M pieri uno sguardo al nuovo indirizzo logico-matematico delle scienze deduttive



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M. PIERI

Uno sguardo al nuovo indirizzo logico-matematico delle scienze deduttive.

(Discorso per l'inaugurazione dell'anno accademico 1906-1907 nella Università di Catania)
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Eccellenza, Signore e Signori, 1

In verità, o Signori, non oso chiamar propizia a Voi tutti, nè a me, quella sorte, che designava un matema­tico all'onorifico ufficio d'inaugurare questo nuovo anno di studi.

Mentre i cultori delle altre discipline spesso hanno sot­tomano gran copia di argomenti vasti e attraenti, che interessano ogni sorta di persone civili; nessuno vorrà di­sconoscere, che nei concetti matematici è invece una così stringata determinatezza, il linguaggio che li esprime è così severo e remoto dal parlare comune, e l'oggetto di quel linguaggio è così astratto, che mal si prestano a un discorso da tenere in una cerimonia, come quella che qui ci aduna, innanzi ad un pubblico, di cui la maggior par­te è intesa a studi molto lontani dalla matematica. L'al­tare, sul quale noi sacrifichiamo, o Signori, ha pochi de­voti; e la Dea non rivela le sue bellezze se non a colo­ro, che si consacrano a lei interamente. Perciò vedete me in condizione non molto diversa da quella d'un viaggia­tore, che incontri difficoltà nello spendere, trovandosi in luogo dove la sua moneta non corre. Se resto nei limiti de' miei studi speciali, riuscirò probabilmente oscuro alla più parte de' cortesi uditori: se sconfino, fra tinti altri pericoli a cui vado incontro, rischierò di usurpare l'uffi­cio altrui, e di udirmi sussurrare intorno il “ne sutor ultra crepidam”. Per far fronte a codesta difficoltà, non dirò con onore, ma senza mio scorno, ho gran bisogno di contare sulla Vostra cortese indulgenza.

Nè dovrei punto stupirmi se molti di Voi, o Signori, si sentissero un po' diffidenti, o fosser mal prevenuti per ciò, che la parola oggi spetta alle Matematiche. Non sappiamo noi forse che la più parte dei tecnici , e molti persino fra i nostri giovani scolari di Matematica, considerano lo studio di questa scienza all'incirca come un male necessario; o come spediente, cui è giocofor­za ricorrere, chi voglia rendersi conto dell'equilibrio delle varie parti d'un edifizio, o stimare l'effetto utile delle forze messe in azione da una macchina? - Si­mili in questo all'atteggiamento del sommo Goethe: il quale di fronte alle matematiche non fu ammiratore, nè spregiatore assoluto; riconoscendo che esse fruttavano quello, che appunto mancava al suo genio2 ma ben più profondo, e ben più atto a dissipare ogni cattiva o­pinione delle matematiche, il pensiero del nostro G. Leo­pardi, che qui ripeto con le sue stesse parole! Egli dice:

“È certo che il grande poeta può essere anche gran matematico, e viceversa. Se non è, se il suo spirito si determinò ad un solo genere (che non sempre accade) ciò è puro effetto delle circostanze”. Ed altrove :

“Si può dir che da una stessa sorgente, da una stes­sa qualità dell'animo, diversamente applicata e diversa­mente modificata e determinata da diverse circostanze e abitudini, vennero i poemi d'Omero e di Dante e i “Prin­cipi matematici della filosofia naturale di Newton”3 .

Si o Signori; anche la matematica è in non piccola par­te poesia! Anche il matematico guarda dall'alto la realtà delle cose; e, astraendo da ciò che hanno di greggio e di mutabile o caduco, ne ravvisa le parti perfette e immanenti, ne rileva le mutue relazioni con linguaggio espressivo ed universale. Anch'egli trasforma certe impressioni da po­chi avvertite in mirabili edifizi speculativi, come per sola virtù di fantasia; a lui tocca similmente il travaglio di costringer l'idea nella formula, e di cimentare il pensie­ro alla stregua di lunghi e penosissimi calcoli! E (dirò con Enrico D'Ovidio) “il sentimento dell'eleganza nel concetto e della venustà nella forma non spiccano forse nei veri matematici come nei poeti: così che spesso una dimostrazione è bella quasi, allo stesso modo di un sonetto, ed una formula sembra, dirò così, un verso scien­tifico?”4 .

