Leonardo da Vinci (Vinci 1452 – Cloux, Loira 1519)



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L
eonardo da Vinci (Vinci 1452 – Cloux, Loira 1519)

Figlio illegittimo di un notaio di Vinci, crebbe nella casa del padre. La sua vita di artista, iniziata a Firenze nella bottega del pittore e scultore Andrea del Verrocchio, si svolse tra le principali corti europee: fu al servizio del duca Lodovico il Moro a Milano, del duca Cesare Borgia in Romagna, del cardinale Giuliano de’ Medici a Roma, di re Francesco I in Francia. Oltre a diverse celebri opere pittoriche, di lui ci sono pervenuti numerosissimi scritti e disegni di vario argomento artistico, tecnico e scientifico, raccolti in codici, che oggi sono conservati presso vari musei europei: il Codice Atlantico, presso la Biblioteca Ambrosiana di Milano, il Codice Trivulziano, presso la Biblioteca Trivulziana di Milano, il Codice Urbinate, presso la Biblioteca Vaticana, il Codice Arundel ed il Codice Leicester, presso la British Library di Londra, i due Codici Forster, presso il Victoria and Albert Museum di Londra, i Fogli di Windsor, presso la Royal Library di Londra, i due Codici di Madrid, presso la Biblioteca Nacional della capitale spagnola, i Codici B-M ed il Codice Ashburnhamiano, presso la Bibliothèque de l’Institut de France di Parigi.


La matematica che compare nelle annotazioni di Leonardo è per lo più semplice e finalizzata alle applicazioni pratiche. Pare che dei numeri e delle forme egli apprezzasse soprattutto l’essenzialità. I suoi studi architettonici si basano interamente su elementi geometrici primitivi, linee rette ed archi. Leonardo evitava i calcoli complessi, e pare che certi suoi conti aritmetici rivelassero una certa goffaggine. Egli era carico di una portentosa intuizione, ma era poco istruito. Lui stesso ammetteva, nei suoi scritti, di essere “omo sanza lettere”. Non conosceva il latino, il che quasi sicuramente gli rese inaccessibili le trascrizioni medievali delle opere scientifiche dell’antichità. Gli storici su questo punto non sono concordi. Qualcuno di loro, vista la scarsa dimestichezza di Leonardo con i numeri, esclude che egli possa aver letto i trattati del Fibonacci. Secondo questi studiosi, egli disponeva solo di nozioni frammentarie, colte qua e là; era sicuramente venuto in contatto con gli scritti di Archimede, che egli citò più volte, e da cui trasse importanti ispirazioni, ma non poté mai studiarli in maniera sistematica. Ed è incerto fino a che punto egli avesse, tra le sue fonti, le opere di Erone ed Euclide, che pure molte parti dei suoi manoscritti sembrano richiamare. È difficile stabilire cosa Leonardo attinse dai suoi predecessori, e cosa reinventò in maniera indipendente, ignorando che si trattasse di idee già pubblicate.

Contro l’ipotesi di un Leonardo “uomo di numeri” pare deporre il suo disinteresse nei confronti dei grandi problemi matematici dell’epoca. Divenne amico del Pacioli, per il quale realizzò alcune illustrazioni del trattato De Divina Proportione: ciononostante rimase comple-tamente estraneo all’affannosa attività intorno alle equazioni algebriche di terzo e quarto grado che all’epoca teneva impegnati, insieme al Pacioli, il matematico Scipione dal Ferro e che, nel giro di una generazione, avrebbe infiammato gli animi di Antonio Maria Fior, Gerolamo Cardano, Nicolò Tartaglia e Ludovico Ferrari. Non si addentrò mai in tali questioni, ma forse ciò è dovuto in gran parte alla sua personale convinzione che in natura le sole leggi fisiche significative fossero quelle che stabilivano una dipendenza lineare (proporzionalità) tra le grandezze misurabili. Tra queste egli seppe riconoscere correttamente:




  • la legge del piano inclinato, secondo la quale – in linguaggio moderno - il tempo di discesa, a parità di lunghezza, è inversamente proporzionale al seno dell’angolo di pendenza;




  • la legge di caduta dei gravi, ossia il moto naturalmente accelerato, cui tanta attenzione dedicherà, più di un secolo dopo, Galilei. La formulazione della legge, contenuta nel Codice Forster, è probabilmente la prima della storia.

