Matematica



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Matematica
L’apprendimento-insegnamento della matematica è da intendersi come una forma di conoscenza della realtà che, partendo dai dati offerti dalla percezione e dall’esperienza sensibile, porta alla loro organizzazione razionale. Quale che sia il livello scolare in cui ci si colloca, non si dà conoscenza della matematica se non si tiene debitamente conto di entrambe queste componenti del pensiero matematico.

In funzione di questo scopo la matematica da un lato richiede, dall’altro produce lo sviluppo di profondi strumenti concettuali, facendo uso di un linguaggio specifico e introducendo una struttura simbolica adeguata alla rappresentazione e formalizzazione di tale linguaggio.

L’insegnamento della matematica fornisce così uno strumento intellettuale di grande importanza: se da un lato le competenze matematiche si rivelano oggi essenziali per comprendere, interpretare e usare le conoscenze scientifiche e tecnologiche indispensabili anche nella vita quotidiana, alla educazione matematica va soprattutto riconosciuto un contributo specifico per la formazione di una struttura di pensiero razionale e critico, che la rende strumento irrinunciabile di crescita culturale e umana.

Attraverso percorsi didattici attentamente preparati è possibile presentare la disciplina matematica in modo che gli allievi siano consapevoli della sua natura e dei suoi obiettivi, valorizzando al massimo il suo importante ed indispensabile contributo, sul piano formativo, allo sviluppo concettuale. In caso contrario si rischia di ridurla ad una pura acquisizione di procedure e considerarla quindi prevalentemente sotto l’aspetto applicativo, cioè qualcosa che si deve imparare perché indispensabile. E’ l’insegnante che deve mettere in gioco la propria consapevolezza degli scopi, del percorso e del metodo, nonché la sua capacità di interagire con l’alunno, per fondare le condizioni di una buona acquisizione matematica.

L’insegnamento della matematica favorisce ed incrementa il rapporto complessivo della persona con ciò che la circonda attraverso lo sviluppo delle seguenti capacità:


  • osservazione della realtà, con particolare attenzione al riconoscimento di relazioni tra oggetti o grandezze, di regolarità, di differenze, di invarianze o di modificazioni nel tempo e nello spazio;

  • descrizione della realtà secondo modalità che, in tempi adeguati, dalle forme verbali o illustrate passano all’uso del linguaggio e degli strumenti matematici (numeri, figure, misure, grafici,…);

  • organizzazione complessiva del proprio modo di ragionare, argomentare, affrontare problemi, acquisendo, oltre alla forme espressive del linguaggio e del senso comune, quelle più caratteristiche della razionalità matematica e scientifica;

  • uso del linguaggio specifico e delle forme simboliche scelte dalla matematica;

  • progettazione e immaginazione, particolarmente attraverso attività di risoluzione di problemi in contesti vari.



Percorso generale

Nella Scuola Primaria è elemento educativo e didattico imprescindibile che l’insegnamento/apprendimento della matematica prenda sempre avvio dall’esperienza posseduta dagli allievi.

Questo significa che conoscenze e abilità non vanno imposti in modo formale, ma che gli allievi devono essere portati a conquistarli attraverso modalità didattiche significative, nelle quali ogni alunno possa essere motivato all’apprendimento e coinvolto attivamente.

Anche le scelte di ogni tipo di convenzione a cui la matematica ricorre, nella simbolizzazione aritmetica e geometrica, come nelle applicazioni ai contesti concreti, possono essere lasciate maturare nella loro comprensione e venire introdotte in modo ragionato e giustificato, in modo da evitare che risultino imposizioni formali, e rappresentino invece vere conquiste intellettuali.

Ciò significa che se, da una parte, per tutto la Scuola Primaria il punto di partenza di qualunque insegnamento matematico è il riferimento all’esperienza osservata e riflessa, dall’altra parte, tuttavia, l’apprendimento può effettivamente avvenire solo attraverso un processo di astrazione che è interiorizzazione del proprio vissuto.

In caso contrario, è probabile che attraverso la matematica non si formi un modo di pensare e conoscere, ma avvenga semplicemente (nel migliore dei casi) qualche accettazione passiva di schemi mentali esterni, in genere poi non completamente compresi. Nei casi più sfortunati, si va incontro all’insuccesso scolastico.

L’apprendimento della matematica necessita di tempi lunghi e di attività molteplici, che mostrino il collegamento delle conoscenze matematiche con le esperienze corporee, con le scienze e, particolarmente, con la lingua.

Nei primi anni della Scuola Primaria è raccomandabile che tali attività abbiano anche frequentemente carattere di gioco, mentre nel procedere dell’esperienza scolastica è bene che emergano aspetti di metodo più sistematici e si raggiungano i livelli di formalizzazione richiesti di volta in volta dall’età dei ragazzi.