* * *

Il soggetto di cui voglio, intrattenervi (per quel tan­to che il dovere da un lato e la discrezione dall'al­tro consigliano) è bensì proprio delle matematiche: dirò anzi che spetta alla quintessenza loro; ma su qualche altro soggetto presenta il vantaggio d'interessare molto maggior numero di culte persone: poi che sorge da un terreno comune a quasi tutte le scienze, e tocca, si può dir, le radici dell'umano sapere.



Le relazioni di buon vicinato fra matematici e filosofi sono di vecchia data; e, vi fu tempo che, nelle menti dei Pascal, dei Descartes e dei Leibniz, scomparve quasi ogni distinzione fra sommo geometra e sommo pensatore. E codesta buona armonia si conferma e trova nuove san­zioni nei più recenti congressi filosofici di Parigi (1900) e Ginevra (1904): tanto è vero che qualche critico ar­guto credi, non è molto, di scorge- re, che gli spiriti e le tendenze matematiche siano di moda oggi tra i filosofi, com'erano pochi anni fa le scienze sperimentali e la cul­tura biologica.

I fondamenti della Logica, dell'Aritmetica, della Geo­metria: il valore del metodo deduttivo, le quistioni circa, la natura genuina delle conoscenze matematiche son cose di capitale importanza per la critica dei principi delle varie scienze (epistemologia) e per quel corpo di dottrine, che oggi si chiama teoria della conoscenza, o gno­seologia. Se per esempio si prova, che non siano sinte­tici, nel senso Kantiano, i giudizi propri delle matema­tiche, viene a mancare -secondo Zimmermann5- il più valido sostegno alla Critica della ragion pura. V'è qui tutto un campo d'indagini, che Guglielmo Leibniz già coltivò con singolare insistenza ed amore –raccogliendovi frutti, da Lui tenuti in gran conto per valore scien­tifico e filosofico- e che fu più tardi negletto così dai matematici, che lo reputavano estraneo al loro dominio e proprio della “filosofia”, come dai cultori di questa, che non vi potevano accedere per mancanza della necessaria preparazione matematica.

E a quest'ordine di speculazioni ha dato negli ultimi tempi novello impulso e potente sussidio il crescere e il dif­fondersi della Logica Matematica; cui molto contribui­sce, da parecchi anni in quà, l'opera zelatrice d'un va­loroso matematico nostro, il prof. G. Peano dell'Università di Torino, che se n'è fatto una specie di apostola­to scientifico. Dare ad intendere in breve che sia questa Logica simbolica, o Logica algoritmica, o Logistica, non è impresa da poco. Essa studia le proprietà formali delle relazioni e operazioni logiche, e la loro rappresentazione ideografica mediante un piccol numero di simboli, che han­no un significato preciso e obbediscono a regole ben de­terminate, simili a quelle che governano il calcolo alge­brico. Nel conferirle il nome di Logistica (il cui senso etimologico richiama appunto le idee di ragionamento e di calcolo, e che un tempo significò propriamente il cal­colo aritmetico e l'Algebra) si trovaron d'accordo, all'ul­timo congresso di Ginevra, due chiari filosofi: il Couturat di Parigi e l'Itelson di Berlino. Ma il nome non deve far pensare a qualcosa di assolutamente nuovo o di eterodosso: perché di nuovo, in fondo, non c'è che il metodo, molto più esatto e potente dei metodi puramen­te verbali di raziocinio. La Logistica insomma non è un altra Logica, diversa da quella tradizionale, bensì un'e­voluzione e un perfezionamento della Logica formale di Aristotele e degli scolastici: direi quasi che sia la forma moderna della Logica deduttiva, che racchiude in sè tutta quanta, la logica aristotelica e scolastica, quantunque di molto le avanzi.

L' ideale a cui mira è bene espresso da G. W. Leibniz -che fu il primo ad averne chiara, e distinta nozione, e pe dettò anche i principi- dove confessa di aver medita­to per tutta la sua vita ad “una maniera di Speciosa generale, dove tutte le verità di ragione sarebber ridotte ad una foggia di calcolo; e che potrebbe essere in pari tempo una maniera di Lingua o Scrittura universale, ma infinitamente diversa da tutte quelle immaginate fin qui; però che in essa i caratteri e le stesse parole dirigerebber la ragione (come spesso accade nell'Algebra); e do­ve gli errori, tranne quelli di fatto, non sarebbero che errori di calcolo6 „.

