Matematica ri Creativa



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Matematica ri Creativa



Sotto l’ ombrellone

Racconti, giochi e quiz matematiche


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Introduzione

Si dice che la matematica sia la pecora nera tra tutte le discipline scolastiche, poiché spesso gli studenti vedono in essa solo una serie di “regole” e “dogmi” da imparare a memoria. Eppure c’è un settore della matematica che, quando viene proposto ai ragazzi, non solo li diverte, ma consente loro di scoprire il fascino e la potenza del ragionamento logico, attraverso enigmi che si ispirano a problemi pratici e alla vita quotidiana. Questa branca è la “matematica ricreativa”.

Ho potuto constatare durante la mia esperienza di insegnante di matematica che molti studenti, anche quelli poco interessati alla disciplina, se messi di fronte ad un indovinello, ne rimangono affascinati e si divertono molto nel tentativo di risolverlo. E spesso ci riescono!

Ritengo che questo aspetto della logica ricreativa non dovrebbe essere sottovalutato dalla scuola, non soltanto per la sua capacità di divertire, ma anche e soprattutto per il suo innegabile valore pedagogico. Infatti, ho sperimentato personalmente che il gioco matematico è uno strumento molto efficace che può aiutare l’insegnante a catturare l’interesse degli scolari e, nel contempo, può aiutare gli studenti apparentemente meno portati verso la matematica a recuperare la propria autostima.

Diceva Quintiliano: “I discenti non sono vasi da riempire, ma fiaccole da accendere”. Ritengo che questo principio si applichi su misura all’insegnamento della matematica. A mio parere non è possibile interessare i ragazzi allo studio della matematica se prima non si “accende” in loro la curiosità verso questa disciplina, il gusto della ricerca, il piacere della soluzione.

Nel presente libretto il lettore verrà sfidato a risolvere giochi, indovinelli e problemi ispirati alla vita di tutti i giorni. Non mancheranno, tra un gioco e l’altro, aneddoti e curiosità su matematici famosi, sulle loro vite, le loro manie, le loro brillanti intuizioni. Aspetti umani e caratteriali, che solitamente restano nell’ombra dei seriosi libri scolastici, ma che ci svelano quanta vibrante vitalità si nasconda dietro un teorema o un concetto matematico.

Antonella Mongiardo



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Buon divertiment !




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Raccontami…

Si dice che i matematici abbiano la testa per aria. Sarà vero? Chissà! Fatto sta che del matematico Weiner si racconta fosse davvero molto distratto. La storiella che stiamo per raccontarvi pare sia accaduta realmente.



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Il giorno in cui la sua famiglia doveva traslocare da Cambridge a Newton sua moglie era molto preoccupata. Siccome era certa che egli si sarebbe dimenticato sia del fatto che avevano traslocato, sia dove avevano traslocato, ella scrisse su un foglietto il loro nuovo indirizzo e gli disse mi metterselo in tasca.

Naturalmente, durante il giorno Weiner ebbe un’intuizione matematica. Così si frugò nelle tasche, trovò un pezzo di carta e vi scarabocchiò sopra alcune note. Poi si rese conto che c’era un errore e buttò via il foglio. In serata tornò a casa, al suo vecchio indirizzo, naturalmente.

Trovando tutto chiuso, si ricordò che avevano traslocato ma non aveva idea di dove si erano trasferiti e di dove fosse finito il foglietto con il nuovo indirizzo.

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Per fortuna gli venne un’idea. C’era una ragazza sulla strada ed egli pensò di chiederle se sapeva dove la sua famiglia si era trasferita. Tutto sommato qualcuno del luogo doveva pur conoscerlo!

Si avvicinò alla ragazza e le chiese:

- Mi scusi signorina, forse lei mi conosce. Sono Norbert Weiner e la mia famiglia ha traslocato proprio oggi. Per caso lei sa mica dove ci siamo trasferiti?



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La ragazza gli rispose:

- Si, papà, la mamma mi ha mandato a cercarti. Vieni, ti accompagno a casa.

