L’argomento principale di Diodoro



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22.05.2018
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L’argomento principale di Diodoro

Nino B. Cocchiarella

Per le classi I C e II C

Studenti del professore Giuseppe Addona

Nelle mie “Considerazioni sulla logica stoica” che vi scrissi l’anno scorso, citavo il trilemma di Diodoro Crono, o argomento principale. Questo è l’argomento che Diodoro diede in difesa della sua tripla affermazione:


  1. ciò che è possibile è ciò che è o ciò che sarà il caso che sia,

  2. ciò che è necessario è ciò che è e ciò che è il caso che sia sempre e

  3. ciò che è impossibile è ciò che né è né mai sarà il caso che sia.

Sfortunatamente, come molte cose che sono state scritte in tempi antichi, non conosciamo i dettagli dell’argomento di Diodoro. Sappiamo, come dissi nelle mie “Considerazioni”, che sia Crisippo, che sviluppò per primo la logica stoica, e l’allievo di Diodoro, Filone, non erano d’accordo con Diodoro riguardo il significato della possibilità e della necessità. Ma, sebbene non fossero d’accordo con la conclusione di Diodoro, pensavano che il suo argomento per quella conclusione fosse valido.

Un argomento valido non è la stessa cosa di un argomento efficace, in ogni caso. Un argomento è valido se è impossibile avere delle premesse vere e una conclusione falsa. Un argomento efficace è sia valido sia possiede delle premesse vere, il che significa che la conclusione di un argomento efficace deve anche essere vera. Crisippo e Filone dissero che la conlusione dell’argomento di Diodoro non era vera, sebbene pensassero che l’argomento fosse valido. Ciò significa che dovettero rifiutare una o più di una delle sue premesse, o assunzioni. In questa breve lettera vorrei discutere queste premesse ed una possibile ricostruzione dell’argomento di Diodoro.


  1. Proposizioni al passato

Molti filosofi pensano che le proposizioni siano o eternamente vere o eternamente false. Questo potrebbe essere perché pensano che le proposizioni siano entità astratte come numeri e non esistono nel tempo. Certamente una constatazione come 2+3=5 non è vero soltanto a volte ma sempre.

Gli stoici non credevano in entità astratte, ma erano non sicuri riguardo la natura delle proposizioni (lekta). Tuttavia, in ogni caso le proposizioni siano astratte o meno, per Diodoro sono al passato così che una proposizione, così come è espressa dalla frase “Il papa è italiano”, potrebbe essere vera nel passato ma non ora nel presente, e che una proposizione come “George W. Bush è il presidente degli Stati Uniti” è vera adesso ma sarà falsa nel futuro.

Come notai nelle mie “Considerazioni” possiamo rappresentare l’aspetto passato di una proposizione attraverso i significati degli operatori di tempo, come P ed F, che possiamo leggere come:

P: Fu il caso che…

Ed

F: Sarà il caso che…



Noi supponiamo che il tempo del presente è rappresentato dal tempo del presente del verbo o del predicato di una frase. Quindi, nel momento in cui abbiamo la seguente lettura:

¬Fp : Non sarà mai (in futuro) il caso che p

Così abbiamo la seguente

¬F¬p : Sarà il caso che sia sempre p

E

¬P¬p : Fu sempre il caso che p.


L’affermazione di Diodoro che una proposizione p è possibile se, e solo se, è sia vera o lo sarà può essere rappresentato come:
p  p V Fp
dove p si legge come “E’ possibile che p”. Similmente, le affermazioni di Diodoro che una proposizione p è necessaria se e solo se p è vera e sempre lo sarà in seguito possono essere rappresentate da:
p  p & ¬ F¬p
dove p si legge come “E’ necessario che p”. La sua affermazione che p è impossibile se e solo se p è falso e non sarà mai vero può essere in seguito rappresentata da:
¬p  ¬p & ¬Fp
Queste tre affermazioni sono davvero equivalenti l’una all’altra. Le due [affermazioni] riguardo la possibilità e l’impossibilità sono equivalenti dati che la negazione di una disgiunzione è equivalente ad una congiunzione di negazioni. L’affermazione riguardo la necessità segue dalla dualità della necessità e della possibilità, cioè che:
p  ¬¬p
Di seguito non farò distinzione tra queste tre affermazioni ma discuterò semplicemente l’affermazione di Diodoro per la possibilità, cioè, la sua affermazione che ciò che è possibile è ciò che è o che sarà il caso:
p  p V Fp
Questa è l’affermazione per cui Diodoro è ricordato maggiormente. Essa è un’affermazione importante perché stabilisce di dirci come il concetto di possibilità (e necessità) dev’essere compreso in termini di tempo, cioè, in termini del nostro parlare del passato, del presente e del futuro. Dovremmo anche tenere a mente che in aggiunta al discorso di possibilità e necessità, gli Stoici furono i primi a sviluppare la classica logica delle proposizioni di verità-funzionale, che assumeremo di seguito.
2 L’inalterabilità del passato
Nei pochi commentari sul trilemma di Diodoro Crono, ci sono due premesse principali. Queste sono:


  1. Una proposizione impossibile non deriva mai da una possibile.

  2. Ogni proposizione vera riguardo il passato è necessaria.

La negazione della proposizione di Diodoro riguardo la possibilità costituisce la terza parte del trilemma di Diodoro. Questa negazione è:




  1. C’è una proposizione che è possibile, ma che non è vera ora ne lo sarà mai (in futuro).

Un trilemma è una raccolta di tre proposizioni che si dice siano in conflitto e non possono essere prese tutte come vere. (Un dilemma consiste di due proposizioni che si dice siano entrambe in conflitto e non possono entrambe essere accettate come vere.)

Diodoro disse che le premesse (1) e (2) devono essere prese come vere e quindi che (3) deve essere falsa, che è la tesi di Diodoro riguardo la possibilità, cioè:
una proposizione è possibile se, e solo se essa o è vera (ora) o sarà vera.

La domanda è: sono (1) e (2) vere?


E (1) e (2) realmente implicano che la (3) è falsa, e quindi che la possibilità significa cosa Diodoro disse che significa?

Qual era l’argomento di Diodoro per cui (1) e (2) implicano (3)?

Consideriamo la premessa (1) innanzitutto. Questa è la constatazione che una proposizione impossibile non può derivare da una proposizione possibile. Sembra certamente essere vera e non problematica. Un modo equivalente per constatare ciò è che se p segue da q, cioè, se q implica p, allora q è possibile solo se p è possibile. In termini modali possiamo rappresentare la constatazione che q implica p come la necessità del condizionale (q → p), cioè, come (q → p). Quindi la premessa (1) è equivalente alla seguente tesi modale:

(q → p) → (q → p), (A)


Questa tesi (A), è equivalente alla legge modale della distribuzione di  attraverso →, cioè,
(q → p) → (q → p),
e questa legge è una legge base di ogni logica modale. È, in altre parole, la minima [lett. la maggiormente minima] constatazione che si può fare riguardo la necessità e la possibilità. (Riuscite a vedere perché queste ultime due formule sono equivalenti? Notate che possiamo sostituire frasi complesse p e q, per esempio, una sostituzione di ¬p per p e ¬q per q vi mostrerà perché queste due formule sono tesi equivalenti.)

Ciò che la frase (A) dice è che se q implica p, allora q è possibile solo se p è possibile. Riuscite a vedere perché questo è una via modale di rappresentare la premessa (1)?

Così constatato, possiamo indubbiamente accettare la premessa (1).

E riguardo la premessa (2)? Pensate sia vera? Non dice questa che non possiamo cambiare il passato, e quindi una proposizione vera riguardo il passato è necessaria? E riguardo il viaggio nel tempo? Un giorno potremo viaggiare nel tempo e cambiare il passato? Dio può cambiare il passato? Aristotele pensava di no. Nella sua Etica nicomachea Aristotele dice che “ciò che è fatto non può essere non fatto” e che Agatone ha ragione quando dice “anche Dio è privo del potere di far sì che ciò che è stato fatto non sia successo” (libro 6, capitolo 2). Dio potrebbe aver creato un altro mondo in cui il passato era diverso, ma Dio potrebbe cambiare il passato del nostro mondo ed esso essere ancora il nostro mondo?

Notate che se una proposizione p era vera, cioè, se fu il caso di p [se si trattò che p], allora Pp ora è vera e d’ora in poi sarà sempre vera, cioè, ¬F¬Pp, e da qui, per la nozione di Diodoro della necessità, Pp è necessaria, cioè, Pp è vera. La premessa (2) è vera, in altre parole, se Diodoro è corretto riguardo il significato di necessità.