Dirò subito che questo supremo ideale di calculus ratiocinator è ancor lungi da noi; ma potè nondimeno veder­si raggiunto nel campo stesso delle discipline matematiche; dove le parti meglio evolute già si trattarono e si svolse­ro con processo rigorosamente ideografico, mercè del sim­bolismo logico-matematico ideato e costrutto dal prof. G. Peano nel suo Formulario mathematico, opera ch'Egli dirige dal 1895. È questo un nuovo algoritmo veramen­te paragonale per coerenza, ed efficacia a quello dell'Al­gebra; direi quasi un'Algebra portata alla sua maggior perfezione ed atta ad estendere, anche molto di là dalle scienze matematiche, i vantaggi di quel rigore, di quella precisione e di quella certezza, onde queste furon sempre celebrate “ab antiquo”.

* * *


Non sembra che Leibniz abbia avuto precursori di vaglia in ­quest'ordine di speculazioni. Si ricordano, è vero, Pierre Hérigone7, Johann Pell8, Jungius Ploucquet; e da poche notizie comunicate da G. Itelson al Congresso ­storico di Roma del 1903 -relative a Johann Weigel, Christof. Sturm, J. C. Lange, Pierre Du Moulin ed altri, emerge come anche* prima di Leibniz fosse gia nota la suggestiva rappresentazione delle figure sillogistiche per mezzo dei cerchi attribuiti ad Eulero; e già segnalata la transitività di certe relazioni -come l’”esser legato in­sieme con”, e simili- oltre quelle significate comune­mente per le frasi “è contenuto in”, “è maggiore di”, “è uguale a” ecc.: ma non di meno resta sempre a Leibniz il merito di aver visto prima d'ogni altro la possibilità d'una logica matematica, come oggi s'inten­de, e di averne tentato la costruzione. “Sentio -Egli dice- Logicam quae habetur in scholis tantum abesse a Logica illa utili in dirigenda mente circa veritatmu variarum inquisitionem, quantum differt Arithmetica puerilis ab Algebra praestantis matematici9 .”

Con tutto ciò nulla Ei dette alle stampe di queste Sue profonde ricerche; i cui mirabili frutti vengono oggi alla luce per la pubblicazione dei Suoi manoscritti ine­diti della Biblioteca Reale di Hannover.

I successori, sopra tutti lo svizzero Lambert nel secolo XVIII; e nella seconda metà del XIX gl'inglesi Boole, De Morgan e Mac-Coll, l’americano Carlo Peirce e i tedeschi Schröder e Frege, sapendo che Leibniz era giunto a comporre un algoritmo logico fondato sulle proprietà dei segni d'inclusione, di congiunzione e disgiunzione, di negazione, di eguaglianza e di assurdo, riuscirono per vie diverse a ricostituirlo in un tutto organico e a svolgerlo sistematicamente -per altro senz'aggiungervi gran che di nuovo, come di poi s' è visto-. Ed è importante osservare, che il primo di questi Autori, il Lambert, as­sai probabilmente conobbe i manoscritti del Leibniz10. E in Leibniz, molto più che nei successori, troviamo larghi tentativi di accrescer l'efficacia e il valore del simbolismo: come ad es. negli sforzi più volte esplicati per assegnar le regole della definizione, per scrivere pro­posizioni contenenti lettere variabili, etc: sforzi, che ri­maser per altro inavvertiti sino a questi ultimi tempi.

Soltanto nel 1879 il Frege, prof. a Jena, potè nel sito Begriffsschrift esprimere parzialmente in simboli qual­che proposizione contenente lettere variabili: ma dovè subito arrestarsi a motivo delle notazioni poco felici11: e più tardi ancora, il Peano, mercè una, compiuta anali­si di tutte le idee della Logica, riusciva non solo ad e­sprimere in simboli qualche proposizione isolata, ma ben anche a tradurre nel sito compendioso formulario ideo­grafico, (senza mai fare appello al linguaggio) un gran numero di teorie matematiche. Accanto ai concetti logici poco fa ricordati -come di eguaglianza, d’inclusione, di congiunzione etc.- egli pose in ufficio di enti primitivi la nozione di classe o aggregato, la relazione di appartenere (che intercede fra il soggetto e l’attri­buto d’una proposizione semplice, e che già gli scola­stici aveano separata da quella d’inclusione, distinguendo il “sensus compositi” e il “sensus divisi” del verbo essere) con la sua inversa, l’idea di funzione o rap­presentazione, gl’indici al segno di deduzione, le con­venzioni circa le parentesi e le lettere variabili, ecc. Non però tutte queste idee, fondamentali rispetto al si­stema Peaniano, sono fra loro irreducibili: le nozioni veramente primitive, o categorie nel senso Aristotelico e Kantiano (il cui valore ed ufficio non si apprende altri­menti che per via d’esempi, attraverso il linguaggio co­mune) si posson restringere a nove; e ancora v’è qual­che libertà nella scelta.