Per le sue caratteristiche, la matematica non può essere appresa in sequenza lineare, come se si potesse aprire un argomento per chiuderlo e passare ad un altro. Al contrario non si deve aver timore, nel corso degli anni, di riprendere i medesimi contenuti a livelli via via più complessi.

Il percorso di acquisizione può così essere definito “a spirale”, in quanto procede contemporaneamente all’allargamento dei contenuti e all’approfondimento della comprensione. In questo modo si rende possibile per ciascun ragazzo una sempre maggiore consapevolezza dei passi fatti ed è più probabile il superamento nel tempo di eventuali difficoltà.

L’acquisizione e la capacità di dominare il linguaggio specifico della matematica, sia nell’aspetto verbale sia nelle forme espressive simboliche e grafiche, deve crescere di pari passo con la costruzione dei concetti. Anche il linguaggio non può essere appreso pienamente attraverso un’ imposizione formale e uno sforzo di mero addestramento, ma può essere conquistato in modo spontaneo come forma espressiva di un contenuto mentale posseduto e stabilizzato.

Per questa ragione, l’aspetto linguistico può essere considerato all’interno della formazione complessiva che interessa il pensiero matematico. Infatti, quando ci riferiamo alla formazione della persona, non possiamo limitarci a considerare gli elementi formali o tecnici. Occorre avere una considerazione più ampia, che abbraccia tutte le categorie mentali che sono in gioco nel passaggio dalla razionalità spontanea e naturale, che caratterizza il bambino, alla razionalità consapevole e riflessa che la scuola vuole e deve formare.

Il percorso formativo si svolge attorno a cinque argomenti che organizzano unitariamente gli obiettivi specifici di apprendimento in conoscenze e abilità:


  1. Il numero,

  2. Geometria,

  3. La misura,

  4. Introduzione al pensiero razionale,

  5. Dati e previsioni.

L’indicazione del percorso formativo di matematica si conclude con l’analisi degli obiettivi specifici di apprendimento legati a due procedure mentali caratterizzanti il pensiero matematico:

a. argomentare e congetturare,

b. porsi e risolvere problemi.

I temi degli obiettivi specifici di apprendimento
Il numero. Il tema comprende il percorso fondamentale dell’aritmetica a partire dai numeri naturali per passare quindi ai successivi ampliamenti dei numeri relativi e poi (nella Scuola Secondaria di I grado) dei numeri razionali.

La nozione di numero costituisce un pilastro fondamentale nella formazione matematica, nel quale sono implicati concetti spontanei e concetti altamente formalizzati e astratti.

Si eviterà di introdurre i numeri e le loro operazioni ricorrendo alla teoria degli insiemi (che per altro non viene presentata a questo livello) o ad altre strutture astratte generali, ma si dovrà piuttosto partire dalla realtà concreta nota sperimentalmente agli allievi. L’introduzione empirica e intuitiva del numero dovrà però essere accompagnata da piccoli ma adeguati ed effettivi passaggi verso la razionalizzazione delle nozioni apprese, ricordando che componente essenziale e irrinunciabile della matematica è la sua struttura formale.

L’idea di struttura formale non deve spaventare, quale che sia il livello scolare al quale ci si colloca, poiché interessanti risultati della ricerca didattica hanno dimostrato che, utilizzando strategie educative adeguate, è possibile introdurre ad ogni età scolare significativi e proporzionati livelli di formalismo e di astrazione. In questo ambito si avrà poi cura di far percepire agli allievi, in particolare, la forza concettuale dello strumento matematico, partendo dagli esempi offerti dai numeri. Si potrà così mettere in evidenza il fatto che lo stesso strumento formale, il numero, si presta a descrivere realtà molto diverse fra loro (persone, oggetti concreti, nozioni astratte) e modalità di esistenza anche differenti (contare la numerosità di aggregati, indicare l’ordinamento di allineamenti, …).

Si raccomanda infine, seguendo il processo di successiva concettualizzazione e approfondimento delle nozioni relative ai numeri, di sottolineare i passaggi che, a partire dalla nozione intuitiva e concreta di numerosità di un certo aggregato di oggetti, porta alla nozione più astratta e generale di numero, che tale numerosità rappresenta, per arrivare infine all’idea ancora più astratta di famiglie di numeri, cioè agli insiemi numerici. È con questi oggetti astratti, si può dire, che comincia veramente il pensiero matematico attraverso l’introduzione delle operazioni caratterizzate dalle loro regole di comportamento (le proprietà delle operazioni stesse).

L’approccio alla nozione di numero e all’aritmetica ora descritto costituisce, dunque, una prima occasione per sperimentare quel processo continuo di evoluzione del pensiero matematico che procede dal concreto all’astratto, chiarendo, approfondendo e generalizzando ciclicamente, mediante lo strumento razionale astratto, il riferimento concreto e intuitivo sul quale il pensiero si appoggia. Questo processo continuo di evoluzione caratterizza tutta la struttura della disciplina matematica, ma trova nell’aritmetica una descrizione esemplare e illuminante.

