Povera e nuda vai, Matematica



Scaricare 135 Kb.
03.06.2018
Dimensione del file135 Kb.

Povera e nuda vai, Matematica!

di Domenico Lenzi [domenico.lenzi@unile.it]

___________________________

La gola e ’l sonno e l’oziose piume

hanno del mondo ogni vertù sbandita,

ond’è dal corso suo quasi smarrita

nostra natura vinta dal costume; [...]

Qual vaghezza di lauro? qual di mirto?

- Povera e nuda vai, Filosofia -

dice la turba al vil guadagno intesa.

Pochi compagni avrai [...]

Francesco Petrarca



Sommario

A cura delle Società ADT e Mathesis si sono

tenuti (ad Assergi e Otranto nel 2005, a Lipari

nel 2006) alcuni convegni sul tema "Sempre

meno iscritti alle facoltà scientifiche! Forse

perché Matematica è la più odiata dagli italiani?

Come farla amare?" Qui sono presentate

alcune considerazioni sull’argomento svolte

dall’autore in quei convegni e durante la Summer

Scool organizzata dall’Ufficio Scol. Reg.

per la Lombardia a S. Pellegrino Terme (BG)

(nel 2006). Le stesse questioni sono state riprese

nel corso di due successivi convegni ADT

(Lamezia Terme nel 2006, e Salerno-Positano

2007; si veda [5] e [6]).

1. Introduzione

Quei favolosi anni ‘60” si sente spesso dire.

E sembrò che tali essi potessero essere anche

nell’ambito di un rinnovato insegnamento

della matematica. Gli addetti ai lavori che abbiano

superato i cinquant’anni certamente ricorderanno

gli entusiasmi che la teoria degli insiemi,

subito ridenominata insiemistica, riuscì

ad accendere. Come scordare la “rivoluzione

fallita” che essa aveva avviato in quegli anni?

Purtroppo, un suo improvvido uso in chiave didattica

fece sì che tutto finisse in una bolla di

sapone, tanto che a un certo punto la parola

d’ordine fu di ignorare quella che ormai era diventata l’insiemistificazione, bandendola di fatto dall’insegnamento nella scuola dell’obbligo.

Ricordiamo ancora che a quei tempi, scimmiottando molte delle cose che in vari corsi di aggiornamento (si fa per dire!) si andava raccontando, molti insegnanti arrivarono a introdurre (e non a rivedere, cosa questa che sarebbe stata opportuna!) la nozione di moltiplicazione tra numeri naturali come cardinalità del prodotto cartesiano di due insiemi, dimenticando quella che per secoli e secoli era stata la nozione di moltiplicazione, intesa come addizione tra addendi tutti uguali.

A ciò fecero seguito le numerose

schiere di alunni che già in prima elementare

erano costretti a recitare a memoria, senza

capirne il significato: «Dicesi prodotto di due

numeri la cardinalità … (e via sproloquiando!)

». Perciò era inevitabile che le speranze

presto andassero deluse. Corsi di aggiornamento

abborracciati (certo non tutti) – rivolti a insegnanti

impreparati (non sempre per colpa loro)

– tenuti da docenti dei gradi scolastici superiori,

anche universitari, spesso si ridussero a presentare

ricettarî didattici approssimativi che i corsisti

fruitori non riuscirono ad assimilare, soprattutto

dal punto di vista della valenza didattica.

Fu, quella, una grande occasione sprecata, nonostante la buona volontà di tutti.

Spesso si approntarono equilibrismi didattici

inutili. Il tentativo di evidenziare, giustamente,

anche alcuni aspetti linguistici della matematica

a volte si realizzò in maniera approssimativa,

senza le dovute precauzioni. Come non ricordare

i richiami di Giovanni Melzi dalle pagine del

"Periodico di matematiche" (si veda [7]), organo

ufficiale della Società naz. Mathesis? Egli precisò,

e non si può che essere d’accordo con lui:

«In mancanza di un’adeguata elaborazione pedagogica si finirebbe probabilmente per stra3

______________________________________________________________________________

13

volgere magari un intero capitolo della linguistica

teorica [...] per farne un idolo mummificato

incomprensibile. [...] si avrebbe il fenomeno

parallelo a quello tristissimo per il quale la teoria

degli insiemi [...] è diventata nella scuola un

inqualificabile sgorbio intriso di simbolismo fasullo che passa sotto il nome fumogeno di insiemistica».

Ne conseguì che, a causa dei troppi errori -

sia di metodo sia di sostanza - la 'restaurazione'

didattica finì con l’avere la sua rivincita e una

grande occasione andò perduta. E la matematica

è diventata la cenerentola delle materie

d’insegnamento nelle scuole di ogni ordine e

grado, università compresa, anche in quelle facoltà

dove ha un’importante funzione di servizio.

Ma ormai anche lì non si chiedono altro

che regole applicative e “ricette”, spesso rifiutandosi di capire i concetti più elementari della nostra disciplina, che servirebbero a dare un

senso a quelle ricette.

Certo non si pretende di essere (o di essere

stati) esaurienti. La nostra speranza è di sollecitare

gli addetti ai lavori a una maggiore attenzione

alle questioni trattate - e ad altre che non

abbiamo avuto il tempo di affrontare - affinché

si possa dare tutti un più efficace contributo.



2. Matematica, disciplina odiata e incompresa

La matematica è una delle materie meno

amate al mondo, come se si fosse scaricata la

molla che qualche millennio fa la trasformò in

scienza. Questa molla agli inizi fu attivata proprio

dal fatto che per i primi cultori di tale disciplina

i problemi di esistenza e di sussistenza

fossero stati superati. Infatti, questi cultori li ritroviamo già alcuni secoli prima della nascita di

Cristo – in Mesopotamia e nel vicino oriente –

soprattutto all’interno di caste sacerdotali, in

cui non c’era il problema del sopravvivere. Lo

stesso Aristotele parlò dell’esistenza di una

scienza di tipo speculativo in Egitto nel periodo

che precedette il fiorire della geometria in Grecia.