A questo modo il simbolismo logico-matematico acqui­stava un’elasticità ed un potere non mai raggiunto pri­ma, ricevendo -per opera del pr. Peano e della Sua scuola- uno sviluppo così ragguardevole, da suscitar nella critica forestiera e nostrale un vivo interesse, e buon numero di appassionati fautori ed oppositori.

* * *


Non par che si possa impugnare l’utilità d’un buon algoritmo ideografico, come strumento proprio a guidare e disciplinare il pensiero; ad escludere le esuberanze, i sottintesi, le ambiguità, le restrizioni mentali, le insinua­zioni, ed altri difetti presso che inseparabili dal comune linguaggio sì parlato che scritto; a sostenere e dirigere la mente nostra in quelle operazioni intellettuali, che ri­chiedono una gran precisione. A buon conto notò già qualcuno, che si debbono all'algoritmo logico i soli pro­gressi effettivi conseguiti nel campo della Logica forma­le dopo i tempi di Aristotile e della Scolastica: ma ben altri sono i frutti ch’esso ha già maturato agli studi, assai scabrosi e difficili, sui fondamenti delle varie disci­pline matematiche.

In codeste ricerche, dove l’errore si cela spesso in malintesi o in particolari di poca o niuna apparenza, molto giova uno strumento per osservare le minime dif­ferenze ideali (differenze che, tra le frange e le pieghe del comune linguaggio e senza una lente che le ingran­disca, passano troppo sovente inavvertite); uno strumento che ci costringa a pesare e ragliare scrupolosamente ogni idea; che notomizzi ogni ragionamento, e ne palesi l'in­tima struttura e lo scheletro. Non è forse eccessivo pa­ragonare la Logica matematica ad una microscopia del pensiero; e tutto l'indirizzo logistico ad una specie di positivismo della ragion deduttiva.

Chi non sente, ad es., il pregio di aver sott’occhio in brevissimo spazio, così da poterle abbracciar con lo sguar­do, tutte quante le ipotesi che è d’uopo non perder di vista nel corso d’una dimostrazione un po’ complicata? Come l’occhio umano è in sè tutt’altro che un docile e sicuro strumento degli atti a cui si direbbe ordinato, così la parola, non sorretta dal metodo, è bene spesso ar­gomento di gravi illusioni ed errori. E però, se l’andare, coi piè di piombo è savio proposito in chi muove per gli ardui sentieri dell’induzione sperimentale o storica, non è consiglio meno opportuno a chi voglia percorrere con sicurezza le vie della deduzione logica, in apparenza tanto più facili e piane. Le cautele, di cui la Logica matema­tica circonda una dimostrazione rigorosa, sembrano in tutto paragonabili a quelle, onde il Fisico si premunisce contro le cause d’errore o di falsa interpretazione dei fatti; e una deduzione da premesse alquanto studiate è operazione non meno delicata e fallace d’un’esperienza di Fisica.

Del resto valgon qui le stesse trite ragioni, che stan­no a favore di qualsivoglia ben costrutto linguaggio, nel­l’impresa d’agevolare e promuovere gli sforzi del nostro intelletto per la conquista del vero. Gli argomenti, che si odon per solito contro la Logistica, somigliano un po’ troppo al famoso dilemma del califfo Omar, distruttore della Biblioteca d’Alessandria: “0 la vostra Logica porta alla stesse conclusioni della nostri, e non mi giova d’apprenderla; o arriva a conclusioni diverse, e allora è falsa e dannabile”. Oppure: “Non corrisponde a un bi­sogno fortemente sentito”; e “gli scienziati s’inaridi­scon la mente studiando Logica-matematica”: così Benedetto Croce, in “Lineamenti d'una Logica, come scien­za del concetto puro (Napoli, 1905), p. 43. “Ma se si pensa che persino la gran mente del Vico -siccome il Croce stesso riferisce più tardi (pag. 80)- pronunciava un giudizio non molto dissimile intorno alla Geometria: e cioè che “alle menti, già dalla metafisica fatte univer­sali, non riesca agevole quello studio proprio degl’ingegni minuti,” non farà più meraviglia il vedere come siano avversate le nuove tendenze, intese qual sono ad affran­care il pensiero dalle tentazioni e dalle lascivie della pa­rola, ad escludere qualunque inconscio richiamo all’eviden­za, ad impedire che nel discorso s’insinui qualche pre­messa, inavvertita: e che hanno bene spesso apparenza di volgersi a cose di poco o niun conto, e di dar corpo alle inezie. Se non che la cura anche delle cose assai piccole e delle inezie si potrebbe, all’occorrenza, molto ben confortare e giustificare osservando, con G. Leopardi, che:

“......non altrimenti il filosofo arriva alle grandi ve­rità che sviluppando, indagando, svelando, consideran­do, notando le menome cose; e risolvendo le stesse cose grandi nelle loro menome parti.”12

E mi soccorre qui un fatto narrato da Maurizio Cantor nella sua Storia delle Matematiche. Prima dell’in­venzione del calcolo infinitesimale (dovuta principalmente al genio di Leibniz) sopperivano in parte agli uffici di questo i vari metodi così detti d’esaustione, degli indi­visibili, delle tangenti, dei massimi e minimi, ecc.: tutti, per altro, così artifiziosi e manchevoli, che a bene usarli richiedevasi poco meno che il genio dei loro grandi sco­pritori. Un illustre matematico olandese, l’Huigens, che tutti li dominava nella vastità del suo ingegno, mosse all’incirca quest’objezione al Leibniz: Dove Voi giun­gete col Vostro algoritmo degli infinitamente piccoli, io giungo del pari co’ miei artifizi geometrici; e non c’è problema da Voi trattato, ch’io non sappia risolver con gli altri processi a me noti. Rispose il Leibniz: E si­milmente per designare la potenza mma di a molti scri­vono ancora a a a a a....... a, m volte di seguito, invece di tenersi alla notazione cartesiana am; e nondimeno fi­niscon per giungere, presto o tardi, agli stessi risultati: ma chi vorrà mai contestare la superiorità e l’eccellenza della seconda maniera di scrivere?

Altri vorrebbe condannare la Logica algebrica all’in­fallibilità perpetua e assoluta: “La Logistica ci costrin­ge a dir tutto quello che per solito si sottintende, a progredire per passi: mezzo forse un po’ più sicuro, ma non certo più rapido. Non sono ali quelle che voi ci date, ma dande. E allora abbiamo il diritto di esi­gere che queste dande c’impediscan di cadere, per­chè altra scusa non meritano...... Voi sarete infallibili, o non sarete. Non avete il diritto di dire: noi si sbaglia, ma voi pure sbagliate. Sbagliare è per noi una di­sgrazia, una morte per voi”.13

Ma è lungi dal mio pensiero il diffondermi in apolo­gie o controversie; e chiedo anzi perdono, se non potrò sempre astenermi dal sentenziare, dove son giudice e parte. Piuttosto è da chiarire un po’ meglio i rapporti di codesto indirizzo col movimento matematico odierno.



* * *

Fino a mezzo il secolo XIX la Logica e la Matematica vissero al tutto distinte, e quasi straniere l’una di fronte all’altra. La Logica pareva esser contenta al ristretto dominio, assegnato a Lei da Aristotile –cioè lo studio delle relazioni d’inclusione e di predicazione fra concetti generali ed astratti- e, non ostante i tentativi (ignorati, o non fortunati) di Jungius e Leibniz, e dei loro discepoli, nulla poteva far presagire una sua rina­scenza, o un suo sviluppo ulteriore. Dal canto loro le matematiche formavano una collezione di scienze speciali d’indole tecnica -scienza del numero, della quantità, dell’estensione, del moto- collegate fra loro sopra tutto dalla comunanza del metodo. Ma come il Pascal segnalava ai suoi tempi (e molti di noi constatammo, non senza stupore, all’inizio dei nostri studi) codesto metodo deduttivo proprio delle matematiche era quasi straniero alla Logica formale, che nondimeno presumeva studiare ogni foggia di raziocinio. Esisteva dunque implicitamente, sino ab antiquo, una logica matematica al tutto indipen­dente e remota dalla Logica classica o sillogistica, pale­satasi da gran tempo incapace di render conto dei razio­cinii matematici: e i filosofi non sapevano altrimenti spie­gare codesta dualità, che appellandosi ad una cotal di­stinzione fra logica di qualità e logica di quantità; ma senza troppo indagare il come e il perchè d’un così deplorevole contrasto.14