Si comprende quindi perché l’apprendimento delle nozioni che faranno parte di questo Tema non possa che procedere a spirale, perché ogni passo di astrazione ricomprende e rende evidente in modo diverso anche le precedenti acquisizioni.

Nei primi anni del ciclo si raccomanda di non forzare i tempi dell’acquisizione formale e algoritmica delle operazioni di calcolo. Senza strettoie di tempo, ma presentando molte esperienze che possano facilitare e provocare l’acquisizione di concetti e la giustificazione dei simboli, si può prevedere che entro il primo biennio ( tra la prima e la terza classe) possa essere completamente e solidamente acquisita l’operatività con le operazioni aritmetiche dirette e inverse e con i loro algoritmi di calcolo.

Su questa base, il secondo biennio (quarta-quinta) può portare all’introduzione del concetto di frazione, allo sviluppo delle capacità di calcolo con numeri anche grandi e con numeri decimali, alla stratificazione di relazioni e proprietà sui numeri che concorrono alla loro comprensione anche più dell’addestramento operatorio.
Geometria. Questo tema costituisce un ambito particolarmente privilegiato di riflessione e razionalizzazione, svolto a partire dalle esperienze spaziali che sono componente essenziale della nostra percezione fisica.

Il processo di “evoluzione continua” dal concreto all’astratto, già illustrato a proposito del Numero, si arricchisce, nel caso della Geometria, di ulteriori esempi e specificazioni.

Nella prospettiva di tale evoluzione l’insegnante curerà prima di tutto, attraverso molteplici esempi, l’osservazione e manipolazione di oggetti fisici opportuni, che con il loro aspetto possono ispirare l’intuizione successiva di specifici enti geometrici.

Con un ulteriore processo di astrazione e generalizzazione si potrà poi passare dagli oggetti fisici concreti ad una loro modellizzazione schematica astratta, che rappresenta una prima forma di razionalizzazione: sono tali le rappresentazioni grafiche del disegno o la costruzione materiale di modellini concreti. Si giunge in tal modo alla intuizione dell’idea di figura geometrica.

Il passo successivo si realizzerà poi (alla fine della Scuola Primaria e nella successiva Scuola Secondaria di I grado) raggiungendo la definizione razionale, astratta e rigorosa, di figura geometrica. Questa si fonda sulla caratterizzazione razionale dell’oggetto geometrico indagato, basata su certe sue opportune proprietà rigorosamente individuate.

L’approccio alle proprietà geometriche delle figure avverrà dunque secondo due linee d’indagine, intuitivamente e psicologicamente legate tra loro, ma del tutto indipendenti dal punto di vista della rappresentazione razionale. Si tratta, in altre parole, di riconoscere nella realtà le proprietà e i comportamenti degli oggetti e delle loro modellizzazioni intuitive e materiali. Questo complesso di intuizioni e di verifiche sperimentali costituisce l’insieme delle proprietà plausibili e verosimili che sensatamente la nostra mente si aspetta che siano alla base della disciplina geometrica.

Tuttavia, se ci si ferma a questo primo livello, non si può parlare di scienza matematica. La matematica nasce quando si costruisce una dottrina, astratta, razionale, generale, in cui le proprietà, già intuite sperimentalmente, vengono confermate e quindi approfondite e generalizzate con lo strumento della deduzione razionale. Esiste un rigore per ogni età, ma non si dà matematica senza rigore. Sarà compito dell’insegnante, nella sua autonomia e nella sua professionalità, stabilire il giusto equilibrio tra intuizione e rigore, tra plausibilità e verità.

Per valorizzare al massimo l’insegnamento-apprendimento della geometria l’insegnante avrà cura di favorire e stimolare negli allievi il formarsi di immagini mentali ricche e suggestive, esercitandoli anche ad operare su di esse, in una educazione al pensiero astratto e, contemporaneamente, all’esercizio della intuizione e della fantasia creatrice.

Particolare cura dovrà essere dedicata alla formazione e alla educazione di una sicura intuizione spaziale. A tal fine l’insegnante potrà operare, prima con l’aiuto di modelli concreti, poi appoggiandosi a rappresentazioni simboliche (anche materiali, come il disegno, purché sempre di significato univoco, oppure virtuali, utilizzando prudentemente opportuni software didattici), infine mediante processi razionali astratti ed, eventualmente, anche formali, purché sempre adeguati al livello scolare in cui si è collocati.

L’introduzione di una quadrettatura nel piano può essere presentata come un primo esempio di razionalizzazione (effettuata, ad esempio, a partire dal geopiano o da altri analoghi sussidi didattici). La quadrettatura del piano è uno strumento particolarmente duttile e stimolante, che si presta sia ad esercizi manipolativi concreti e intuitivi, sia alla elaborazione precoce di vere e proprie forme di pensiero astratto, proponibili tuttavia anche in una classe prima della Scuola Primaria. Occorre anche notare che l’abitudine alla procedura astratta di operare su una quadrettatura si potrà rivelare una preparazione concettuale ideale per introdurre, a suo tempo, la nozione di sistema di coordinate, comprendendone a fondo l’aspetto di linguaggio descrittivo e rappresentativo.