Mai nessuno scrisse tanto sulla meccanica: e le osservazioni di Leonardo spaziano dai problemi di statica (resistenza delle travi, principio della leva ed equilibrio delle bilance) agli effetti dell’attrito sul moto, fino a sfiorare, così pare, il principio di composizione delle forze, che egli applicò in alcuni casi particolari, e che fu enunciato per la prima volta in maniera completa, due secoli più tardi, da Newton.

Il fatto che Leonardo non concepisse, tra le grandezze fisiche, relazioni quadratiche o di grado superiore lo portò spesso a conclusioni errate. Il suo acume gli consentì comunque di aggirare l’ostacolo, e di mettere a frutto le sue osservazioni nelle celeberrime macchine, come, ad esempio, quelle idrauliche e quelle per il volo. Molte delle sue pagine sono dedicate al moto dell’aria e dell’acqua, alle onde, alle correnti, ai vortici: fu il primo ad individuare le analogie e le differenze che i comportamenti dei due elementi presentano, precorrendo la creazione della fluidodinamica. La trattazione di Leonardo manca di un’elaborazione matematica vera e propria, eppure vi compaiono modelli geometrici, come quello che spiega la sovrapposizione delle onde sulla superficie dell’acqua.

N
on mancano valutazioni quantitative, anche se non strettamente numeriche, sulle differenze di velocità dell’acqua che scorre in un fiume. Un fondo irregolare rallenta il flusso a causa delle onde che si creano intorno agli ostacoli e si propagano agli strati superiori. L’inclinazione di un bastoncino (baculum) con un’estremità fissata al fondo non indica invece necessariamente che l’acqua scorra, in superficie, più velocemente che sul fondo: il fenomeno è spiegabile con il principio della leva.




La pratica della pittura portò Leonardo ad occuparsi di ottica e di prospettiva. Le sue annotazioni sull’argomento furono raccolte da un anonimo compilatore col titolo di Trattato della Pittura, e pubblicate nel 1651. Leonardo, comunque, non disdegnò la matematica pura, anche se vi si cimentò con poco successo. Molti suoi aforismi ci fanno capire il valore che egli attribuiva a questa disciplina.