E ora che nel cosiddetto mondo civile il benessere

è pressoché generalizzato, sembra strano

che non si riesca a ricaricare quella molla.

Secondo recenti indagini – che andrebbero

prese con beneficio di inventario, ma che nel

caso in questione sembrano descrivere in modo

abbastanza preciso la situazione – la matematica

è considerata dalla maggior parte della gente

una scienza astratta (e in qualche modo si può

essere d’accordo con tale valutazione); ma il

guaio è che essa viene giudicata lontana dalle

esperienze e dagli interessi dei comuni mortali,

di scarsa utilità per la vita concreta e in definitiva

inutile e forse da bandire dai programmi

scolastici. Purtroppo i sentimenti di questi “nemici”

della matematica sono in parte giustificati.

Infatti non è che essi non capiscano che la

matematica possa svolgere un ruolo importante;

quello che non capiscono è il perché essa debba

essere imposta a tutti, perché tutti la debbano

studiare. E confessiamo che se la matematica

deve continuare a essere insegnata come si insegna

ora – a parte alcune eccezioni significative

– forse varrebbe la pena (lo diciamo in modo

volutamente provocatorio) di renderla facoltativa,

così come a un certo punto è stato fatto col

latino; materia importante ed utile, il cui insegnamento, però, non si è stati in grado di riconvertire in modo efficace e proficuo.

In questo atteggiamento ci sentiamo in ottima

compagnia, pensando che lo stesso Henri

Poincaré era dell’avviso che la matematica dovesse

essere studiata solo da quelli che erano in

grado di capirla. Perciò non ci sentiamo nemmeno

di dar torto a quel giudice che qualche

hanno fa promosse d’ufficio alla classe successiva

uno studente a cui la scuola non era riuscita

a far apprezzare la matematica, che per lui

si era trasformata in uno “strumento di tortura”.

Però questo per noi non significa che non si

debbano ricercare i modi più adatti ed efficaci

affinché la matematica possa essere amata e

compresa.

Purtroppo la crisi nell’insegnamento della

matematica si fa sentire in modo particolare; e

questo fenomeno non è solo italiano ma interessa

quasi tutto il mondo civile.

Il 22 settembre del 2006, durante una serata

dedicata alla ricerca scientifica e organizzata

per via telematica dalle università pugliesi, è

stata invitata a tenere una conferenza a Lecce la

_______________________________________

14

giornalista Michela Fontana, laureata in matematica, nonché addetto scientifico presso l’ambasciata italiana a Ottawa (Canada). Ella ha esordito presentando alcune vignette pubblicate



su di un importante giornale canadese. Nella

prima c’è un professore universitario che ringrazia

gli studenti per essere intervenuti numerosi

alla prima lezione del suo corso di astronomia.

Nella seconda vignetta compare uno studente

che chiede al professore quale differenza

ci sia tra l’astronomia e l’astrologia. Nella terza

il docente risponde che la differenza consiste

soprattutto nel fatto che in astronomia si usa

moltissima matematica. Infine nella quarta vignetta si vede il professore che osserva sconsolato la sua classe completamente vuota: gli

studenti sono tutti scappati via nel timore di dover

studiare matematica.

E pensare che un tempo la matematica era

una disciplina riconosciuta come fondamentale,

ovunque. La stessa Michela Fontana ha ricordato

che il gesuita marchigiano Matteo Ricci, approdato in Cina come missionario verso la fine

del XVI secolo, riuscì a diventare – col nome di

Li (Ricci) Madou (Matteo) – uno dei personaggi

di spicco di quella immensa nazione, per aver

ivi diffuso aspetti importanti della cultura

europea. Il che gli procurò notevoli riconoscimenti, tanto è vero che uno dei privilegi attribuitigli fu quello della sepoltura in terra cinese.

E un importante dignitario della corte imperiale

ebbe a dire che per tanto onore sarebbe bastato

il fatto che il Ricci introdusse in Cina gli Elementi

di Euclide, dando un contributo essenziale

alla loro traduzione in mandarino (cfr. [2]).

Purtroppo, parafrasando una frase abbastanza

nota del Petrarca – riferita alla filosofia e

contenuta nel Canzoniere – ci verrebbe da dire:

povera e nuda vai, Matematica! Ma il legame

tra le due discipline va ben oltre una semplice

parafrasi. Esso affonda le sue millenarie radici

nella storia della nostra civiltà; e il ricordarlo,

mettendolo nella giusta luce, forse gioverebbe a

entrambe. Infatti è noto che a partire

dall’antichità e proseguendo via via fin quasi ai

giorni nostri, i più eccelsi studiosi hanno coltivato

entrambe le discipline. Purtroppo ora questa

antica tradizione è quasi svanita e spesso alcuni

filosofi guardano con sospetto e sufficienza

alla nostra e alle altre scienze; quando addirittura

non ne rubano i concetti, per travisarli e

appiccicarli a sproposito ai loro punti di vista,

onde riceverne un ingiustificato appoggio.

È povera la nostra disciplina, ed è nuda la

regina delle scienze. E noi non ci stanchiamo di

gridarlo; come l’ingenuo fanciullo della novella

di Andersen, che al passaggio del suo sovrano

privo di abiti in mezzo ai sudditi osannanti esclamò

a gran voce: "Il re è nudo!".

Ma riuscirà la nostra voce a giungere fin

dentro i palazzi del potere? E riuscirà a smuovere

tanti nostri colleghi che fanno finta di ignorare

la nudità della nostra disciplina e continuano

a cercare il nulla fra le nuvole, incuranti

o forse ignoranti delle potenzialità dello studio

della matematica come formidabile ginnastica

mentale e come educazione alla razionalità?

Noi lo speriamo; pur tuttavia, per le esperienze

già fatte, non ci facciamo soverchie illusioni.