Ma ciò è dato per scontato. Non possiamo provare che l’affermazione di Diodoro riguardo la possibilità sia corretta assumendo la sua affermazione come un modo per giustificare una delle premesse del suo argomento. Allora come possiamo giustificare diversamente la premessa (2)? Dunque, non proveremo a giustificare la premessa (2) qui, ma per il fine della discussione permettiamo che sia una verità necessaria. Cioè, prenderemo la tesi che se una proposizione fu il caso, allora è necessario che (si trattasse) di una tesi valida:


Pp → Pp (B)
Notate che nell’assumere che (B) sia una tesi valida stiamo permettendo che sia quindi necessaria, cioè che:
(Pp → Pp)
È altrettanto una tesi valida per [a causa di] la regola di logica modale della necessità. Questa regola dice che se una constatazione è valida, allora è necessaria. Le due premesse, o ipotesi, dell’argomento di Diodoro sono pertanto (A) e (B) per la premessa (2).


  1. Ricostruire l’argomento di Diodoro

Il filosofo e storico Edward Zeller pensava che l’argomento di Diodoro fosse una reductio ad absurdum e che arrivasse a qualcosa di simile. Supponiamo che ci sia una proposizione p che è possibile ma non è vera ora né lo sarà mai in futuro, cioè supponiamo:


p & ¬p & ¬Fp
Dunque nel futuro, quando il presente diviene passato, ¬p diventerà necessario per [a causa di] la premessa (2). Ma se ¬p diviene necessario, allora p diviene impossibile, il che significa, contrariamente alla premessa (1) che una proposizione impossibile deriva da una proposizione possibile.

L’argomento di Zweller non è efficace [“funziona”], comunque. Apparentemente Zweller ha in mente ¬p quando ¬p diviene necessario, e quindi p è impossibile, cioè, ¬p, che è la negazione dell’assunzione di p; e certamente ¬p non deriva da p. Ma la rappresentazione esatta dell’affermazione che la proposizione negativa ¬p, che è vera ora, diventerà (in futuro) necessaria (perché allora riguarderà il passato) è FP¬p, cioè, che ciò che è necessario è ciò che sarà che fu il caso di ¬p, e da ciò non abbiamo ¬p.

C’è un’altra ricostruzione dell’argomento di Diodoro che il mio vecchio amico Arthur Prior (ormai defunto) diede una volta. Anch’essa non è efficace, come anche Prior capì. Ma la ricostruzione e la ragione per cui non è efficace è interessante.

Ciò che notò Prior era che se


¬p & ¬Fp → ¬p
È provabile (tramite contrapposizione e logica di verità funzionale) perciò che
p → p V Fp
Questo è tutto ciò di cui abbiamo bisogno perché l’affermazione opposta che se p è o sarà vero, allora p è possibile, cioè,
p V Fp → p
è certamente una tesi valida. Infatti, la constatazione che se p è vero allora è possibile, cioè, (p → p),è una legge modale di base. È chiaro che la constatazione che se p sarà vero, allora esso dev’essere possibile è certamente altrettanto accettabile. Perciò dobbiamo considerare e provare a dimostrare solo una direzione, cioè
p → p V Fp
In aggiunta alle tesi (A) e (B) Prior aggiunse altre due tesi che assunse come valide per la logica del passato. La prima è
P → ¬P ¬Fp
Che dice che se p ora è vera, fu il caso che essa sempre nel passato stava diventando vera(nell’ora del futuro).Questa è certamente una tesi valida della logica del passato, e quindi anch’essa può essere assunta come necessaria , cioè , per la regola di logica modale della necessità che una tesi valida è necessaria,
(p → ¬P ¬Fp) (C)
È una tesi altrettanto valida.

