Percorsi didattici



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01.12.2017
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Percorsi didattici


  • Introduzione

  • Aritmetica

  • Geometria sintetica e geometria analitica

  • Situazioni della vita quotidiana e modelli matematici

Introduzione

Il materiale di questa sezione del CD – ROM propone una serie di esempi di attività e di percorsi didattici che possono aiutare a chiarire e ad approfondire i temi trattati nelle lezioni del Prof. Arzarello. L’obiettivo principale di questi esempi è, però, quello di fornire indicazioni sistematiche per perseguire e conseguire l’obiettivo di dare senso e significato ai segni del linguaggio algebrico. In particolare ci si propone di offrire agli insegnanti vari esempi di attività che, partendo da campi di esperienza propri di studenti di tredici-quattordici anni, consentano di far conseguire agli studenti stessi i seguenti obiettivi:


  • Mettere in formula (traduzione, descrizione e modellizzazione)

  • Vedere una stessa formula sotto diversi aspetti e individuare quindi diversi sensi per una stessa formula

  • Individuare significati dietro ai segni del linguaggio dell’algebra

  • Utilizzare il linguaggio dell’algebra per giustificare congetture prodotte in attività di esplorazione

  • Utilizzare il linguaggio dell’algebra per risolvere problemi

Le attività sono state progettate nell’ottica di una continuità didattica e cognitiva con il lavoro svolto da studenti di tredici-quattordici anni nei cicli scolastici precedenti e, al tempo stesso, nell’ottica della possibilità di approfondimenti a qualunque livello di scuola secondaria.

Nessuna di tali attività, è bene precisarlo, può considerarsi conclusa una volta per tutte: si possono affrontare gli stessi esercizi a livelli diversi, in quanto, con l'attività svolta, varia il campo di esperienza e l'insieme di conoscenze degli studenti e ciò consente di approfondire tematiche che, in un primo momento, potrebbe essere bene non affrontare.

Come campi di esperienza abbiamo individuato i seguenti:



  • Numeri

  • Geometria sintetica e geometria analitica

  • Situazioni della vita quotidiana descritte mediante modelli matematici

Ci sembra importante precisare che non necessariamente tutti quelli che abbiamo individuato potrebbero risultare campi di esperienza propri degli studenti a cui ci si rivolge. È quindi necessario che si individuino, fra quelli suggeriti (ed eventualmente altri) gli effettivi campi di esperienza e che da essi si parta per introdurre descrizioni, modellizzazioni, problemi e relative risoluzioni con il linguaggio dell’algebra.

In tal modo il linguaggio dell’algebra e le sue formule nasceranno e si svilupperanno in un contesto concreto, o meglio in più contesti concreti, come strumento per descrivere, modellizzare, risolvere problemi. La potenza del linguaggio algebrico sta proprio nella capacità di descrivere con uno stesso linguaggio differenti situazioni concrete: l’algebra è astrazione, ma l’astrazione, che è decantazione semantica, non può partire, per sua natura, che da diversi contesti concreti: senza questa base si rischia di portare lo studente in una foresta si segni senza significato. Ovviamente anche il concetto di "concreto" cambia con il procedere delle esperienze e delle conoscenze; per uno studente del primo ciclo della scuola elementare non si può pensare che le quattro operazioni con i numeri naturali siano "oggetti concreti". Per uno studente che si avvia alla fine della scuola dell'obbligo i numeri naturali e le quattro operazioni su di essi dovrebbero già essere ormai veri e propri oggetti, in quanto le precedenti attività svolte con essi dovrebbero portare alla reificazione del concetto di numero naturale e delle quattro operazioni con i numeri naturali. Se tale reificazione è stata conseguita, allora l'insieme dei numeri naturali può diventare l'ambiente concreto, il campo di esperienza dal quale partire per dare senso a successive attività, per esempio relative al calcolo letterale. Se la reificazione non è stata conseguita, non ha senso fare riferimento all'aritmetica per dare senso alle formule del calcolo letterale.

I percorsi e le attività che presentiamo devono essere pensati come processi che, partendo dagli aspetti concreti, intuitivi, percettivi, empirici conducano gradualmente gli studenti al pensiero teorico. Si tratta di processi che si sviluppano nel lungo termine e che difficilmente possono considerarsi conclusi, ma di primaria importanza in un mondo dove la razionalità sembra essere una facoltà sempre meno esercitata.

Le prime attività che proponiamo (quelle relative al campo di esperienza dell'aritmetica) possono anche rivelarsi utili a introdurre e trattare l’algebra dei polinomi. Con ciò intendiamo dire che lo svolgimento di tali attività può motivare l’introduzione delle operazioni fra polinomi e delle loro proprietà. La sistemazione del polinomio come oggetto matematico formalmente definito potrà essere demandata agli anni finali del percorso didattico nella S.S.S.. Ciò è in accordo con la posizione assunta da molti ricercatori in educazione matematica e cioè che la reificazione di un concetto come oggetto formale (nel senso che a esso si possono addirittura associare simboli sui quali poi operare) può essere conseguita solo attraverso la considerazione di quel concetto come processo a partire da situazioni concrete e successiva condensazione (che consiste nel considerare l’output del processo senza prendere in considerazione i vari passi del processo stesso). Ovviamente per conseguire tali obiettivi sarà necessario svolgere anche un adeguato numero di esercizi tradizionali senza eccedere in complessità e in complicazioni.

