è stato rotto un vaso cinese. In quel momento si trovano in casa in 4 ragazzi: Angelo, Bruna, Chiara e Daniele. Al ritorno, la padrona di casa vuol sapere chi ha rotto il vaso e interroga i 4, uno alla volta. Ecco le dichiarazioni di ciascuno:

  • Angelo: ‘Non è stata Bruna’

  • Bruna: ‘E’ stato un ragazzo’

  • Chiara: ‘Non è stato Daniele’

  • Daniele: ‘Non sono stato io’

  • Sai scoprire chi è il colpevole? Attenzione, però: delle 4 testimonianze, 3 corrispondono alla verità mentre 1 è falsa.

  • Chi ha rotto il vaso cinese? Spiega come hai fatto a trovare la risposta.



Da una ricerca di D’Amore et al. (La ri-formulazione dei testi dei problemi scolastici standard,1995):



Tre operai impiegano 6 ore a fare un certo lavoro.

  • Tre operai impiegano 6 ore a fare un certo lavoro.

  • Quanto tempo impiegheranno 2 operai a fare lo stesso lavoro?







Problema (P.L. Ferrari)

  • In una casa è stato rotto un vaso cinese. In quel momento si trovano in casa in 4 ragazzi: Angelo, Bruna, Chiara e Daniele. Al ritorno, la padrona di casa vuol sapere chi ha rotto il vaso e interroga i 4, uno alla volta. Ecco le dichiarazioni di ciascuno:

  • Angelo: ‘Non è stata Bruna’

  • Bruna: ‘E’ stato un ragazzo’

  • Chiara: ‘Non è stato Daniele’

  • Daniele: ‘Non sono stato io’

  • Sai scoprire chi è il colpevole? Attenzione, però: delle 4 testimonianze, 3 corrispondono alla verità mentre 1 è falsa.

  • Chi ha rotto il vaso cinese? Spiega come hai fatto a trovare la risposta.



In presenza di fratture narrative…

  • …la conoscenza enciclopedica evocata dalla storia non sostiene il pensiero logico necessario per risolvere il problema:









In conclusione…

  • …come dovrebbe essere formulato un problema?







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