A proposito della sufficienza con cui alcuni

filosofi d’oggi trattano la matematica, citiamo

un episodio che è un indicatore significativo del

pressappochismo con cui si guarda ad essa. Da

qualche anno impazza su giornali e riviste la

mania del SUDOKU. Durante i primi giorni di

questo nuovo tormentone, il Corriere della Sera

intervistò un filosofo, accademico dei Lincei,

che dichiarò di aver apprezzato questa specie di

gioco di società; precisando candidamente che,

anche se venivano usati dei numeri, il Sudoku

aveva ben poco a che fare con la matematica.

Lui vi si era appassionato, e aveva affrontato il

nuovo passatempo con un po’ di Logica aristotelica,

una cosa ben diversa dalla matematica

(sic!) – diceva lui – senza usare lunghi calcoli o

strane equazioni.

L’illustre filosofo non sa che oltre alla matematica

dei lunghi calcoli o delle strane equazioni

esiste anche un altro tipo di matematica,

che prese le mosse proprio da un suo illustre

collega, ma anche matematico eccelso: Leibniz.

A tal proposito Leonhard Euler (Eulero) – che,

tra l’altro, introdusse i quadrati latini (di cui il

Sudoku è una variante) e diede un notevole impulso

a quest’altro tipo di matematica – scrisse

Anno 1 Numero 3

_______________________________________

15

(si veda [1]): […] Oltre a quella parte di geometria



che si occupa di grandezze […], c’è

un’altra parte, quasi sconosciuta, che Leibniz

considerò per primo, e chiamò geometria di posizione

[…]


Ma cerchiamo di dare qualche possibile risposta

al perché la matematica sia una disciplina

tanto aborrita. Ci sembra di poter dire che un

primo motivo – rispetto alla naturale evoluzione

mentale dei nostri bambini – risieda in una inadeguatezza da parte della società a dare completa soddisfazione all’ansia di apprendimento che si accende in ogni bambino a partire da quando egli incomincia ad avere coscienza di sé.

Andando per sommi capi e soprattutto esprimendo

sensazioni – non avendo la necessaria

competenza scientifica per trattare adeguatamente

certi temi – ci sembra di poter dire che

il primo approccio alla conoscenza avviene per

via sincretica-globale, nell’ambito di un contesto

in cui le cose sembrano avere tutte la stessa

importanza; per passare poi, per quanto è possibile, a un’analisi e a un più o meno soddisfacente apprendimento delle cose più significative nell’ambito del contesto che è oggetto di attenzione.

Per quel che riguarda il contesto linguistico

e le abilità che gli sono pertinenti, sollecitazioni

continue, errori e aggiustamenti successivi fanno

sì che in linea di massima si arrivi presto –

in modo naturale e quasi automatico – a conquistare la lingua materna e la relativa grammatica, pur senza che ci sia piena coscienza di ciò e senza necessariamente sapere cosa sia una

grammatica. Un po’ come il gentiluomo borghese

di Moliere, che a un certo punto si accorse

con una certa meraviglia di aver sempre parlato

in prosa.

Molti di noi ricorderanno le difficoltà incontrate

con lo studio del latino (per non parlare

del greco), eppure nell’antica Roma i bambini

possedevano un vocabolario adeguato alle loro

esigenze già prima che riuscissero a muovere i

primi passi; dopodiché riuscivano ben presto a

gestire in modo naturale le prime forme sintattiche

elementari.

Sono cose ovvie, si dirà. Ma, purtroppo,

spesso non si tiene conto proprio delle ovvietà;

che potrebbero darci un aiuto formidabile e

pressoché gratuito anche nell’ambito

dell’insegnamento della matematica. E intanto

si tende a procrastinare i primi approcci dei nostri

bambini con un modo di “fare matematica”

non estemporaneo e organizzato e strutturato a

loro misura. Certo in ciò ha avuto un peso notevole la poca dimestichezza con la disciplina e

col modo di presentare i suoi primi elementi da

parte della quasi totalità degli adulti.

In un convegno svoltosi nel novembre 2006

a Castel S. Pietro, ho avuto modo di ascoltare

un’interessantissima conferenza della professoressa

Daniela Lucangeli, psicologa presso l’università

di Padova. Essa lamentava il fatto che

un periodo estremamente fertile per l’organizzazione

dei primi apprendimenti numerici –

quale quello della prima infanzia – resti pressoché

inutilizzato in ambito scolastico, facendo

perdere ai nostri bambini delle opportunità “favolose” nell’ambito delle prime conoscenze

matematiche. Per fare un paragone, ella diceva,

sarebbe come se noi impedissimo ai nostri bimbi

di parlare prima dei sei anni.

Tutti ci rendiamo conto del danno immenso

che sarebbe arrecato loro se ciò avvenisse; come

l’esperienza ci ha insegnato attraverso casi

di bambini che sono cresciuti nelle foreste, senza

alcun contatto con la civiltà. Ebbene, per

quel che riguarda l’organizzazione dei primi

apprendimenti matematici, è come se fino alla

prima elementare i nostri piccoli vivessero in

una specie di giungla, a parte qualche eccezione.

Sarebbe perciò estremamente importante

impegnare la scuola dell'infanzia anche per quel

che riguarda un efficace avvio ai primi concetti

matematici, aiutando i bambini a superare le

difficoltà – forse meno gravi di quel che appaiono

– legate a una non del tutto acquisita

nozione delle quantità sia continue che discrete.

Ma anche nelle scuole elementari non sono

rose e fiori, a volte a causa delle riserve di molti

genitori. Qualche mese fa, durante una tavola

rotonda tenutasi nel corso di un convegno, una

partecipante – docente di scuola media superiore

– lamentava il fatto che l’insegnante di sua

figlia pretendesse di insegnare in terza elementare

la rappresentazione dei numeri in base 2.



Anno 1 Numero 3

________________________________________

16

Ebbene non possiamo fare a meno di tornare



sulla rivoluzione mancata degli anni ’60 del secolo

scorso; rivoluzione fallita a causa di una

gestione approssimativa e velleitaria di un progetto

che aveva dato risultati lusinghieri in moltissime

scuole.

