“L’infinito, una sfida del pensiero”



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09.01.2018
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Stefania Costa, 3^ sc. A, Liceo Melchiorre Gioia, Piacenza


“L’INFINITO, UNA SFIDA DEL PENSIERO”

“C’è un concetto che è il corruttore e l’ammattitore di tutti i principi… io parlo dell’infinito…” di J.P.Borges
Ci sono parole che usiamo come nomi e che attraversano l’intera storia della conoscenza. Nomi di cose o di entità.

Diamo da sempre, infatti, nomi a cose di senso comune o a concetti sofisticati. Così abbiamo il nome infinito. Un concetto, una sfida del pensiero, una parte essenziale ed inquieta del lungo viaggio della conoscenza.

Ma quale entità nominiamo davvero con questa parola? L’infinito esiste? Se sì, in che senso?

Il primo pensiero filosofico giunto fino a noi è quello di Anassimandro, uno dei primi grandi filosofi che, ponendosi un’inevitabile domanda cosmologica, si chiese :”Quale è l’origine (archè) di ogni cosa?” Rispose apeiron, la cui etimologia non può che sorprendere: a alfa privativo,

peràs limite.

L’infinito, indefinito nella qualità, illimitato nella quantità, in movimento, da cui tutto ha origine.

Dunque la concezione monastica di Anassimandro presentava un infinito come sinonimo di equilibrio, perfezione, giustizia.

Molti dei fisiologi precedenti ad Aristotele avevano sostenuto la tesi dell’infinità dell’universo, fra questi Democrito ed Archita, il pitagorico amico di Platone, tiranno di Taranto, una delle sedi delle scuole pitagoriche, spesso definite anche come comunità esoteriche: egli infatti opta per un universo infinito, teorizzandolo.

Il concetto d’infinito però ha da sempre rappresentato un problema centrale nella storia della matematica, fin dalla scoperta dei numeri irrazionali, presso i matematici greci.

Fu proprio questa la scoperta che mise inevitabilmente in crisi gli studi pitagorica, che si basavano sul numero come principio primo, come essenza di tutte le cose, e avevano stabilito l’unità, la monade. Infinito – male, finito – bene.

In conclusione, quindi, ciò che non era misurabile rappresentava per i pitagorici il disordine. Fu quindi impensabile, anzi inaccettabile, la scoperta dell’inesistenza delle monadi: non tutti i numeri sono razionali. Ciò che creò questa situazione di sconvolgimento del loro mondo basato esclusivamente sull’aritmo – geometria fu la misurazione, ebbene sì, della diagonale di un quadrato.

D

√2
imostrazione


Ipotesi per assurdo

√ 2 è un numero razionale

√ 2 = m/n MCD(m,n)=1

2n² = m² è una scrittura assurda

1) m contiene 2

m² contiene 2 due volte

n² non contiene 2

2n² contiene 2 una volta


2) m non contiene 2

m² non contiene 2

m² non può essere uguale ad un numero

pari

Aristotele invece sosterrà che l’infinito esiste solo come possibilità, virtualità, subordinato all’essere attuale.

Nella Fisica egli scrive: “ Il numero è infinito in potenza, ma non in atto. Questo discorso non intende sopprimere per nulla le ricerche dei matematici per il fatto che esso esclude che l’infinito per accrescimento sia tale da poter essere percorso in atto. In realtà essi stessi, allo stato presente, non sentono il bisogno dell’infinito, ma soltanto di una quantità grande quanto essi vogliono, ma pur sempre finita…”.


Intuitivamente la definizione di –infinito potenziale- data da Aristotele va intesa come la possibilità di procedere sempre oltre senza che ci sia un elemento ultimo.

Ecco perché il concetto d’infinito è per il filosofo solo in potenza.

In realtà il concetto d’infinito è per il filosofo solo in potenza.