Risulta evidente dalla analisi fin qui effettuata che il percorso didattico che viene ora presentato eviterà certamente di prendere l’avvio da un’imposizione astratta di nomi o da rappresentazioni convenzionali di oggetti non provenienti dall’esperienza. Il fanciullo, nei primi tre anni della Scuola Primaria, dovrà diventare sempre più consapevole, e in modo razionale, delle proprie esperienze in relazione allo spazio fisico in cui è immerso, fino a darsene una rappresentazione indipendente dall’esperienza stessa.

A quel punto, le figure indicano gli oggetti dell’indagine e scoperta geometrica, dando l’idea di un ricco materiale di conoscenza da acquisire partendo dall’osservazione, resa via via più acuta e attenta alle diverse relazioni che riguardano tali oggetti. Le figure rivelano un’ampia gamma di analogie e differenze, somiglianze e dissomiglianze e la geometria è proprio lo studio di queste procedure di confronto, lo studio di ciò che varia e di ciò che rimane inalterato, lo studio di ciò che rende uguali oppure diverse figure tra loro distinte.

Nel procedere delle conoscenze, all’osservazione diretta di contesti concreti (attività che deve essere prevalente in tutto il ciclo elementare) va aggiunta l’acquisizione di un lessico specifico e adeguato, che aggancia e sostiene i concetti, e l’uso consapevole della rappresentazione grafica, sia nella forma costituita dal disegno manuale, sia in quella assistita dai possibili software grafici oggi disponibili.

Particolarmente significativo, come si suggerirà più avanti, è il collegamento della Geometria con la Misura.


La Misura. L’importanza di questo tema consegue dal fatto che qui si tocca un punto nodale della disciplina matematica, che si offre come strumento di modellizzazione e codificazione delle più svariate realtà scientifiche e tecnologiche, ivi inclusi anche rami diversi della matematica stessa.

La procedura della misurazione infatti permette di trasformare valutazioni qualitative e inevitabilmente soggettive, in valutazioni quantitative, quindi con caratteristiche di oggettività e trasferibilità.

Esprimere poi tali valutazioni quantitative mediante numeri che appartengono ad insiemi dotati di specifiche proprietà formali dominate da leggi sintattiche rigorose, permette di elaborare e confrontare tra loro i dati relativi a queste valutazioni, sfruttando a fondo, in tal modo, la ricchezza di informazione che la procedura di misurazione procura. Queste considerazioni mettono in evidenza gli aspetti di utilità e applicabilità pratica della matematica, aspetti che bastano, agli occhi di molti, per giustificare l’importanza di questa scienza nei riguardi della vita reale.

D’altra parte, però, la concezione della matematica come modalità di codificazione della realtà sottolinea anche la caratteristica di linguaggio razionale e formale che costituisce uno degli aspetti più significativi e qualificanti della disciplina. L’insegnante avrà dunque cura di far percepire agli allievi l’aspetto della matematica intesa come linguaggio, sottolineando il ruolo, paragonabile alle regole grammaticali e sintattiche, che è svolto dalle proprietà delle operazioni e delle relazioni che costuituiscono la struttura simbolica della disciplina.

Da queste considerazioni discende che la funzione svolta dalla Misura nel processo di insegnamento-apprendimento della matematica è molteplice.

Da una parte, la conoscenza della matematica fornisce uno strumento di immediata utilità pratica, permettendo di rappresentare in modo univoco e operativo le più importanti e abituali grandezze che interessano la vita reale.

D’altra parte l’esercizio di rappresentazione simbolica costituisce una preziosa introduzione al pensiero e alle procedure astratte, basate su regole convenzionali, anche se non arbitrarie.

Infine, riconoscendo l’aspetto di linguaggio formale e astratto che la matematica può svolgere, si arricchisce l’immagine offerta da questa disciplina e si sottolinea il contributo che essa può offrire alla fondazione e descrizione della scienza.

Le conoscenze specifiche di apprendimento che si riferiscono a questo tema comprendono prima di tutto l’individuazione delle proprietà che si devono poter attribuire agli oggetti, reali o simbolici, perché si possano applicare loro appropriate procedure di misura. Qualora il contesto in cui si opera la misurazione sia quello della geometria, si arriverà in questo modo alla nozione classica di grandezza geometrica. Successivamente si applicheranno queste considerazioni agli oggetti più comuni offerti dalla esperienza reale, introducendo per essi i sistemi di unità di misura più comuni.

Le conoscenze che si riferiscono in modo specifico alla misura in Geometria sono indicate nel relativo tema. Lo studio delle tematiche legate alle procedure di misura relative ad oggetti geometrici potranno offrire l’occasione per una riflessione su una peculiare caratteristica della matematica, di essere cioè una scienza capace di descrivere se stessa.