La rappresentazione dei numeri, anche in



base diversa dal 10, fu in quegli anni (insieme

all’aritmetica modulare) uno dei cavalli di battaglia

della nostra scuola elementare, avendo

come “strumenti fondamentali” i regoli multibase

e l’abaco.

A proposito della rappresentazione dei numeri

in basi diverse da quella del dieci, spesso

si afferma che esse – in quanto diverse dalla

usuale – potrebbero confondere gli alunni, inducendoli in errore. Ebbene uno dei buoni risultati della “nuova matematica” degli anni ’60 fu la dimestichezza che moltissimi alunni riuscirono ad avere col concetto di numerazione posizionale proprio perché non si fossilizzarono su

di un’unica base. Per non parlare

dell’importanza e dell’utilità dello studio della

base due, fondamentale per il funzionamento

dei computer.

Ricordo con nostalgia un esperimento didattico

da me condotto con due laureande in matematica,

insieme alle quali nei primi anni ’80 avviai un gruppo di scolari, di poco superiori ai cinque anni, alla rappresentazione dei numeri in base due.

I risultati furono sorprendenti, al di là

di ogni aspettativa, nonostante si trattasse di

bambini del tutto normali di alcune classi di

scuola materna di una cittadina dell’entroterra

leccese. I piccoli furono addestrati anche all’algoritmo dell’addizione in base 2. Tale algoritmo, come è noto, è analogo a quello della base dieci, ma non presenta le difficoltà mnemoniche dovute alla necessità di ricordare la “tabellina” dell’addizione delle dieci cifre di

quest’altra base; il che fa sì che ci si possa concentrare sulla natura e sul senso del calcolo, per poi trasportarlo facilmente alle altre basi.

Ma quali sono le ragioni di questa paradossale

crisi della matematica in ambito didattico?

Esse sono molteplici; qui vogliamo analizzarne

alcune – a nostro avviso cruciali – su cui già in

altre occasioni ci è capitato di soffermarci. Alcune

sono esterne alla matematica e risiedono

nel lassismo che ha investito il mondo del benessere

e del consumismo, ed ha portato molti

dei nostri ragazzi (certo, con le immancabili eccezioni)

a dare poca importanza alla cultura e

alla scuola. Il che si riflette soprattutto su ogni

materia che presenti delle difficoltà che sembrano

intrinseche ad essa, ivi compresa la matematica.

Per quel che riguarda la nostra disciplina,

forse con un’oculata ricerca didattica quelle difficoltà

potrebbero essere meglio individuate e

attenuate, se non proprio eliminate. Purtroppo

in Italia la ricerca in didattica della matematica

è condotta in maniera estemporanea e scoordinata;

ed è molto difficile che in un immediato

futuro le cose possano cambiare.

In un Convegno sull’Educazione scientifica

in Italia, organizzato dall’I.R.R.E. dell’Umbria

e svoltosi nel mese di marzo del 2005 a Foligno,

Lucio Russo ha affermato: «Se la didattica

della matematica non può rimanere ancorata a

concezioni superate sul piano scientifico, essa

non può neppure inseguire le novità della ricerca,

che in gran parte restano inaccessibili a

livello di scuola secondaria».

E purtroppo bisogna dire che a volte in didattica

della matematica non solo si sono volute

improvvidamente inseguire le novità della ricerca,

ma addirittura le si è volute interpretare a

sproposito e sopravanzare, con risultati spesso

disastrosi, trasformando in deludenti “debacles”

le attese e le speranze che si erano dischiuse,

come nel caso ricordato della teoria degli insiemi.

Tra le mode culturali vogliamo ricordare

anche quella legata alla “riscoperta” in chiave

didattica delle geometrie non euclidee, che seppero

dare un nuovo impulso allo studio della

geometria – compresa la geometria euclidea –

contribuendo a chiarire meglio il ruolo degli assiomi,

facendo emergere la necessità di evitare

pericolose commistioni tra motivazioni intuitive

di una teoria e il suo sviluppo rigoroso. E

l’educazione al rigore di pensiero è fondamentale

soprattutto in un momento come quello che



Anno 1 Numero 3

________________________________________

17

la nostra società sta attualmente attraversando,



in cui il pressappochismo la fa da padrone.

Ma le geometrie non euclidee, che a detta di

qualcuno sarebbero in grado di descrivere meglio

il mondo in cui siamo immersi, in realtà – a

parte alcuni esempi significativi e modelli legati

proprio alle geometrie euclidee – hanno ben

poco di intuibile e di riconducibile al mondo dei

nostri sensi (si veda [3]). E a proposito di ciò si

pensi a cosa potrebbe essere una pavimentazione

con mattonelle quadrate qualora queste, in

accordo con certe geometrie non euclidee, avessero

gli angoli interni inferiori (oppure superiori)

a un angolo retto. Sarebbe la fine della

“nostra geometria”; quella dell’“uomo qualunque”;

quella del muratore, col suo “filo a piombo”;

del falegname con le sue porte che non potrebbero

svolgere la loro funzione se i relativi

angoli non fossero rigorosamente rettangoli;

quella del meccanico con i suoi torni, i suoi cuscinetti,

e via discorrendo.

Dal 9 al 17 aprile 1965 si svolse a Ravenna

il «XIX Rencontre» della Commission internationale



pour l’etude e l’amélioration de l’enseignement

des mathématique, composta da personaggi

prestigiosi nell’ambito della didattica

della matematica. Ci limitiamo a ricordare il

presidente George Papy (Belgio), la vicepresidente

Zofia Krygoska (Polonia), gli italiani

Emma Castelnuovo e Angelo Pescarini.

Al termine del Rencontre la commissione approvò

all’unanimità una mozione – proposta dal

francese A. Revuz – di cui qui di seguito riportiamo

le prime righe ([8], p. 126): «L’introduzione



di nozioni di algebra moderna nell’insegnamento

da 10-11 anni a 18 anni si sta

realizzando senza gravi difficoltà. Queste nozioni

portano proprietà e chiarezza in un campo

in cui il principiante non conosceva altro

che una tecnica basata sulla routine piuttosto

che sulla riflessione; esse stimolano l’in-teresse

in uno studio in cui spesso regnava la noia

Parole che ci sentiamo di condividere in

pieno, ma con un segnale di attention e di precauzione.