(Web, Richard Harter, Computer Corp. Of America, Cambridge, MA )




Gioca con me…
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Sulla riva di un fiume ci sono un barcaiolo, un lupo, una capra e una cesta di cavoli. L’uomo li deve trasportare da una sponda all’altra con la barca. Tenendo conto che il nostro amico può trasportare al massimo uno di essi, come può fare a portare dall’altra parte del fiume tutti e tre sani e salvi, impedendo che, durante il trasporto, la capra mangi i cavoli, o che il lupo mangi la capra? (Per esempio, se il barcaiolo trasportasse prima il lupo, resterebbero a terra capra e cavoli, e ciò non va bene perché la capra mangerebbe i cavoli!)


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Risolvimi…

Carla ha un girovita di 80 cm. Vuole realizzare una cintura per sé, ma dispone di un nastro lungo soltanto 50 cm. Allora cerca di trovare un altro nastro da cucire all’ estremità di quello che già possiede. Frugando tra gli oggetti di sua sorella trova un nastro di uguale colore, lungo 4 dm. Se Anna unisce i due nastri può realizzare una cintura? Perché?



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Raccontami…


Lo spiritoso trucco per ricordare la tabellina del nove


Un candidato ad un concorso si trova in difficoltà nel compilare il seguente schema, del quale conosce solamente la prima e l’ultima risposta:
9 x 1 = 9

9 x 2 =


9 x 3 =

9 x 4 =


9 x 5=

9 x 6 =


9 x 7 =

9 x 8 =


9 x 9 =

9 x 10 = 90


Poiché per superare la prova bisogna dare almeno la metà delle risposte esatte, il nostro amico va a numerare, dall’alto verso il basso, quelle incomplete, per vedere se ha raggiunto il numero sufficiente di risposte richiesto:
9 x 1= 9

9 x 2 = 1

9 x 3 = 2

9 x 4 = 3

9 x 5 = 4

9 x 6 = 5

9 x 7 = 6

9 x 8 = 7

9 x 9 = 8

9 x 10 = 90

Non sicuro di aver contato bene, vuole ripetere la numerazione, ma stavolta dal basso verso l’alto:
9 x 1= 9

9 x 2 = 18

9 x 3 = 27

9 x 4 = 36

9 x 5 = 45

9 x 6 = 54

9 x 7 = 63

9 x 8 = 72

9 x 9 = 81

9 x 10 = 90

Sconsolato, l’aspirante consegna il suo foglio, convinto di non aver superato l’esame. Ma, con sua grande meraviglia, qualche tempo dopo, si ritrova nella graduatoria dei vincitori. Aveva risposto bene a tutte le domande!

Gioca con me… http://backoffice.mercurydrops.com/images/uploads/1338280061-1.jpg
Un uomo vive al dodicesimo piano di un palazzo. Ogni mattina prende l’ascensore, si dirige a piano terra e lascia l’edificio.

La sera, ritornando a casa, prende l’ascensore per salire al suo appartamento, e se c’è qualcuno dentro, o se quel giorno piove, va direttamente al suo piano.

Invece, se non c’è nessun altro che in quel momento utilizza l’ascensore, o se quel giorno non piove, va al decimo piano e sale due piani di scale a piedi fino al suo appartamento.

Come spieghi questa strana abitudine?


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Risolvimi…

In un supermercato si vendono le uova in due diverse confezioni, che ne contengono rispettivamente 10 e 12.

In un giorno è stato venduto un numero di contenitori da 12 uova doppio di quelli da 10, per un totale di 544 uova. Quanti contenitori da 10 uova sono stati venduti?