Siffatta condizione di cose cambiò sostanzial mente dal 1850 in poi. Da un lato i matematici furon presi da scrupoli logici ignoti fino a quel tempo; e per impulso dl Cauchy, Abel, V. Staudt, Weierstrass, Kronecker, G. Cantor ed altre menti di eletta indole critica, essi si dettero ad analizzare i loro processi dimostrativi, a rive­der la catena dei loro teoremi, a indagare e notare tutte le ipotesi che s’eran di nascosto insinuate nei loro ra­ziocini: in somma a scalcinar le pareti e a scoprire i fon­damenti dei loro edifizi speculativi, per costatarne la mag­giore o minor solidità e resistenza. L'analisi infinitesimale, i cui principi serbavano ancora qualcosa di misterioso e di paradossale, fu definitivamente stabilita sulla dottrina rigorosa dei limiti; la teoria delle funzioni fu approfondita e liberata da molti pregiudizi d’origine intuitiva: onde il maraviglioso e proteiforme sistema, dell’analisi matematica astratta si palesò capace di reggersi tutto sul concetto di numero intero e sugli assiomi aritme­tici; e potè constatarsi in modo non dubbio la in­sufficienza, dell’intuizione, come principio e fonte delle nostre conoscenze intorno al numero e alla quantità. La Geometria e la Dinamica, spogliate a poco per volta d’o­gni elemento intuitivo, divennero infine veri sistemi ipo­tetico-deduttivi: dove -premesso un certo numero d’as­siomi e postulati (che possono anche dissimularsi, sotto veste di definizioni)- tutto il resto procede per sola virtù del discorso razionale.

Nacquero e si organizzarono la geometria di posizione, la dottrina degli aggregati e dei gruppi di trasformazio­ni (tre colonne della odierna matematica pura): da cui si manifestò che le scienze del numero e della grandezza non erano già primordiali -come si stimò lungo tem­po- ma che anzi riposavano sopra dottrine di carat­tere piuttosto logico che matematico, e sopra nozioni che nulla avevano di quantitativo15.

Dall’altro canto la Logica, specialmente per opera di matematici, usciva proprio in quel tempo dal suo torpo­re secolare16. Dapprima, accorgendosi di non aver nem­meno esplorato e dissodato l’intero campo, dove Aristo­tile l’avea circoscritta, scopriva nel ristretto dominio delle relazioni d’inclusione fra concetti ben altre forme di de­duzione, che i troppi famosi modi del sillogismo; quat­tro dei quali su diciannove -e cioè le forme in Da­rapti, Bramantip, Fesapo e Felapton- si trovaron fallaci, ove non si congiunga alle due premesse una certa proposizione esistenziale 17. Appresso, ispirandosi ai me­todi e al simbolismo dell’Algebra, la Logica formale si costituiva., per la prima volta dopo Leibniz, sotto il du­plice aspetto d’un Calcolo delle classi e d’un Calcolo delle proposizioni: due indirizzi paralleli, dove spuntano analogie mirabili; il primo dei quali é più elementare e si scosta meno dalla logica classica, dove l’altro (che oggi tende a prevalere) è più generale e va più lonta­no. Di più, considerando che la mente nostra -così nella vita quotidiana, come nell’investigazione scien­tifica- ha da operare con ben altre relazioni, che non son quelle d’inclusione e di predicazione fra concetti, la Logica intraprendeva a notomizzare e classificare ogni sorta di relazioni, e a studiarne quelle proprietà formali, che le rendon capaci di deduzione: e assumeva pertanto il carattere universale di Logica delle relazioni nel quale si va confermando ogni giorno, se stiamo ai più recenti lavori di Schroeder, Poreski, Whitehead, Russel ed al­tri. E poichè le relazioni più semplici e più suggestive sono appunto quelle, che intercedono fra gli oggetti a contorni ben definiti delle discipline matematiche, si ap­plicò dapprima il nuovo istrumento a codeste discipline: non solo recandovi il contributo di più sicuri metodi e di più potenti mezzi d’analisi; ma sì ancora (che non val forse meno) tutti gli spiriti e gli abiti intellettuali del nuovo indirizzo logistico.

Così nasceva e si sviluppava intorno ai principii delle matematiche pure una bella fioritura di ricerche, condotte secondo i nuovi intenti e le nuove esigenze da un’eletta schiera di giovani -specialmente Inglesi, Italiani e Nord-Americani- fra i quali mi è caro ricordare i nomi di C. Burali, G. Fano, G. Frege, H. G. Hungtington, Ph. Jourdain, E. H. Moore, G. Peano, A. Padoa, B. Russel, J. Royce, O. Veblen, G. Vailati, G. Vacca, A. N. Whitehead. E ne risultò che il carattere di dot­trina meramente formale, impresso fino ab antico nella Logica deduttiva, si poteva ormai riconoscere, più o meno palesemente, nell’Aritmetica, nell’Algebra dei nu­meri reali e complessi, nella Megatologia, e -quel che più conta- in ogni ramo del grande albero geometrico e in buona parte della Meccanica, dove per lo in­nanzi regnavano senza contrasto l’evidenza intuitiva e il giudizio sintetico a priori.