Intanto c’è da dire, purtroppo, che verso la

fine del documento si incontra una proposta

velleitaria e ingiustificata, che si basa su di una

visione della geometria che può essere comprensibile

in studiosi di notevole livello, quali

erano moltissimi dei membri della Commissione,

ma che è impensabile nella maggior

parte degli studenti, per i quali è già difficile

confrontarsi con l’usuale visione euclidea della

geometria. Infatti a un certo punto della mozione

si afferma: “[...] La geometria occupa senza



dubbio un posto a sé nell’insegnamento dagli

11 ai 18 anni [...] Ma questa teoria si inserisce

perfettamente nell’organizzazione unificata della

matematica: è lo studio di uno spazio vettoriale

di dimensione finita sul corpo dei reali,

dotato di un prodotto scalare [...].”

I membri della commissione – un po’ ingenuamente

e forse in preda a un eccessivo entusiasmo

– si rendevano conto che la “verità” da

loro affermata nei riguardi della geometria altro

non era che una “riscoperta” – anche sotto una

forma più semplice – di questo importante settore

della matematica; ma non capirono che ciò

poteva valere per loro, che già da prima avevano

cognizione della geometria euclidea presentata

nei termini usuali, come visione e descrizione

del mondo che ci circonda. Con la nozione

di perpendicolarità ben chiara anche a mio

nonno, che pur si vantava di non aver capito

mai nulla di matematica, ma che quando mi vedeva

posizionato un po’ di traverso non esitava

a dirmi di stare diritto; il che addirittura esprimeva

una nozione di perpendicolarità ben più

forte: quella di ortogonalità (al piano del pavimento);

che lui possedeva, senza il bisogno di

esprimerla attraverso la nozione di prodotto

scalare. Il suo era un richiamo a una “postura”

di tipo geometrico, anche se non ne aveva coscienza,

così come per tanti anni le bourgeois



gentilhomme di Moliere non si era reso conto di

parlare in prosa.

Quella della Commission – coadiuvata

dall’at-teggiamento irresponsabile di una parte

del mondo accademico matematico, che addirittura

pretese di bandire dalla geometria l’uso

di figure esplicative – fu un’ingiustificata fuga

in avanti e contribuì a far bandire dall’insegnamento

pre-universitario la cosiddetta nuova

matematica.

Anno 1 Numero 3

________________________________________

18

La visione che la Commission aveva



dell’alge-bra moderna, intesa come portatrice di

proprietà e chiarezza in un campo in cui il

principiante non conosceva altro che una tecnica

basata sulla routine piuttosto che sulla riflessione,

esprimeva anche una sollecitazione e

un auspicio che spesso sono rimasti inascoltati.

Ricordo di aver conosciuto molti anni fa un

giovane laureatosi in matematica presso una

prestigiosa università italiana, che dichiarava

candidamente di aver preso 30 in algebra, ma

studiando tutto a memoria senza capire niente.

Erano gli anni in cui l’introduzione delle frazioni

e della relativa moltiplicazione si trasformò,

anche prima dell’università, nella simmetrizzazione

di un semigruppo commutativo dotato

di regola di semplificazione, pur se non

sempre questa terminologia veniva adoperata.

Ma questo tipo di impostazione dava – e dà –

soltanto una garanzia formale all’usuale moltiplicazione,

però perdendo di vista le ragioni

concrete del modo di effettuare quest’operazione.

Su ciò torneremo in seguito.

Purtroppo da noi la crisi nell’ambito

dell’ap-prendimento della matematica si fa sentire

in modo particolare, e – nonostante la nostra

collocazione tra i paesi più evoluti del mondo

industrializzato – in una gara internazionale

di matematica svoltasi nel 2005 i ragazzi italiani

si sono classificati ben oltre il ventesimo posto

(però nel 2006 la situazione è migliorata).

Ed è eclatante il fatto che il nostro ministro della

pubblica istruzione dell’epoca abbia inviato

loro un telegramma di felicitazioni.

Cosa ben diversa da quello che succede in

Italia di fronte a debacles sportive. Ricordiamo

che dopo una competizione di atletica leggera

di altissimo livello internazionale, in cui l’Italia

si era classificata intorno al 10° posto, i responsabili

delle varie discipline atletiche furono tutti

esonerati dai loro incarichi. Invece i colpevoli

del fallimento sul piano didattico della nostra

materia sono da anni al loro posto. Per fortuna

ora pare che in alcuni ambienti si stia incominciando

a capire l’importanza della matematica

nella formazione del cittadino in termini di educazione

alla razionalità, alla coerenza e al rigore

di pensiero, alla “pulizia” nei ragionamenti.

Con la conseguente capacità, come ha ricordato

qualche tempo addietro Thomas Mackinson sul

Corriere della Sera […] di comprendere, interpretare,

governare la complessità attraverso

modelli, appunto di natura matematica, capaci

di conferirle ordine e direzione […].

3. Sull’importanza del linguaggio in matematica.

Una delle ragioni per le quali in matematica

si incontrano, a ogni livello, molte difficoltà

è che non sempre i termini in essa adoperati

sono sufficientemente evocativi: spesso i

simboli usati per designare alcuni concetti non

hanno in sé niente che aiuti a richiamarli, anche

se quei concetti sono di per sé chiari.

Si dirà che questa è una caratteristica tipica

della comunicazione. E’ quello che spesso viene

designato come "contratto sociale" che porta

ad accettare la convenzione tramite la quale, anche

nel linguaggio ordinario, a un oggetto o a

una nozione corrispondono parole o simboli che

li individuano attraverso definizioni opportune.

Ma non è di questo che qui si vuol discutere.