Infatti, l’operare con le misure di oggetti geometrici (lunghezze, perimetri, aree, …) permette di sperimentare già a livelli molto elementari quella procedura, che è ricorrente nella matematica, per cui un ramo della disciplina descrive, rappresenta, sostituisce un altro. Nell’esempio in questione si tratta della aritmetica che, con i suoi strumenti e le sue proprietà, rappresenta specifiche relazioni e operazioni geometriche. Negli studi successivi gli allievi incontreranno altri numerosi esempi di questa peculiarità. Nella Scuola Secondaria di I grado, ad esempio, l’introduzione dei sistemi di coordinate sarà un’altra importante occasione di riflessione su questa tematica.
Introduzione al pensiero razionale. Si conglobano sotto questo titolo alcuni rilevanti aspetti della formazione matematica che superficialmente possono apparire scollegati, ma che sono, invece, accomunati dalla loro importanza per la formazione di una mentalità matematica. Ci si riferisce, in particolare, alla acquisizione delle seguenti conoscenze ed abilità:

- formarsi di un linguaggio matematico, nei suoi diversi aspetti, verbale e simbolico;

- acquisire consapevolmente le forme del ragionamento verbale;

- acquisire alcuni concetti e strutture formali (insiemi e loro rappresentazioni, relazioni e loro proprietà, formalismo logico elementare del calcolo delle proposizioni);

- acquisire consapevolmente un pensiero strategico, elaborare comportamenti razionalmente orientati al raggiungimento di certi obiettivi, sulla base di scelte compiute in base al tipo di informazioni disponibili.

Alcuni di questi aspetti diventano, ai livelli superiori, contenuti matematici essi stessi: insiemi, relazioni e funzioni sono oggetti dell’algebra e dell’analisi, mentre la logica formale diventa oggetto indipendente di indagine.

Nella fase primaria della formazione, tuttavia, il livello di capacità astrattiva raggiunta dalla maggior parte degli alunni suggerisce di evitare sostanzialmente ogni forma di formalizzazione. Migliori risultati si otterranno attraverso attività e forme espressive più legate al linguaggio naturale e alla logica verbale, tenendo conto della capacità espressiva degli alunni. Su tale base gli alunni stessi potranno fondare una migliore consapevolezza dei processi mentali e dei concetti sulla quale si potrà, in anni successivi, appoggiare opportune precisazioni e distinzioni.
Dati e previsioni. L’umanità fin dai primordi ha raccolto ed analizzato informazioni espresse sia in forma qualitativa sia quantitativa. Tali raccolte di dati avevano finalità conoscitive legate ai contesti amministrativi ed economici del tempo. La statistica come scienza a sé nasce quando l’analisi dei dati si sviluppa con metodi e forme proprie, legandosi sempre di più a fenomeni collettivi.

La società odierna tramite una tecnologia sempre più potente e nel contempo accessibile a molti, offre una gran massa di informazioni quantitative. Orientarsi in questa quantità di informazioni, comprenderne il reale significato, approfondire la conoscenza non è però facile. E’, inoltre, indispensabile fornire agli alunni, futuri cittadini, gli strumenti che permettano loro di non essere condizionati da informazioni fuorvianti, false e troppo spesso tese ad orientare in una direzione piuttosto che in un’altra. Gli strumenti concettuali per leggere i dati, interpretarli, analizzarli criticamente e per valutare la qualità sono forniti dalla Statistica.

E’ pertanto fondamentale che, sin dai primi anni, la scuola fornisca agli alunni semplici strumenti per raccogliere, rappresentare, analizzare e criticare le informazioni fornite sotto forma di raccolta di dati.

Non sembri precoce l’introduzione di queste attività a livello di primo biennio della Scuola Primaria: i fanciulli, nei loro libri, vedono già grafici, attuano già piccole indagini per conoscersi, ecc. Se l’insegnante saprà strutturare in modo chiaro e semplice queste attività, esse potranno divenire le basi di una alfabetizzazione statistica che è ormai irrinunciabile nella formazione di un cittadino.

Nel primo biennio, i fanciulli potranno organizzare i dati di semplici indagini organizzando libere rappresentazioni iconiche e, dopo un’adeguata discussione su quelle più immediatamente “informative”, passare a rappresentazioni sempre iconiche, ma del tipo “grafici a barre” e quindi a semplici tabelle di frequenze.

Successivamente si potrà passare ad indagini più complesse, basate sia su semplici questionari costruiti dagli alunni per ricavare informazioni su alcuni aspetti o problemi ritenuti rilevanti, sia su dati forniti da Agenzie ufficiali quali Istat, Comuni, Province, ecc. e, successivamente, a dati forniti da altre fonti di informazioni (giornali, TV, …). Si svilupperà, così, un corretto modo di procedere per attuare una semplice rilevazione e, quindi, anche un modo per analizzare criticamente le informazioni fornite dai mezzi di comunicazione. Analogamente sarà importante anche attuare indagini e riflessioni su dati ottenuti dalle attività svolte nell’insegnamento di Scienze.