Per questa via si compieva ai nostri giorni il con­nubio o, a dir meglio, la fusione della Logica con la Matematica pura. Non si discerne più bene dove finisca la logica e dove cominci la matematica; nè si distinguon fra loro queste discipline, fuorchè dicendo con Bertrando Russel18 che “la Logica costituisce la parte più generale della Matematica, e la Matematica consiste nel­l’applicazione dei principii logici a certe speciali relazioni”. Alla qual conclusione molto si accosta H. Fehr, segnalando che “dei non pochi nè scarsi pro­gressi compiuti dalla Logica nel secolo scorso dobbiamo esser grati ai matematici, e all’interesse che pongono sì nell’analisi logica della loro scienza, sì nella ricerca dei suoi principii: i quali ordini di studio cospirano insieme a mostrarci, che la Logica è dottrina matematica per la sua forma, e la Matematica è dottrina logica per il suo metodo; onde procede e si effettua l’unione, se non l’unità, di queste due discipline”19.

* * *


Già un terzo di secolo fa Beniamino Peirce definiva le Matematiche per quelle scienze che traggono conclu­sioni necessarie (o, come altri direbbe, a priori),facendo un sol corpo di tutte le discipline deduttive20 . E invero si scopre sempre qualche elemento matematico in ogni processo deduttivo; anzi in qualunque operazione, dove il ragionare con precisione e rigore abbia luogo ed ufficio non trascurabile. Qualunque soggetto divien ca­pace di trattamento matematico, non appena si scorgono in esso dati certi e precisi, onde possan ritrarsi conse­guenze per via di puro raziocinio. Che quei dati si pre­stino ad esser valutati, elaborati e plasmati in modo quantitativo, anzichè qualitativo (così da potervi intro­durre la misura) è circostanza bensì favorevole, ma non propriamente necessaria perché una dottrina acquisti ca­rattere matematico: di guisa che per es., quando anche gli psicologi non riuscissero a fornirci esatte misure in ordine alle sensazioni, volizioni ed altri fatti di lor com­petenza, non sarebbe esclusa per questo la possibili­tà d’una psicologia matematica21. Notammo già di passaggio, che alcune parti della matematica odierna -­come la geometria di posizione e la dottrina generale dei gruppi di trasformazioni- si son rese al tutto in­dipendenti dalle nozioni di grandezza e di misura. L’e­lemento matematico potrà consistere, ad es., nel solo fatto che una medesima proprietà non si offra per so­lito come isolata da tutto il resto, ma figuri ad un tempo in parecchi dati e in diverse proposizioni, per mezzo delle quali essa venga a connettersi con altre proprietà: basta allora il solo processo logico della deduzione per ricono­scere in queste altre proprietà l’esistenza di nuovi le­gami e di nuove connessioni.

Una dottrina costituita per intero da proprietà sconnesse ed autonome (come son molte leggi così dette empiriche) offrirebbe l’aspetto d’un catalogo di proposizioni, ciascu­na emergente da un peculiar gruppo di osservazioni ed esperienze; e inetta pertanto a servir di riscontro alle altre, o a comunicar loro quel maggior grado di credibilità o sicurezza, di cui eventualmente godesse. Benchè in diversa misura, la più parte delle scienze si scostano assai da questo tipo estremo: e tanto più ciascuna, quanto più sono frequenti in essa le proposizioni atte ad esser ravvicina­te fra loro in modo da far risaltare, che uno stesso fe­nomeno A, p. es., abbia qualche relazione determinata e costante con altri fenomeni B, C, ecc. Le scienze, dove questa condizione è talmente soddisfatta, che niuna pro­posizione vi figuri come isolata e abbandonata a sè stessa, sono spinte dalla legge del minimo sforzo ad organiz­zarsi in sistemi di conseguenze prontamente deducibili, per sola magia del discorso, da alcuni gruppi di proposizioni fondamentali opportunamente scelte (assiomi o pro­posizioni primitive); e acquistan pertanto il carattere di scienze deduttive 22. In breve, possiam dire che una dot­trina s’avvia per lo stadio deduttivo, allorchè diviene in qualche modo capace di atteggiarsi, costituirsi e ampliarsi ‘more geometrico’: come oggi interviene p. es. alla Chimica e all’Economia politica, e non è forse lontano dal verificarsi in qualche ramo di Biologia e di Lingui­stica. Ma, dove per es. nella Chimica l’elemento ma­tematico (quantunque ci abbia raggiunto proporzioni rag­guardevoli) è tuttavia subordinato, prevale esso ormai d’ogni parte nella Fisica, e da gran tempo s’impone al­l’Astronomia -che ambedue ci offron magnifici esem­pi di teorie deduttive.