In realtà il concetto d’infinito in potenza è chiaro quando parliamo di una successione numerica discreta, in cui fatto una passo è evidente quale debba essere il successivo.



Tra un elemento e l’altro c’è il vuoto
Ben diverso è il caso della retta dove la successione infinita di punti è continua. Il passaggio da un punto P ad un altro Q è attraverso infiniti punti, che ogni qual volta si esaurisce in un’infinità di elementi. Un infinito in atto dunque e non solo in potenza, un’infinità compiuta e non solo non completabile.
Aristotele quindi nega un infinito attuale fisico, mentale, mentre ammette un infinito attuale per aggiunzione e detrazione.

La negazione aristotelica dell’esistenza dell’infinito in atto costituisce una prima forma di risposta ai paradossi di Zenone, che aveva negato, ottenendo un paradosso, la pluralità, il tempo, il movimento. Paradossi che, in quanto matematicamente inoppugnabili e basati su una salda argomentazione razionale, obbligarono la matematica a trovare una soluzione.

Per quanto riguarda infatti il paradosso di Achille e la Tartaruga, indubbiamente il più celebre, è stato risolto in questo modo:
Supponendo che:

VA = 10VT

Vantaggio tartaruga = 100m

100 + 10 + 1 + 1/10 + 1/100… all’infinito. Zenone sostiene che

Achille non raggiungerà

Mai la tartaruga

Ma mediante la progressione geometrica è possibile dimostrare che:

S = xi * (1 - qⁿ)/(1 – q)




|q|<1 n


q = (xi + 1)/ xi

S = xi/(1 – q)

La somma é quindi finita: 100/(1 – 1/10)= 11,11m spazio che dovrà percorrere Achille per raggiungere la tartaruga

Nella questione matematico-filosofico presente sin dagli albori della cultura occidentale, sulla possibilità di pensare l’infinito in potenza od in atto, e’ sicuramente interessante che un tale concetto, frutto di una totale astrazione, sia alla base del linguaggio più concreto per eccellenza: la matematica.
Nel ‘600 il più grande fisico italiano, Galileo Galilei, s’imbatte’ in un paradosso, rivalutando l’infinito attuale, secondo il quale – una parte d’insieme può essere uguale al tutto – .

Nella sua famosa opera “Discorsi e Dimostrazioni matematiche intorno a due nuove scienze” e lì espose il paradosso degli interi e dei quadrati.

E’ infatti possibile stabilire una corrispondenza biunivoca fra l’insieme N dei numeri e T dei quadrati, e ciò significa che i quadrati, pur essendo parte di tutti i numeri sono tanti quanti tutti i numeri.

1 2 3 n


1 4 9 n²


Duecento anni più tardi, la geniale teoria insiemistica di Cantor risolve il paradosso intuito da Galileo. Cantor parla infatti di insiemi equipotenti, cioè che hanno la stessa cardinalità, ovvero che sono in corrispondenza biunivoca quando gli elementi di un insieme sono tanti quanto quelli dell’altro.

Ora, Cantor ebbe l’ardire intellettuale di applicare la definizione infantile di uguaglianza del numero cardinale di due insiemi anche al caso d’insiemi infiniti. La contraddizione scompare in quanto “nel caso di un insieme infinito può accadere che l’intero insieme ed una sua parte, sicuramente non identici, siano equipotenti”.

Un collega di Cantor, Dedekind, definì il finito come non – infinito, capovolgendo un modo di pensare millenario.