Infatti lo spirito di quel contratto viene accettato

e rispettato senza difficoltà sin dai primi

anni di vita, anche in evenienze occasionali. E i

giochi infantili sono pieni di situazioni in cui

una sedia diventa un'automobile, o uno scatolone

diventa una casa. Inoltre nella scuola

materna il cosiddetto 'contrassegno' è usato con

naturalezza dai bambini, che accettano senza

difficoltà di individuare le loro cose con cartoncini

personalizzati, usati come segni di riconoscimento.

Piuttosto, qui si vuole sottolineare

che quando il simbolo prescelto non è sufficientemente

evocativo - e quindi non presenta elementi

atti a ricordare stabilmente ciò che esso

significa - in mancanza di un suo uso frequente

possono sorgere problemi di carattere mnemonico

che hanno ripercussioni notevoli sull'apprendimento.

A tal proposito segnaliamo che in un congresso

svoltosi alcuni anni fa è stato illustrato

uno studio sui segnali di pericolo adatti ai bambini.

E' risultato che il teschio con tibie incrociate

– il cui significato per gli adulti è evidente

Anno 1 Numero 3

________________________________________

19

– non è abbastanza evocativo per i fanciulli. Invece



il segnale più efficace è risultato quello

che raffigurava un volto infantile che piange.

Perciò è importante offrire all'alunno appigli

mnemonici e tempi che consen-tano gli opportuni

rinforzi affinché il legame tra ciò che si

vuol rappresentare e il simbolo prescelto diventi

stabile e quindi efficacemente fruibile.

Inoltre ci sono situazioni in cui un’analisi

ragionata e attenta dei significati di certe parole

usate in matematica potrebbe risultare utilissima

in termini sia di educazione linguistica sia

di apprendimento matematico. Gli esempi possono

essere tanti; qui per ora ci limitiamo a presentarne

uno, riguardante la moltiplicazione tra

numeri interi.

Si pensi alla moltiplicazione 4x3. E’ noto

che il primo numero è detto moltiplicando e il

secondo moltiplicatore. Questi termini hanno

un significato ben preciso; e non sarebbe la

stessa cosa se al loro posto usassimo i nomi Cip

e Ciop. Quanti insegnanti sottolineano ancora –

come avveniva tanti anni fa; ma mi auguro che

siano ancora in molti, – che “moltiplicando” significa

“da moltiplicare”? Onde, in 4x3, il 4 deve

essere moltiplicato, cioè addizionato a se

stesso più volte; nello stesso tempo c’è un “agente”,

un “operatore” che dice in che modo il

4 sia da moltiplicare; cioè c’è un moltiplicatore,

che in questo caso è il 3, che impone che 4 sia

addizionato a se stesso tre volte. Questo fa sì

che i due fattori 3 e 4 nella moltiplicazione (anche

se poi essa si rivela commutativa) non entrano

in gioco allo stesso modo; il che potrebbe

tornare utile nel passaggio dalla nozione di

moltiplicazione tra numeri naturali a quella tra

altri tipi di numeri.

Ad esempio, una volta conosciuti da parte

dell’alunno i numeri interi relativi e la conseguente

nozione di addizione tra questi, in (-4)x3

il simbolo “3” continua a svolgere lo stesso ruolo

di moltiplicatore. Cioè, (-4)x3 significa semplicemente

(-4)+(-4)+(-4). Invece in (-4)x(-3) il

segno “-” che accompagna “l’operatore 3” sta a

significare, per convenzione, che “3” svolge ancora

lo stesso ruolo, ma dopo che a -4 è stato

cambiato il segno. Perciò (-4)x(-3) significa

semplicemente (+4) + (+4) + (+4) (o, se si preferisce,

4 + 4 + 4). Cosicché la regola dei segni

perde il suo aspetto incomprensibile e arcano; e

soprattutto diventano superflui i tentativi (concettualmente

errati) di dimostrarla.

Piuttosto, a proposito di 4x3, e di altre moltiplicazioni

tra numeri naturali, sarebbe il caso

di leggere il segno “x” come “volte”: cioè, “4

volte tre” e non “4 per 3” (che significa “3 volte

4”); così come si fa in altre lingue. Ad esempio,

in francese la “x” di 3x4 si legge “fois”, in inglese

“times” e in tedesco si legge “mal” (e in

tutti e tre i casi la traduzione italiana è “volte”).

Infatti, terminata la scuola elementare, per i nostri

studenti scrivere 3xa (o meglio, 3a) significherà

a + a + a, onde l’operatore sarà il numero

collocato sulla sinistra. Il che si accorda col fatto

che, nel rappresentare l’immagine di un elemento



a tramite una funzione f, si ha l’abitudine

di scrivere fa o anche f(a), onde l’operatore



f è collocato sulla sinistra [notazione sinistra].

È vero che talora l’operatore f si pone anche

a destra [notazione destra], ma ciò avviene

soprattutto nel caso particolare in cui esso figuri

come esponente: a

f [notazione esponenziale].

Un altro esempio significativo è offerto dalle

frazioni. Infatti in 2/5 il 2 è detto numeratore,

cioè 2 è qualcosa che numera, che esprime un

conteggio. Ma che cosa enumera questo 2, cosa

quantifica? Ebbene ciò è precisato dall’altro

numero – che nel nostro caso è il 5 – detto denominatore.

Cioè, il 5 “denomina”, dà il nome

di quinti a parti di un qualcosa (di una torta, di

un segmento, di una superficie, ecc.) che è stato

suddiviso in 5 parti eguali. Ciò fa sì che si possa

arrivare a capire perché la moltiplicazione tra

due frazioni a/b e c/d avvenga nel modo ben

noto; onde il risultato è una frazione che ha

come numeratore il prodotto ac dei numeratori

e come denominatore il prodotto bd dei denominatori.

Ebbene, procedendo per semplicità

con un caso concreto, 3/4⋅2/5 significa che di

un qualcosa (una torta, un segmento ...) si considera

prima i 2/5, dopodiché della parte ottenuta

si considerano i 3/4. Però questo processo,

svoltosi in due tempi, dà un risultato che si sarebbe

potuto ottenere in una sola volta, considerando

di quel qualcosa iniziale i (3⋅2)/(4⋅5);



Anno 1 Numero 3

________________________________________

20

cioè, i sei ventesimi. Il che a priori non è detto



che dovesse accadere.