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Raccontami…


La commovente storia di Ramanujan
Molte barzellette prendono benevolmente “in giro” i professionisti in divisa, per caricaturare il fatto che questi uomini d’azione non abbiano gran dimestichezza col ragionamento. Eppure, la storia della matematica smentisce questa credenza. Infatti, non tutti sanno che dagli ambienti della Capitaneria di porto di Madras, nell’ India di inizio ‘900, emerse uno dei più brillanti talenti matematici di tutti i tempi: Srinivasa Ramanujan. Nato in un piccolo villaggio indiano da una famiglia poverissima, Ramanujan non ebbe mai la possibilità di seguire un regolare corso di studi. Tuttavia, già da piccolo rivelò uno straordinario intuito. All’età di quindici anni, ricevette in regalo un libro contenente un elenco di oltre 4000 teoremi matematici, senza dimostrazioni. Il giovane Ramanujan si appassionò talmente alla lettura di questo testo che passò gli anni seguenti a spiegare tutte le formule contenute in esso.

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La creatività che albergava in questo giovane, privo di un’istruzione formale ma che riusciva a inventare le formule dal nulla, ebbe sempre qualcosa di misterioso. Ramanujan sosteneva che le idee gli venivano portate in sogno dalla dea Namagiri, protettrice della sua famiglia.

Negli uffici della capitaneria di porto di Madras, Ramanujan si interessò alla ricerca di una formula che potesse generare i numeri primi. Problema quest’ultimo a cui si erano interessati e si stavano ancora interessando i più grandi matematici dell’epoca, da Gauss a Hardy, nel tentativo di ricostruire la formula scoperta da Riemann cinquant’anni prima e andata persa dopo la sua morte. Così, invece di impegnarsi nell’occupazione tediosa di tenere i registri contabili, egli passava le ore a riempire taccuini di calcoli e osservazioni. Quando nel 1913 Ramanujan inviò la sua formula dei numeri primi al grande matematico inglese G. H. Hardy, quest’ultimo capì che si trattava dell’opera di un genio.

Tra Hardy e Ramanujan nacque una profonda stima reciproca. Hardy cercò di aiutare economicamente l’amico in tutti i modi, trovandogli finanche una sistemazione presso l’università di Cambridge. Gli anni trascorsi a Cambridge videro una collaborazione appassionante tra Hardy e Ramanujan, che traevano piacere l’uno dalle idee dell’altro. Hardy ricorda il periodo trascorso con Ramanujan come uno dei più felici della sua vita.

Tuttavia, il clima freddo di Cambridge non giovò alla salute di Ramanujan, che si ammalò di tubercolosi. Si racconta che Hardy disse a Ramanujan malato nell’ospedale di Putney: “ Il numero del mio taxi è il 1729, mi sembra un numero alquanto stupido”.

Al che Ramanujan rispose:“ No Hardy! No! E’ un numero molto interessante. Il più piccolo esprimibile come somma di due cubi in due modi diversi: 1729 = 10^3 + 9^3 = 12^3 + 1^3”.

Ramanujan morì a 33 anni tra le braccia di sua moglie. Hardy, per ricordare il genio di Ramanujan scriverà: “ Quando sono depresso e costretto ad ascoltare gente pomposa e noiosa, mi dico: Beh!, io ho fatto una cosa che voi non avreste mai potuto fare e cioè aver collaborato con Ramanujan pressappoco alla pari”.

Gioca con me… http://backoffice.mercurydrops.com/images/uploads/1338280061-1.jpg

In pizzeria, Carlo e Pino ordinano due pizze. Carlo ne chiede una normale, di 20 cm di raggio, mentre Pino ne ordina una di formato maxi( di stesso gusto e spessore ), di raggio doppio, ossia di 40 cm. Al momento di pagare il conto, Carlo paga 3 euro, mentre Pino ne paga 12. Pino si arrabbia, facendo notare alla cassa che la sua pizza, avendo raggio doppio di quella di Carlo, dovrebbe costare il doppio e non il quadruplo. Ma, il cassiere, che è un giovane studente amante della matematica, gli dà la corretta spiegazione del prezzo più alto. Qual è la spiegazione?