Si potrà, in questo modo, restando strettamente legati alla realtà degli allievi, introdurre o consolidare concetti e procedure importanti della matematica, quale l’uso del numero in contesti significativi, il senso e le tecniche delle operazioni, la rappresentazione grafica (connessa alla geometria), l’utilizzo del concetto di rapporto, i numeri decimali da questo ottenuti ed usati in contesti significativi, ecc.

Sempre nell’ambito di contesti significativi per i fanciulli, un tipico aspetto della vita quotidiana è l’incertezza che in essa è inevitabilmente presente: fornire agli alunni semplici strumenti per razionalizzarla, per quanto possibile, è compito ineliminabile di una educazione che voglia tener conto della indeterminazione non solo della realtà concreta ma anche delle varie scienze. La formazione culturale del futuro adulto non potrà quindi prescindere dal possesso di strumenti adeguati di tipo probabilistico.

I concetti probabilistici, in quanto inerenti ad aspetti propri della persona, quali l’aspirazione alla certezza, il disagio di fronte a varie scelte possibili, ecc., sono piuttosto difficili da introdurre nella scuola. Si dovrà in ogni caso evitare di trattare tali concetti in modo astratto e con strumenti matematici puramente formali, dando così l’illusione che con semplici formule i complessi aspetti delle situazioni incerte possano essere risolti.

Agli alunni si dovrà, invece, innanzi tutto far comprendere che, di fronte ad una situazione incerta, la prima cosa da fare è ricercare tutte le informazioni possibili non ancora in proprio possesso e, poi, utilizzarle al meglio per stabilire il grado di incertezza della situazione stessa. Per queste ragioni ci sembra opportuno non introdurre espliciti concetti probabilistici nel primo biennio, ma lavorare sulla purificazione dei termini “certo” e “incerto” che dai bambini sono spesso confusi e non adeguatamente compresi.

Nel secondo biennio si potranno porre all’attenzione degli alunni semplici situazioni incerte delle quali potranno qualificare il grado con aggettivi del tipo “molto, poco, abbastanza, ecc…”

A conclusione di questo lento percorso si potranno formalizzare alcune misure di probabilità, evitando di far scaturire misure di probabilità classica da prove ripetute anziché dall’osservazione dell’oggetto generatore di incertezza, quale il dado regolare, la moneta, ecc… Le prove ripetute o le frequenze saranno utili per situazioni più complesse che verranno successivamente affrontate.



Le procedure del pensiero matematico
Le procedure descritte raccolgono due diverse categorie di processi mentali che caratterizzano il pensiero matematico e sono componenti essenziali della cosiddetta “mentalità matematica”. Per esse non verranno indicate conoscenze e abilità, ma solamente competenze specifiche sulle quali l’insegnante dovrà richiamare l’attenzione dei propri alunni al fine di rendere più completa e approfondita la loro interiorizzazione del “metodo matematico”.
Argomentare e congetturare. I processi mentali che, a partire da ipotesi assegnate (o scelte) a priori, permettono, attraverso passaggi e considerazioni razionali, di ottenere conclusioni logicamente congruenti dalle premesse stabilite, costituiscono una componente essenziale, irrinunciabile e caratterizzante del pensiero matematico.

Questi processi mentali, a livello adulto, si riconducono essenzialmente alla struttura ipotetico-deduttiva della disciplina matematica, che è sostanzialmente strutturata secondo catene di deduzioni, o dimostrazioni, svolte a partire da proposizioni che si presuppongono note, o perché assunte come assiomi, o perché a loro volta dimostrate mediante analoghe catene deduttive.

Nella Scuola Primaria non si potrà parlare, in generale, di dimostrazioni razionali. Sarà tuttavia cura dell’insegnante sollecitare sempre gli alunni affinché siano in grado di giustificare con argomenti razionali ogni loro affermazione riguardante enunciati di proprietà matematiche. L’abitudine in tal modo indotta dalle attività svolte nell’ambito della matematica, avrà l’effetto di produrre negli alunni un abito mentale che renderà loro più spontaneo e naturale il rendere ragione di ogni affermazione, conclusione, decisione, in ogni campo di attività, anche ben al di fuori della matematica.

L’abitudine a render ragione di ogni propria affermazione e conclusione porterà gli alunni a distinguere con sempre maggior sicurezza ed esperienza tra enunciati che si possono chiamare “veri”, perché difendibili con argomentazioni ragionevoli e convincenti, ed enunciati di cui non si sa, oppure non si può, render ragione.Questo abito mentale farà coesistere negli alunni la capacità intuitiva di individuare proposizioni o asserzioni che, anche se in quel momento non si è capaci di giustificare ragionevolmente, appaiono tuttavia plausibili. Si potrà parlare in questo caso di congetture che si ipotizza siano dimostrabili, o quanto meno razionalmente sostenibili, qualora si disponga di sufficienti informazioni e argomentazioni.