Invece addizionare due frazioni a/b e c/d è

altra cosa, poiché la somma di due frazioni

formalizza un ben altro e ben conosciuto processo

concreto, onde non c’è alcuna ragione – a

parte una ingiustificabile analogia formale –

perché quella somma si debba svolgere sommando

tra loro rispettivamente i due numeratori

e i due denominatori.

Tornando alla moltiplicazione tra frazioni,

per una proficua presa di coscienza del perché

la moltiplicazione si svolga come è stato ricordato

precedentemente, intanto sarebbe il caso

che accanto ai nomi “numeratore” e “denominatore”–

e non in sostituzione di questi – si usassero

rispettivamente anche i nomi di “moltiplicatore”

e di “divisore”, che meglio ricordano

il ruolo operativo di quei numeri, sottolineando

il fatto che col simbolo c/d sono rappresentati

due processi sequenziali unificati, che per brevità

indicheremo con /d (o anche 1/d) il primo e

con c il secondo.

Cioè, come si diceva, di un certo qualcosa,

chiamiamolo q, prima si considera la sua suddivisione

in d parti eguali e poi di queste se ne

considerano c. Onde il risultato di questo processo

viene sinteticamente indicato con (c/d)q.

fig. 1 fig. 2

Cioè, se q è una torta, allora (3/4)q significa

che della torta prima si considera la quarta parte

(si veda quella evidenziata in fig. 1) e poi di

queste parti se ne considerano 3 (si veda fig. 2).

fig. 3

Naturalmente, lo stesso risultato si sarebbe



ottenuto se prima la torta di fig. 1 fosse stata

moltiplicata per 3 (cioè, si fossero considerate

tre torte) e poi in ognuna delle torte si fosse presa

la quarta parte (si veda fig. 3).

Cioè, quei due processi di suddivisione e di

moltiplicazione sono intercambiabili tra loro.

Per capire meglio quello che intendiamo dire, si

pensi a una procedura lavorativa in cui un oggetto



p venga sottoposto a quattro successivi

processi di trasformazione che chiamiamo rispettivamente



f1, f2, f3, f4. Per cui l’oggetto

verrà ad assumere l’uno dopo l’altro quattro

nuovi stati che indicheremo con

f1p, f2f1p, f3f2f1p, f4f3f2f1p.

Talora può capitare che due processi successivi

siano svolti da una medesima persona,

dando luogo a un unico processo in cui si compendiano

i due. Per esempio, se un individuo

svolge di seguito i processi f2 e f3, allora gli ultimi

due stati saranno indicati rispettivamente

con [f3f2]f1p e f4[f3f2]f1p. Comunque è chiaro

che l’esito delle due procedure è il medesimo:

f4f3f2f1p = f4[f3f2]f1p.

Inoltre a volte due processi svolti l’uno dopo

l’altro si possono scambiare tra di loro, sono intercambiabili.

Ad esempio, se p è una patata

che vogliamo friggere, essa subirà i seguenti

quattro processi: f1, pelatura; f2, lavaggio; f3, taglio;



f4, friggitura. È chiaro che i due processi di

taglio e di lavaggio sono tra loro intercambiabili,

per cui risulta: f4f3f2f1p = f4f2f3f1p.

Tornando alle frazioni, il risultato



a/b_ c/d_ q

lo si può scomporre così:



a_ 1/b_ c_ 1/d_q.

Ma lì il processo di divisione per b (indicato

con 1/b) e quello di moltiplicazione per c sono

intercambiabili, come è stato mostrato precedentemente,

onde risulta:

a_1/b_ c_ 1/d_q = a_ c_ 1/b_1/d_q =

[a_c]_[1/b_1/d]_q = [ac]_[1/(bd)]_q,

perciò (a/b)(c/d)q = (ac)/(bd)q.

Anno 1 Numero 3

________________________________________

21

N. B. Si noti che moltiplicare una certa quantità

per b (cioè, riprodurla b volte) e poi moltiplicare

per d il prodotto ottenuto è come moltiplicare

la quantità iniziale direttamente per bd. Inoltre

dividendo una certa quantità prima per d e poi

per b, si ha lo stesso risultato che si avrebbe dividendo

per bd: 1/b 1/d = 1/(bd). Poiché ognuno

dei primi d pezzi ottenuti viene poi suddiviso

in b pezzetti, ottenendo così un totale di bd

pezzetti.

Io mi resi conto di quanto detto precedentemente

soltanto durante la frequenza del liceo.

Nessuno me l’aveva mai detto, anche se ne avevo

un’inconscia convinzione; come moltissimi

studenti, io penso. Però è significativo che

ci siano fatti riguardanti la matematica che si

accettano, senza prove, con molta naturalezza.

Si pensi ad esempio alla decomposizione di

un numero naturale in fattori primi. Forse quella

proprietà e altre ancora hanno un carattere

filogenetico e nel corso dell’evoluzione della

nostra specie sono rimaste incise a poco a poco

nel nostro DNA. Al contrario di quel che diceva

Aristotele nel “De anima”, la nostra mente non

è, io penso, non può essere una “...tabula rasa

in qua nihil scriptum est...”. I nostri riflessi innati

ne sono una prova. Ma ora non vogliamo aprire

un discorso che ci porterebbe troppo lontano

dagli interessi di questo scritto. Ci limitiamo

a precisare che il nostro discorso sull’innatezza

si riferisce alle capacità, alle attitudini

degli individui della nostra specie; e non

alle abilità che eventualmente essi vengano ad

acquisire grazie ad esperienze e ad attività educative,

didattiche. In definitiva, tanto per fare

un paragone, pur se una molla compressa e

“imprigionata” da vincoli non esercita alcuna

azione, ciò non vuol dire che essa non ne abbia

la “capacità”. Basta metterla in condizione di

farlo, liberandola da quei vincoli.