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Risolvimi…

Maria deve comprare un maglione che costa 85 Eu e un jeans che costa 110 Eu. Gli stessi due articoli di abbigliamento si trovano in due negozi. In un primo negozio, per ognuno di questi capi lo sconto è del 20%. In un altro negozio lo sconto è del 15%, ma se si raggiunge la cifra di 120 Eu si ha un ulteriore sconto del 10% sulla cifra già scontata. In quale negozio a Maria conviene acquistare il maglione e il jeans?



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Raccontami…

Una simpatica magia con i numeri
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Ci sono dei giochi matematici che, se svolti alla presenza di spettatori, riescono ad avere un effetto sorpresa grazie al misterioso meccanismo che ne determina sempre la riuscita. Interessanti esempi di “magie” matematiche ce li offre Walt Disney nel cartoon “ La matemagica ”, nel quale molte proprietà dei numeri e concetti geometrici vengono spiegati ai ragazzi, con un linguaggio semplice e coinvolgente, da fantastici personaggi animati.

Altre “stranezze” che riguardano i numeri le abbiamo scovate spulciate nei testi di logica ricreativa. Volete stupire i vostri amici? Allora non perdetevi questo simpatico gioco da salotto.



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Chiedete ad uno spettatore A di pensare un qualsiasi numero di tre cifre e di scriverlo su un foglietto due volte di seguito, in modo da ottenere un numero di sei cifre ( per esempio, 394.394 ). Voltandovi di spalle in modo da non poter vedere il numero, chiedete ad A di passare il foglio ad un altro spettatore B, al quale chiederete di dividere il numero per 7.

Non preoccupatevi del restogli direte “ perché non c’è”. B resterà sorpreso nello scoprire che avete ragione( per esempio, 394.394 diviso per 7 dà 56.342). Senza dirvi il risultato egli lo passerà allo spettatore C, che dovrà dividerlo per 11. Ancora una volta dichiarerete che non c’è resto ed avrete ragione anche questa volta ( 56.342 diviso 11 dà 5.122 ).

Sempre con la schiena girata e, naturalmente, senza conoscere alcuno dei numeri ottenuti con questi calcoli, rivolgetevi ad un quarto spettatore D perché divida l’ultimo risultato per 13. Risulterà ancora una divisione esatta

(5.122 diviso 13 dà 394 ). Il risultato finale viene scritto su un pezzetto di carta, che viene piegato e dato a voi. Senza leggerlo passatelo allo spettatore A e ditegli di aprire e di controllare che vi risulti il suo numero originale di tre cifre. Questo gioco riesce sempre, qualunque sia il numero di tre cifre scelto in partenza? Perché? Rifletteteci un po’... ;-)



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Negli ultimi anni ha sollevato molto interesse fra gli appassionati di logica ricreativa una categoria di indovinelli ispirati alla ricerca di monete false. Tra questi ce n’è uno molto noto, proposto in diverse varianti dai testi di enigmistica, che ha intrigato perfino l’arguto tenente Colombo, durante una delle sue indagini, come ricorderanno gli affezionati della nota serie televisiva. Eccone una versione semplice e graziosa. Ci sono dieci sacchetti chiusi, numerati da 1 a 10, ciascuno dei quali contiene monete dello stesso tipo (ad esempio 1 €). In realtà uno dei sacchetti contiene solo monete false, ma non sappiamo qual è questo sacchetto, fra i dieci. Ipotizziamo di sapere quanto pesa una moneta vera e di sapere che ogni moneta falsa pesa un grammo in più del giusto. Avendo a disposizione una bilancia a molla (a un solo piatto), è possibile individuare il sacchetto contenente le monete contraffatte mediante una sola pesata. Come si può fare?


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Risolvimi…

In una fattoria, ci sono molte galline e conigli. Si contano complessivamente 22 teste e 62 zampe. Quante galline e conigli ci sono allora nella fattoria?



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Raccontami…


La magia del numero aureo
Secondo Keplero la matematica possiede due grandi tesori: il teorema di Pitagora e il rapporto aureo. La proporzione aurea ha sempre affascinato matematici, fisici, naturalisti, architetti, pittori, musicisti, poiché esprime bellezza e armonia estetica. Gli studi su quest’argomento, già noto presso gli antichi Greci, furono pubblicati per la prima volta negli “Elementi” di Euclide.