“O studianti, studiate le matematiche, e non edificate sanza fondamenti.” (Windsor 19066)
“Chi biasima la somma certezza delle matematiche si pasce di confusione, e mai porrà silenzio alle contradizioni delle sofistiche scienzie, colle quali s’impara uno eterno gridore.” (Windsor 19084)
“Nessuna certezza è dove non si può applicare una delle scienzie matematiche, over che non sono unite con esse matematiche.” (G 96 v.)
A questo proposito Truesdell osserva: “Se è vero che Leonardo adorava la matematica come una musa, è anche vero che non le fece una corte più serrata che alle altre muse, ed ella pare gli abbia concesso pochi favori.”
In una pagina del Codice Atlantico Leonardo tenta invano di dimostrare in maniera geometrica astratta che il baricentro di un triangolo è il punto d’intersezione delle mediane. Alla fine perviene al risultato tramite l’intuizione fisica: riesce a visualizzare il fatto che, per motivi di simmetria, un triangolo sospeso per quel punto deve necessariamente trovarsi in equilibrio. Con analoghi ragionamenti meccanici ricava il baricentro della piramide, come testimoniano vari brani del Codice Arundel. Egli dapprima risolve il problema per la piramide a base triangolare, che è poi un tetraedro, trovando che il baricentro coincide col punto d’intersezione di tutti i suoi assi, cioè i segmenti che congiungono il centro di ogni faccia con il vertice opposto. Il baricentro viene così a trovarsi, su ogni asse, ad un quarto di distanza dalla base corrispondente.
Il cientro della gravità del corpo di 4 basi triangulari fia nella intersegazione de’ suoi assis e sarà nella 4a parte della sua lunghezza.” (Arundel, 193 v.)
Leonardo descrive anche un’altra costruzione dello stesso baricentro, che si può ottenere come intersezione dei segmenti che congiungono il punto medio di ogni spigolo al punto medio dello spigolo opposto:
La piramide di basa triangolare ha’l centro della sua gravità naturale nel taglio che s’astende dal mezo della basa al mezo del lato oposito a essa basa, fatto equalmente distante alla congiunzione della base col predetto lato.” (Arundel, 123 v.)
Egli estende poi il risultato alle piramidi qualsiansi:
De ogni piramide tonda, triangula o quadrata o di quanti lati sia, il centro della sua gravità è nella 4a parte della sua assis vicina alla basa.” (Arundel 218 v.)
Leonardo cerca anche di determinare il baricentro del semicerchio (pieno). Leonardo lo suddivide in 8 settori uguali, che identifica con altrettanti triangoli isosceli. Determina quindi il baricentro dell’intera figura (che è simile ad un semicerchio, ma in realtà è la metà di un esadecagono) a partire dai baricentri dei singoli triangoli. Ottiene un risultato, naturalmente approssimato, in base al quale il baricentro si troverebbe - naturalmente, sull’asse del semicerchio - ad una altezza pari a 0,427 volte il raggio. Questo valore numerico è di fatto molto vicino a quello reale: dal teorema di Guldino si deduce che esso è pari a 4/3π  0, 424 volte il raggio.
Se Leonardo avesse voluto utilizzare il metodo di esaustione di Archimede, non si sarebbe fermato qui, avrebbe immaginato di aumentare all’infinito il numero dei settori, arrivando a stabilire l’esatta proporzione tra l’altezza del baricentro e le misure del cerchio.

Ma Leonardo non cercò mai un tale rigore: a lui bastava il fatto di poter ricondurre i problemi curvilinei, con approssimazione soddisfacente, a figure rettilinee. Così risolse la quadratura del cerchio con una costruzione approssimata, in cui l’errore è il più piccolo possibile, ed assolutamente impercettibile: essa è dunque da considerarsi perfetta ai fini pratici.

Occorrerà attendere la scuola galileiana, in particolare Torricelli e Cavalieri, per vedere uno studio sistematico dei baricentri, basato sulla teoria degli indivisibili.

L’esempio forse più emblematico dell’approccio di Leonardo alla matematica è la sua soluzione meccanica del problema di Alhazen, proposto da uno scienziato arabo, vissuto intorno all’anno 1000: una candela è posta di fronte ad uno specchio sferico, e ci si chiede quale dei raggi uscenti dalla fiamma colpirà l’occhio dell’osservatore.