Ora notate che


(p → ¬P ¬Fp) → (p →  ¬P ¬Fp)
È un esempio di tesi (A), da cui, per (C) e la regola del modus ponens, abbiamo quindi
p →  ¬P ¬Fp
Di conseguenza, per contrapposizione (logica di verità funzionale),
¬¬P ¬Fp → ¬p
È altrettanto valida. Ma questa formula, per la dualità della necessità e della possibilità, è equivalente a
P¬Fp → ¬p
Infine, per completare la dimostrazione, c’era un’ultima ipotesi che Prior fece riguardo la logica del passato. Era la tesi che se una proposizione p è falsa ora e sarà sempre falsa per il futuro, allora si trattò che [fu il caso che] p non sarà vera dopo, in simboli:
¬p & ¬Fp → P¬Fp (D)
Ma per [secondo] la tesi (B) che il passato è inalterabile, segue quindi la formula
P¬Fp → P¬Fp
e da questa formula e da (D) abbiamo
¬p & ¬Fp → ¬p
Che, per la [a causa di] contrapposizione e per la logica di verità funzionale , è equivalente a
p → p V Fp
Che, come abbiamo detto, è tutto ciò di cui avevamo bisogno per completare l’argomento di Diodoro riguardo la possibilità. (QED)


  1. Il tempo è separato o continuo?

La precedente ricostruzione dell’argomento principale di Diodoro si è “incrinata” in un modo, cioè la tesi (D). Cosa c’è di sbagliato in (D)? Ebbene, nulla se il tempo è separato,cioè, se dopo ogni momento ne segue un altro senza momenti tra i due. I numeri interi sono separati: ogni numero intero è seguito (e preceduto) solo da un numero intero senza altri numeri interi tra di loro. I numeri razionali non sono separati ma compatti, d’altra parte, perché tra due qualsiasi numeri razionali x ed y c’è un altro numero razionale, cioè x/y. I numeri razionali non sono continui comunque. Si dice che uno degli studenti di Pitagora avesse dimostrato ciò quando provò che la radice quadrata di due, 2 non è un numero razionale. Riuscite a vedere perché è così? (si vocifera che questo risultato fosse risultato così sconvolgente per i pitagorici che essi uccisero lo studente e provarono a tenere segreto il risultato. Ma non dovete preoccuparvi di ciò in una classe del professore Addona).

Riuscite a vedere perché (D), preso come tesi valida per tutte le proposizioni p, ipotizza che il tempo sia separato? Supponiamo, per esempio,che p sia falsa in un momento t e falsa in seguito, cioè, in t, la congiunzione ¬p ^ ¬Fp è vera. Se il tempo è separato (e t non è il primo momento del tempo), allora c’è un momento t1 che precede immediatamente t, e in seguito in t1 è vero che p non sarà mai vero in seguito, cioè, ¬Fp è vera in t1. Questo ci dimostra perché (D), il condizionale
¬p & ¬Fp → P¬Fp
È valido se il tempo è separato.

Se il tempo non è separato, comunque, ma continuo, allora tra t e un qualsiasi momento che lo precede ci sono infinitamente molti altri momenti in ognuno dei quali p potrebbe in ultimo essere vero, nel qual caso anche se la congiunzione p ^ ¬Fp è vera in t, la conseguente di (D), cioè, P¬Fp non necessita anche di essere vera in t, nel qual caso il condizionale sarà falso in t. Questo ci dimostra che (D) non è una tesi valida se il tempo non è separato ma continuo. In quel caso la precedente ricostruzione dell’argomento principale di Diodoro è valida ma non completa perché una delle sue ipotesi non è una tesi valida a meno che il tempo non sia separato.

La domanda è dunque ora: il tempo è separato? Invero, il tempo può essere separato? L’argomento dello stadio di Zenone non dimostra che il tempo non può essere separato se il movimento è possibile, che Parmenide, maestro di Zenone, aveva detto impossibile? Com’è possibile il movimento? Non richiede ciò che lo spazio ed il tempo siano continui? Questo è ciò che molti filosofi affermano.

Ma dato che lo spazio ed il tempo sono “quantizzati” nella fisica quantistica, c’è una lunghezza piccolissima fisicamente possibile – cioè la “lunghezza di Planck” di 10-33 cm – ed un tempo piccolissimo fisicamente possibile, cioè, il tempo che impiega la luce per intersecare la lunghezza di Planck, che è 10-43 secondi. Non significa ciò che lo spazio ed il tempo non sono infinitamente divisibili e quindi non continui?



Infine, c’è un altro modo per ricostruire l’argomento principale di Diodoro?

Io non lo so, ma è qualcosa su cui riflettere.



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