Che poi la deduzione abbia potuto affermare da secoli un pieno ed assoluto dominio sulla Geometria -e in generale sulle scienze matematiche- non farà meraviglia, se si considera che gli assiomi e le relazioni d’ogni disciplina puramente matematica possiedono in grado eccellente codeste qualità associative e quel certo pote­re di combinazione, a cui poc’anzi alludevo: virtù che tanto conferiscono, alla fecondità ed efficacia del metodo deduttivo. E incero, relazioni come quelle che si desi­gnano con le frasi “è uguale a”, “è maggiore di”, “è funzione di”, “è projettivo a”, ecc., sono tali, che dal loro intercedere fra una quantità o figura, ed un’altra, e fra questa seconda e una terza, si può to­sto inferire il loro sussistere fra la prima e la terza, senz’uopo di alcuna constatazione diretta.23

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Ma v’è qualcosa di più perfetto di là dallo stadio deduttivo, quale si offre, a mo’ d’esempio, nell’Astronomia, nella Cristallografia, nell’Ottica geometri- ca: e questo è lo stadio formale, o logistico. Le materie prime dell’Astrono-mia, dell’Ottica, dell’Economia, ecc., ci son tutte fornite immediatamente dall’esperienza; e non sem­pre si posson pensare le leggi di queste dottrine facendo astrazione dal senso fisico e concreto dei termini, che ne rappresentan gli oggetti -come materia, gravitazione, luce, cristallo, moneta., etc.- laddove, se consideriamo ad es. l’Aritmetica o la Geometria, vedremo che, senza venir meno ai postulati di queste scienze, è lecito (e spesso anche opportuno) attribuire alle parole che ne rappresentano i concetti primordiali -come sarebber qui numero intero e successivo di un numero, punto e congiungente due punti, ecc.- parecchi significati di­versi fra loro, ed anche molto remoti dal senso conferito a que’ termini dall’ordinaria intuizione di spazio e di numero. Insomma la Geometria, come l’Aritmetica, pos­sono stare e vivere indipendentemente da ogni speciale interpretazione de’ loro concetti primitivi: in esse la for­ma prevale così sulla sostanza, che da questa si può an­che astrarre, volendo: laddove il simile non si potrebbe dire oggi di varie altre discipline deduttive. Guardando alla materia, vediamo bensì che l’Aritmetica abbraccia e contempla ne’ suoi schemi tutto quanto il numerabile (o che si possa far corrispondere a numeri), la Geome­tria tutto quanto il figurabile (o che si possa rappre­sentare per punti e figure); ma non è tolta per questo la facoltà di concepir l’una e l’altra come studio for­male d’un certo ordine di relazioni logiche: posto che nè anche la Logica perde la sua qualità di dottrina for­male per eccellenza, in quanto si definisca nei rispetti della materia (seguendo p. es. l’Itelson24), “come scien­za degli oggetti in generale, reali o no, possibili ed im­possibili, senza, riguardo all’esistere”.

La natura, formale d’una disciplina sta in ciò massi­mamente, che gli oggetti vi compariscon solo per quel che hanno di comune, e sotto relazioni, dove si comportino nello stesso modo. Così l’impronta che meglio distingue gli oggetti matematici par che sia l’idea, d’ordi­ne; onde la Matematica, si potrà concepire come dottri­na degli oggetti ordinati: ma se poi riflettiamo che nello studio puramente matematico di un tutto comunque ordi­nato si suol trascurar la natura degli enti che lo compongono, per non considerarne che l’ordine e le relazioni a cui questo è dovuto, saremo indotti a veder piut­tosto nella Matematica -o almeno nella sua parte più evoluta- una dottrina dell’ordine, una scienza formale di relazioni d’ordine: relazioni che spettano di buon diritto alla Logica per la loro forma, nel modo stesso che le leggi fisiche appartengono, per la forma, alla Matematica.

Perciò, rispetto ad alcune parti della Matematica, la concezione di B. Peirce pare oggidì superata: e non può negarsi che i lavori della Scuola logico-matematica, abbian contribuito a dar linee e contorni precisi al nuo­vo quadro delle conoscenze matematiche; particolarmente alla distinzione fra matematiche pure e matematiche applicate. In sostanza il Peirce




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