Leonardo mette insieme pochi listelli e costruisce uno strumento che, per ogni raggio uscente dalla fiamma, indica il corrispondente raggio riflesso.
Anche quando Leonardo sembra occuparsi di problemi geometrici astratti, il suo scopo ultimo è l’applicazione tecnica. Ci sono pervenuti, sia pure in maniera frammentaria, tre libri di un suo trattato “titolato de strasformazione, cioè d’un corpo’n un altro sanza diminuzione o accrescimento di materia.” Vi vengono descritti vari modi per ottenere, a partire da un solido, un altro solido di forma diversa ma avente lo stesso volume. Gli oggetti da manipolare sono le “tavole” ed i “cilindri”, ossia i parallelepipedi a base quadrata, aventi altezza rispettivamente minore e maggiore del lato della base. Bisogna vedere, in essi, nient’altro che blocchi di metallo da fondere.
“D’un cilindro si facia una tavola quadrata secondo una data largheza: adomandasi quant’esso s’abassa.” (Atlantico 32 r.)
Il problema si traduce in un’equazione lineare:
a2l = m2x,
dove a2 è l’area della base quadrata del cilindro, l la sua altezza, m il lato della base della tavola da ottenere, x la sua altezza incognita. Questo problema algebrico, che è poi una proporzione, rientra nella classe di quelli che Leonardo sapeva risolvere.
Altrove egli propone una soluzione geometrica, ovvero una costruzione con riga e compasso:
“Sia trasformato un cubo’n un cilindro equilatero secondo una data lunghezza.


Dato il cubo abcd, sia allungato secondo la linia ed. Per saddisfare alla proposta io metterò il pie’ del sesto in d, e farò la curva ef; di poi produrrò la linia df dal nascimento della linia de, e dall’angolo b produrrò la linia bg parallela alla linia df; facto questo, per fare rettangole le fronti d’esso parallelo bg df, io leverò il triangolo bhd del suo sito e lo riporterò in gmf e così arò fatto il parallelo hdfm, il quale, quadrandolo secondo la fronte m o f r, sarà equale al cubo a b c d; e perché tale fronte non resta quadrata, per avere lei da un lato la larghezza secondo la larghezza del cubo e dall’altra la larghezza m f, io lo farò di lati equali colla quinta di sotto.” (F 57 v.)


Il “pié del sesto” è la punta del compasso. La lunghezza ed=fd è l’altezza del cilindro che si vuole costruire. Leonardo dapprima costruisce il solido obliquo avente come base la base del cubo dato, e spigolo fd. La sezione ortogonale (fronte) mofr di questo solido è rettangolare, avendo il lato mo pari al lato a del cubo, e l’altro lato mf di lunghezza diversa l. Il lato x della base quadrata del cilindro cercato si ottiene allora risolvendo

al = x2.


Questa è un’equazione di secondo grado, che Leonardo sa risolvere con una costruzione euclidea: essa corrisponde alla quadratura del rettangolo, che Euclide descrive nella Proposizione 14 del Libro II degli Elementi.


Il metodo di Leonardo

Leonardo si accosta con la sola ragione, stimolata dall’intuizione, ed alimentata dalla percezione dei sensi, al rigore matematico che vede nella struttura del mondo. Quando asserisce che “la meccanica è il paradiso delle scienze matematiche, perché con quella si viene al frutto matematico” (E, 8 r.) e “la natura è costretta dalla ragione della sua legge, che in lei infusamente vive” (C, 23 v.) per poi precisare che “ogni nostra cognizione prencipia da sentimenti” (Trivulziano 20 v.) pare anticipare di un secolo la posizione galileiana che vede la scienza come il risultato di esperienza e ragionamento. Allo scienziato pisano lo accomuna anche l’avversione per la cultura appresa dai libri, che si nutre di sola tradizione:


Chi disputa allegando l’autorità, non adopra lo’ngegno, ma più tosto la memoria” (Atlantico, 76 r. a)
Molti mi crederanno ragionevolmente potere riprendere, allegando le mie prove per esser contro all’alturità d’alquanti uomini di gran riverenza apresso de’ loro inesperti iudizi, non considerando le mie cose esser nate sotto la semplice e mera sperienzia, la quale è maestra vera.” (Atlantico, 119 v. a)
Ma se Galilei porrà l’accento sul dato numerico, oggettivo, sulla misura delle grandezze fisiche come garanzia di adesione alla realtà dell’elaborazione matematica, per Leonardo sono le capacità intellettive dell’uomo a garantire, di per sé, una corretta interpretazione dei fenomeni naturali: “nessuno effetto è in natura senza ragione; intendi la ragione e non ti bisogna sperienzia.” (Atlantico147 v. a.)