Cantor poi definì -numerabile- tutti quegli insiemi che possono essere messi in corrispondenza biunivoca con N, prendendo in considerazione:

Z (numeri interi, >0, <0, compreso lo zero): 0 1 2 3 n



-1 -2 -3 -n


a1 = 0

a2 = 1


a3 = -1


Z é quindi un insieme numerabile


Q (numeri razionali)



1/1 2/1 3/1 4/1



1/2 2/2 3/2 4/2




1/3 2/3 3/3 4/3

1/4


a0 = 0

a1 = 1


a2 = ½

a3 = 2



Q è numerabile ed è un insieme discreto


R (numeri reali)

Ragionamento di Cantor: se dimostro che l’intervallo (0,1), ovvero 0Dimostrazione per assurdo:

1, 2, 3

1 = 0, a1a2a3…

2 = 0, b1b2b3…

3 = 0, c1c2c3…
Con questi dati dovrei esaurire tutti i valori numerici compresi tra 0 e 1.

MA è impossibile, in quanto vi è un valore che rimane al di fuori.:

 = 0, abc

a ≠ a1


b ≠ b2

c ≠ c3
Il numero così trovato non è uguale a nessuno dei precedenti. Concludiamo quindi che l’intervallo (0,1) non è numerabile e di conseguenza non lo è nemmeno R.



R non è numerabile


Proprio dall’insieme R dedusse e concluse che la potenza del continuo é superiore a quella del numerabile.

Si può quindi dire che |M| > |L| se


  1. M contiene L,

  2. M non è in corrispondenza biunivoca con L

Anche negando l’ipotesi del continuo si ottiene una nuova teoria matematica, alternativa a quella di Cantor, ma non contraddittoria.

Dunque, attraverso lo sviluppo da Cantor a Gödel a Cohen si è verificata una critica dell’intelletto puro, che ha portato ad un’evoluzione labirintica della matematica che si è arricchita di ramificazioni complesse ed imprevedibili, tramite il semplice cambiamento di un assioma.

La teoria cantoriana ha creato però le cosiddette – antinomie logiche- , vere e proprie contraddizioni.

L’antinomia che provocò la crisi dei fondamenti della matematica fu quella di Russel, uno dei massimi filosofi e matematica del XX secolo che, mettendo in discussione il programma logicista del tedesco Frege, coinvolse tutti quei sistemi che facevano uso del concetto di classe.

Sua è la famosa affermazione:”Se sì allora no, se no allora sì”.

Frege pubblicava nel 1903 un volume sui – Principi dell’Aritmetica -, una messa a punto della Teoria degli insiemi di Cantor e di una teoria basata sulla logica, dando però notizie dell’antinomia segnalata da Russel..
Dato l’insieme X, come insieme di tutti gli insiemi che non contengono se stessi, la domanda è :”X contiene se stesso come elemento?”


  • SI’ contraddice la definizione stessa di X;

  • NO se X non contiene se stesso, non può essere l’insieme che contiene tutti gli insiemi che non contengono se stessi.

Fu così che lo stesso Frege definì se stesso e tutti i matematici come i “socios malorum”.

Si aprì infatti una vera e propria crisi di tutta la matematica. Un’antinomia che si riferisce alla parola – tutta – come possibilità di costruire l’insieme “estensione di una proprietà”.

Molto importante, per capire perché sempre di più si parli di matematiche, e non di – Matematica – è quello cui scrive, a proposito, Gödel: il problema degli assiomi.

Il passaggio da un metodo deduttivo, avendo prima proprietà postulate, ad uno ipotetico – deduttivo. Non più assiomi come verità evidenti, ma come semplici ipotesi, nella forma: se… allora, vale a dire deduzione (allora) da ipotesi (se).

Si può quindi dire che la soluzione del problema del continuo, elaborata sul terreno della scienza – tecnica, ha una forte rilevanza filosofica di controprova della dialettica contro l’ontologia.



E come ho iniziato, termino con una frase di Borges, che non può che far riflettere: “Noi abbiamo sognato il mondo. Lo abbiamo sognato resistente, misterioso, visibile, ubiquo nello spazio e fermo nel tempo, ma abbiamo ammesso nella sua architettura tenui ed eterni interstizi di assurdità, per sapere che è finito”.

Forse l’infinito è solo un sogno, una sfida del pensiero, nel pensiero…



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