Fondamentale in tutte le attività proposte è l’attenzione a progettare ambienti che favoriscano esplorazioni dinamiche, la produzione di congetture e la successiva attività di validazione delle congetture prodotte.



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Aritmetica

Il campo di esperienza numerica è una delle basi per la costruzione del senso dei simboli algebrici e delle operazioni che ne permettono la manipolazione.

Da un lato, soltanto una profonda comprensione del significato notazionale dei numeri, con i differenti sensi che la rappresentazione comporta, delle relazioni fra insiemi numerici diversi, delle operazioni e delle loro proprietà, permette il passaggio al codice simbolico; d’altra parte il ritorno dalla formula al numero è, per chi apprende, un modo per dare spessore semantico ai simboli.

Le proprietà delle operazioni negli insiemi numerici devono essere interiorizzate e non considerate scontate per arrivare a saper riconoscere l’equivalenza fra formule apparentemente diverse; la decantazione semantica deve poggiare su basi ben solide per scatenare a ragion veduta “la bestia del calcolo”.

Le proposte di lavoro sono destinate a studenti di scuola secondaria.



  • Sono intese come attività

  • collettive

  • individuali

  • da svolgere in piccoli gruppi

a cui deve far seguito un momento di discussione comune e di sistematizzazione da parte dell’insegnante

  • Hanno lo scopo di

  • abituare alla scelta di simboli opportuni per descrivere situazioni

Riportiamo di seguito una tabella ordinata per tipologia di attività (righe) e livello scolare ( colonne) in cui queste attività possono essere proposte.

Cliccando sulla parola calda si accede al relativo documento che può essere modificato in base alle esigenze di chi lo utilizza.


Tipologia di attività


Biennio

Triennio


Diverse scritture per un numero
PDAR01




Multipli e divisori di un numero
PDAR02




Operazioni con frazioni
PDAR03




Scoperte di regolarità numeriche
PDAR04




Diverse scritture per una formula
PDAR05




Proprietà delle operazioni e calcolo mentale
PDAR06




Costruzione e manipolazione di formule
PDAR07




Numeri figurati

PDAR08




Congetture e dimostrazioni

PDAR09

PDAR13

Contare oggetti

PDAR10



Giocare con numeri e con formule


PDAR11



Articoli su esperienze didattiche


PDAR12

PDAR14

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Geometria sintetica e geometria analitica
A partire dal campo di esperienza della geometria, si possono strutturare diverse attività che possono favorire lo sviluppo delle abilità legate all’apprendimento dell’algebra. Si propongono di seguito delle attività di problem solving a sfondo geometrico: alcune sono completamente strutturate secondo la dinamica lavori di gruppo – confronto e discussione in classe, e presentano alcune risposte attese e diversi possibili approcci al problema, altre sono proposte sinteticamente, con i procedimenti risolutivi realmente osservati in classi di scuola superiore, o con alcune note che sottolineano gli aspetti interessanti del problema.

Alcuni dei problemi proposti sono pensati per poter sfruttare anche le potenzialità di software, ambienti o strumenti di calcolo (Derive, foglio elettronico, linguaggio di programmazione, calcolatrici grafico-simboliche), mentre altri possono essere svolti con carta e matita.

Riportiamo di seguito una tabella ordinata per tipologia di attività (righe) e livello scolare ( colonne) in cui queste attività possono essere proposte.

Cliccando sulla parola calda si accede al relativo documento che può essere modificato in base alle esigenze di chi lo utilizza.


Tipologia di attività


Biennio

Triennio


Prime rappresentazioni grafiche di formule
PDGE01




Determinazione del grafico di una funzione a partire da grafici noti



PDGE02

Relazione tra formula e grafico: l’iperbole e i suoi asintoti



PDGE03

Relazione tra formula e grafico: una funzione e la sua derivata




PDGE04

Relazione tra formula e grafico: parabola, equazioni e disequazioni di secondo grado

PDGE05





Dimostrazioni di proprietà: figure e algebra

PDGE06




Cambiamenti di registri: grafico, simbolico, retorico

PDGE07
PDGE08

Dimostrazioni di proprietà per via sintetica e per via analitica


PDGE10

PDGE09

Capacità di mettere in formula e di interpretare i risultati ottenuti


PDGE12



Problemi vari




PDGE11


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Situazioni della vita quotidiana e modelli matematici

George Polya1afferma che risolvere problemi matematici è l’attività più vicina al modo di pensare quotidiano. E proprio dall’esperienza della vita di tutti i giorni possono essere tratte situazioni che conducono a problemi significativi per gli allievi e quindi motivanti. I problemi possono essere formulati in modo più o meno generale, possono richiedere scelte preliminari di campo o riduzione di complessità; è importante tuttavia che non siano banali e che inducano gli allievi a scoprire le schematizzazioni matematiche più adeguate a interpretare osservazioni di dati reali. In tal modo anche l’introduzione di strumenti matematici acquista un significato legato alla necessità di leggere e interpretare la realtà.



Tipologia di attività


Biennio

Triennio


Rappresentazioni tabulari e grafiche di formule
PDMO02

PDMO03

Capacità di mettere in formula e interpretare i risultati
PDMO01





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1 Polya G., La scoperta matematica, Feltrinelli, 1971



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