Per questa via egli giunge alla formulazione di principi generali, come questo: “data la causa la natura opera l’effetto nel più breve tempo possibile.” (Arundel 174 v.) Ci sono voluti esperimenti accurati e strumenti matematici avanzati per stabilire la validità del principio di Fermat, secondo cui i raggi luminosi percorrono sempre il cammino più breve (in senso temporale). Il genio di Leonardo aveva afferrato la sostanza di questa verità con la sola arma dell’intuito. Ciò non deve far credere che Leonardo basasse, alla maniera di Cartesio, la conoscenza interamente sulla speculazione. Egli dice infatti:


Nissuna cosa è che più c’inganni che’l nostro giudizio.” (Urbinate 68)
D’altra parte l’esperienza, di per sé, non permette di pervenire ad ogni verità:
La natura è piena d’infinite ragioni, che non furono mai in isperienza.” (I 18 r.)
è soltanto dall’insieme di pensiero e percezione che nasce la vera scienza: il primo avrà comunque sempre la priorità sulla seconda:
La scienza è il capitano, e la pratica sono i soldati.” (I 130 r.)
Il ragionamento che precorre l’osservazione è un tratto distintivo nell’evoluzione del pensiero di Leonardo: come rileva lo storico Gerolamo Calvi, egli fu prima inventore e solo in un secondo tempo divenne naturalista. Accurate ricostruzioni filologiche hanno stabilito che i suoi studi sul volo meccanico precedono, in effetti, quelli sul volo degli uccelli.

Le affermazioni di Leonardo sono spesso a carattere universale. Egli vede uniformità nel mondo, molto tempo prima che la fisica arrivi a formulare le prime leggi generali, come la legge della gravitazione di Newton. Ed è generale, anche se proiettata verso il lontano passato della filosofia pitagorica, la sua sentenza: “La proporzione non solamente nelli numeri e misure fia trovata, ma etiam nelli suoni, pesi, tempi e siti, e ‘n qualunque potenzia sia”. Nei quadri di Leonardo, come ad esempio, nell’Annunciazione, troviamo lo schema ricorrente della sezione aurea, di antica tradizione, riportato in luce dal Pacioli.



In molti suoi dipinti, del resto, si riscontrano strutture geometriche, come, ad esempio, la disposizione triangolare delle figure nella Adorazione dei Magi, esposto al Museo degli Uffizi di Firenze, e in Sant’Anna, la Madonna e il Bambino con l’agnello, e La Vergine delle Rocce, entrambi esposti al Museo del Louvre di Parigi.


Curiosità


  • L’interpretazione del famoso aforisma la cui trascrizione letterale è “Non mi legga chi non è matematico nei miei principi”, non trova d’accordo i critici. L’ambiguità risiede nella parola principi. Secondo alcuni la frase significherebbe “Chi non è matematico non legga gli elementi del mio lavoro”, secondo altri “Non mi legga chi non è, come me, un matematico agli inizi.”




  • Il padre di Gerolamo Cardano, che era professore all’Università di Pavia, era intimo amico di Leonardo. La notizia che Leonardo tentò, senza successo, di volare, ci è giunta anche tramite Cardano, che la riporta nel suo trattato Sulla sottilità. La familiarità tra i due scienziati ha fatto nascere il forte sospetto che molto del materiale confluito in alcune opere di Cardano - in particolare un capitolo del Libro I del De Rerum Varietate, che tratta del moto dell’acqua nei fiumi - provenga, in realtà, da documenti leonardeschi.




  • Nonostante le varie analogie che si possono riscontrare tra la fisica di Leonardo e quella di Galilei, il secondo non avrebbe attinto dal primo. Entrambi avrebbero invece avuto come fonte comune gli scritti del monaco tedesco Giordano Nemorario (? – 1237).









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