Le abilità specifiche che si possono indicare come componenti di questa procedura sono le seguenti:

-individuare e descrivere regolarità in semplici contesti concreti e in contesti matematici,

-esprimere semplici congetture e verificarle in opportuni casi particolari,

-avanzare congetture e cercare poi di convalidarle, sia empiricamente, sia mediante argomentazioni adeguate, sia eventualmente ricorrendo ad opportuni contro-esempi.


Porsi e risolvere problemi. Le discipline matematiche, a qualunque livelli le si consideri, si presentano a prima vista come una struttura razionale autoreferenziata e autogiustificata, che solo in base a considerazioni esterne si può riconoscere ispirata in vario modo dalle realtà, oppure capace di rappresentare, descrivere, modellizzare tale realtà esterna, assumendo allora il ruolo di linguaggio formale che illumina e razionalizza la realtà stessa.

Sarebbe però un grave errore ritenere che questa struttura formale e le diverse procedure ad essa associate costituiscano un corpo di pensiero ormai strutturato ed immutabile. Carattere peculiare della matematica, come di ogni altra scienza, è invece un campo di conoscenze in continua evoluzione, sia al proprio interno, sia nei riguardi delle proprie applicazioni e referenzialità.

Lo stimolo a questa continua modificazione e crescita è costituito dagli interrogativi che interrogativi che interpellano la mente dello studioso, rispondendo a sollecitazioni che possono provenire dall’interno della disciplina come dal mondo esterno che la disciplina stessa ispira e utilizza.

Si riconoscono, dunque, da queste osservazioni le ragioni e le modalità per cui l’atteggiamento problematico è connaturato con la mentalità della matematica e si comprende, quindi, l’importanza di questa procedura nel processo di insegnamento apprendimento della matematica.

Va inoltre sottolineato che, ad ogni livello scolastico e in ogni contesto conoscitivo, il risolvere problemi offre importanti occasioni agli allievi per costruire nuovi concetti, nozioni e abilità, per arricchire di significati nozioni già apprese e per verificare l’efficacia di apprendimenti già posseduti.

Affinché le capacità e l’interesse a porre e risolvere problemi possano veramente contribuire alla formazione generale degli allievi, anche al di fuori delle competenze strettamente matematiche, è necessario che agli allievi stessi siano proposti autentici problemi e non semplici esercizi a carattere ripetitivo.



L’insegnante avrà dunque cura di favorire il nascere e lo sviluppo delle seguenti competenze:

  1. in situazioni problematiche, individuare con chiarezza il problema da risolvere e chiarire esplicitamente l’obiettivo da raggiungere,

  2. rappresentare una stessa situazione problematica con diverse modalità (verbale, iconica, simbolica) cercando di individuare il contesto più favorevole per la risoluzione del problema,

  3. in una tale situazione problematica, prestare attenzione al processo risolutivo, esponendolo con chiarezza, e valutare la compatibilità delle soluzioni trovate con gli altri dati del problema.



Indicazioni didattiche
La classe prima. Guidare l’acquisizione del concetto di numero, il passaggio alla rappresentazione simbolica e la manipolazione anche formale delle prime operazioni aritmetiche è compito delicato e complesso. Occorre sottolineare alcune attenzioni:

  1. è necessario abituare i bambini a leggere l’esperienza personale e a descriverla con i termini appropriati;

  2. è opportuno utilizzare strategie legate all’uso quotidiano, da parte dei bambini, di giochi, filastrocche, conti, azioni;

  3. è meglio operare con diversi materiali, sia con materiale di uso comune sia con materiale strutturato, per evitare rigidità e fissazioni, portando gradualmente a cogliere l’invarianza della quantità. Manipolare materiale di diverso tipo, chiedendo di raggruppare e contare per gruppi, per gruppi di gruppi, registrando con modalità differenti, favorisce, infatti, il risalire alla quantità dalla registrazione simbolica e porta alla consapevolezza della convenzione posizionale della numerazione decimale;

  4. per introdurre i simboli, occorre stimolare alla ricerca di rappresentazioni sempre più precise e concettualmente economiche;

  5. si deve abituare l’alunno a considerare l’errore come situazione interessante e utile per tutti;

  6. è opportuno introdurre anche quantità e simboli oltre il cento, per consolidare l’interiorizzazione di schemi rappresentativi;

  7. nell’introdurre le operazioni, è opportuno considerare l’operazione e la sua inversa, per operare in campi concettuali più vasti;

  8. è importante favorire l’osservazione del contesto geometrico da parte dei bambini stessi e stimolarli a utilizzare diverse modalità di rappresentazione, cercando quelle più adeguate;