Anche se non del tutto originale, essendo un compendio delle principali teorie matematiche del suo tempo, gli “Elementi” rappresentano un capolavoro di rigore logico. E’ per questo motivo che Euclide viene considerato il padre dell’arte della dimostrazione.


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Il fisico Albert Einstein si appassionò alla geometria euclidea sin dalla scuola elementare, e i suoi brutti voti erano spesso dovuti al fatto che trascurava i compiti scolastici per dedicarsi anima e corpo alla lettura di questo testo. Il filosofo e logico Bertrand Russel, che ebbe modo di avvicinarsi agli Elementi all’età di undici anni, descrive quest’esperienza come una delle più cruciali della sua vita, “entusiasmante come il primo amore”. E si racconta che persino Abramo Lincoln, durante la sua professione forense, decise di allenarsi nella tecnica della dimostrazione leggendo gli Elementi di Euclide. Il che gli costò molte notti insonni nel proprio studio del Kentucky!

Più volte, negli Elementi, viene nominato il rapporto aureo, che Euclide chiama “proporzione estrema e media”. Essa consiste in questo semplicissimo concetto: dato un segmento di estremi A e B, su di esso si deve individuare un punto C che divida la linea in due parti, AC e CB, che devono stare tra loro nella seguente proporzione AC/CB = AB/AC.

A C B


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Mediante passaggi algebrici si trova l’esatto valore del rapporto aureo( indicato con la lettera greca  ), pari a  = 1,6180339887… , che come si vede è un numero irrazionale in quanto, presenta, dopo la virgola, infinite cifre senza un andamento regolare.

Il rapporto aureo, però, non è solo un concetto matematico. Nel corso dei secoli esso ha superato i confini della “scienza esatta” per entrare in altri campi, come quelli delle scienze naturali e dell’arte.

In natura troviamo il numero aureo nella disposizione dei petali della rosa, nella forma della conchiglia, ma anche nei vortici degli uragani e nelle spirali galattiche.

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Nella storia dell’arte, dal Rinascimento in poi, molti illustri personaggi hanno fatto ricorso alla proporzione divina per ottenere la perfezione delle proprie opere d’arte.

Nel ‘400 il matematico e teologo fra Luca Pacioli, nella sua più grande opera “De divina proportione”, dedica attenzione al rapporto aureo e alle sue applicazioni alla struttura del corpo umano. E a tale proposito, si rifà all’ “uomo vitruviano”(inscritto dentro una circonferenza, con braccia e gambe tese), ideato intorno al 50 a.C. dall’architetto romano Vitruvio e illustrato nel famoso disegno di Leonardo Da Vinci.



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In molti dipinti di Leonardo, come la Vergine delle Rocce e la Monna Lisa, l’autore avrebbe stabilito le proporzioni dei volti usando dei rettangoli aurei, ossia rettangoli in cui il rapporto delle due dimensioni coincide appunto con . Pare sia stato lo stesso Leonardo a coniare l’espressione “proporzione divina”.

Agli inizi del ‘900, diversi pittori futuristi e cubisti, tra cui Severino, Picasso e Modigliani, la introdussero nelle loro opere. Figure umane, forme e oggetti venivano vivisezionati e scomposti mediante tecniche geometriche che richiedevano l’uso del numero aureo.
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Anche la musica, considerata una branca della matematica, non è rimasta indifferente al fascino della proporzione aurea. Ne sono testimonianza le sonate di Mozart, in quanto nella strutture di molte composizioni del celebra musicista è presente il numero divino. E’ vero, infatti, che se esso viene applicato ai rapporti fra note e battute, può contribuire alla gradevolezza di un brano musicale. Ma, probabilmente, la ragione per cui la musica di Amadeus è giudicata “divina”, non è solamente merito di !

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