  9. può rivelarsi fondamentale per acquisire i concetti geometrici l’esplorazione corporea attiva, perciò va ricercata e curata la collaborazione con chi lavora nell’ambito motorio;

  10. anche l’acquisizione delle coordinate temporali richiede l’agire corporeo: è, infatti, a livello corporeo che si strutturano concetti primitivi quali il prima e il dopo, la successione, la contemporaneità, la durata. Essa si avvantaggia, inoltre, della familiarità con il ritmo musicale: occorre utilizzare il più possibile questo collegamento;

  11. è importante avere cura di utilizzare occasioni per raccogliere dati su se stessi e sul mondo circostante e iniziare ad organizzarli, in base ad alcune caratteristiche, chiedendo anche di rappresentarli usando semplici rappresentazioni grafiche; attraverso queste attività si introduce, al livello adeguato all’età dei bambini, una prima familiarizzazione con l’aspetto della trattazione dei dati (statistica).


Il primo Biennio. La complessità dei contenuti matematici che si introducono in questi due anni suggerisce di non anticipare né accelerare l’acquisizione degli algoritmi formali del calcolo delle quattro operazioni, né con gli interi, né con i decimali. E’ necessario favorire prima la formazione dei relativi concetti utilizzando tutte le attività che si possono immaginare. Anche in questo biennio è bene predisporre esperienze concrete da cui partire per introdurre nuovi concetti; attraverso esse i bambini imparano ad interiorizzare il proprio vissuto.

L’azione educativa e formativa terrà conto dei seguenti obiettivi e delle seguenti strategie didattiche:



  1. la modalità del gioco può rivelarsi preziosa in diverse occasioni, anche se deve trovare nel tempo scolastico una collocazione pensata e mirata;

  2. bisogna iniziare a consolidare nell’esercizio gli apprendimenti (sugli algoritmi, sulle equivalenze, sul calcolo orale e scritto). Vanno, però, evitati esercizi ripetitivi ed eccessivamente esecutivi, mentre si deve cercare di stimolare e favorire modalità di azioni autonome e creative;

  3. il problema è una modalità da privilegiare per presentare nuovi concetti. Nelle situazioni problematiche si possono vedere, rappresentare, simbolizzare, verbalizzare azioni, quantità, …;

  4. il problema è un ambito molto opportuno per mettere in moto le capacità del bambino, ma non va sottovalutata la difficoltà del procedimento di contestualizzazione/decontestualizzazione che la risoluzione spesso comporta. Perciò è bene usare diversi problemi, riferendoli alla rappresentazione di situazioni che richiedono differenti modellizzazioni (uso del denaro, misure del tempo). E’ bene variare il tipo e la forma della proposta e lasciare molta libertà di rappresentazione, evitando di proporre schematizzazioni piuttosto artificiose che possono costituire una ulteriore difficoltà formale;

  5. è sempre molto utile richiedere l’esplicitazione dei passi fatti, la spiegazione dei procedimenti seguiti. Nella risoluzione dei problemi è importante che i bambini prendano coscienza del proprio ragionamento, spesso guidato dall’intuizione o dall’analogia, e che imparino a motivarlo e criticarlo, magari rappresentandolo con varie modalità, poiché la rappresentazione grafica può essere un primo passaggio all’astrazione. Gli argomenti dei problemi devono essere vari e la soluzione non deve essere incanalata in schemi fissi di comportamento o di simbolizzazione;

  6. si può utilizzare la correzione come confronto fra soluzioni diverse e come punto di partenza per la ricerca di nuove soluzioni o di nuovi problemi;

  7. è molto importante prevedere nel corso dell’anno scolastico momenti in cui ripercorrere il lavoro svolto, in modo che i passi fatti, anche con le eventuali difficoltà, possano essere resi contenuto esplicito di coscienza (ogni mese e alla fine di ogni anno).


Il secondo Biennio. Oltre a quanto già indicato per il primo Biennio, si dovrà tener conto del fatto che gli alunni a questo livello di scolarità dispongono di strumenti concettuali e capacità di elaborazione più elevate.

Non bisogna, tuttavia, forzare eccessivamente l’astrazione e insistere sugli aspetti formali, allentando la radice conoscitiva fondamentale del bambino, il rapporto con l’esperienza. Occorre tenere sempre conto dell’alto livello di espressione simbolica che la matematica richiede e lasciare il tempo necessario perché tutti i bambini ne colgano la necessità e ne avvicinino le forme.

La necessità di far acquisire scioltezza e sicurezza in certe procedure di calcolo, e di raggiungere una memorizzazione stabile di alcuni contenuti essenziali può portare a dare, in questo biennio, più tempo e attenzione ad attività di esercizio e allenamento. Bisogna evitare, però, l’accumulo di formule e regole perché esso produce una concezione della matematica piuttosto meccanica e manipolativa, mentre non favorisce la creatività e l’intuizione.



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