Avviandoci alla conclusione, dedichiamo

una breve attenzione alle proprietà commutativa

e associativa della moltiplicazione tra numeri

naturali (quelle dell’addizione sono del tutto

naturali, dato il significato di questa operazione,

soprattutto in relazione a una sua interpretazione

insiemistica).

La presentazione che faremo è propedeutica,

in un senso che si capirà facilmente,

all’introduzione dei concetti di area di un rettangolo

e di volume di una “scatola” (di un parallelepipedo).

Noi ci riferiremo a un caso particolare, ma

ciò che faremo non sarà solo una verifica su

quel caso, che potrebbe essere fatta calcolando

separatamente (6x4)x3 e 6x(4x3). Invece quanto

diremo può servire ad aiutare lo studente a

capire che ciò che viene illustrato si estende al

caso generale.

fig. 4


Ebbene, osservando fig. 4, si vede subito

che la faccia situata di fronte esprime il prodotto

6x4. Infatti essa presenta uno “schieramento”

orizzontale di 6 cubetti ripetuto in verticale 4

volte. Ma è chiaro che se il disegno viene ruotato

di 90 gradi, allora il numero di cubetti situati

di fronte non cambia; solo che ora questi cubetti

si presentano secondo uno schieramento orizzontale

di 4 cubetti ripetuto in verticale 6 volte.

Perciò risulta 6x4 = 4x6.

Per quel che riguarda la proprietà associativa,

si osservi che lo schieramento di 6x4 cubetti

situato di fronte è ripetuto – andando in profondità

– 3 volte; perciò abbiamo un totale di

(6x4)x3 cubetti. Però, immaginando di osservare

il solido dalla faccia di destra, il che non

cambia il numero totale di cubetti, questo numero

lo si ritrova come (3x4)x6, che – per la

proprietà commutativa già vista – risulta eguale

a 6x(4x3). Onde risulta: (6x4)x3 = 6x(4x3).

Ora veniamo a un altro aspetto che determina

difficoltà nell’apprendimento della matematica.

Anche esso ha un carattere linguistico, però

non di tipo semplicemente terminologico, ma

di tipo strutturale. Intendiamo dire che ciò che

Anno 1 Numero 3

_______________________________________

22

rende difficile la nostra disciplina è anche il



modo che noi abbiamo di discutere di essa e di

presentare i suoi concetti. Un modo che deve

necessariamente rifuggire dall’approssimazione

e dal relativismo comunicativo imperante, dal

“così è se vi pare”, dal “qui lo dico e qui lo nego”.

Tuttavia, a volte certi concetti – che per loro

natura sono semplici, sulla base di nozioni

già acquisite dagli alunni – risultano incomprensibili,

poiché il linguaggio che si adopera

per presentarli non riesce a svolgere efficacemente

la sua funzione. Quindi la difficoltà sembra

risiedere non nella matematica ma nel modo

in cui è organizzato il suo linguaggio: è questo

che a volte rende difficile la nostra disciplina.

Ci è capitato di spiegare a uno studente di

un istituto superiore cosa fosse la distanza di un

punto da una retta, dopo aver disegnato i due

enti geometrici. Costui non riusciva a districarsi

con le parole (… la lunghezza del segmento di

perpendicolare condotto da quel punto alla retta

…). Ma non appena – un po’ impropriamente

– gli si chiese di mostrare la distanza più breve

per andare dal punto alla retta, egli indicò immediatamente

il dovuto segmento.

Concludendo, ricordiamo un curioso episodio

occorso ad Anna Cerasoli, docente di matematica

e affermata divulgatrice della disciplina.

Ella era alle prese con uno studente delle

scuole medie superiori che aveva difficoltà nel

risolvere un problema di matematica. Dovendo

svolgere il prodotto 3x7, questi era in estremo

imbarazzo, poiché non ne ricordava il risultato.

Allora la Cerasoli gli domandò che quantità di

danaro egli avrebbe ricevuto se, avendo 3 zii,

ognuno di essi gli avesse regalato 7 euro. "Professorè,



ventuno euro!", rispose quello prontamente.

Solo che nello svolgere il suo conteggio

concreto non aveva riconosciuto un modo per

rispondere alla domanda che gli era stata rivolta

precedentemente.

Però è triste prendere coscienza del fatto

che i canoni di una comunicazione precisa e

priva di aspetti approssimativi – che inizialmente,

come è stato già detto, sono patrimonio

naturale dei nostri bambini, che privilegiano un

linguaggio di tipo “pane al pane e vino al vino”

– a un certo punto diventino incomprensibili e

appaiano come inutili ed estranei alla realtà

concreta. Perciò, pur concordando con

l’importanza di accedere a forme comunicative

più evolute e più efficaci sul piano della comunicazione

usuale, sarebbe il caso di coltivare nei

nostri alunni, a partire già dalla scuola materna,

la loro naturale propensione al linguaggio della

precisione, che in matematica ha un’importanza

fondamentale. E per loro non solo l’apprendimento

matematico sarebbe facilitato, ma anche

il loro modo di rapportarsi agli altri sul piano

comunicativo risulterebbe più efficace, sottraendoli

ai venditori di fumo e agli azzeccagarbugli

che infestano la nostra società.



Bibliografia

[1] Euler L., Solutio Problematis ad geometriam



situs pertinentis, Comment. Acad. Sc.

Petrop., t. 8 (1736), pp. 128-140. Reprinted in

Commentationes Algebraicae, Teubner, Lipsia,

Berlin (edidit L. G. Du Pasquier) (1923).

[2] Fontana M., Matteo Ricci, Mondadori (Le

Scie), Milano, 2005.

[3] Lenzi D., Di crisi in crisi Ma forse

l’ultima mi preoccupa di più. Lettera matematica

Pristem, n. 56, (2005).

[4] Lenzi D., L’educazione matematica e il linguaggio

letterale. Italiano e oltre, n. 4 (2003).

[5] Lenzi D., Matematica vecchia e nuova:



quale contrasto, quali difficoltà? Atti del

convegno su Matematica, Formazione Scientifica

e Nuove Tecnologie”, Lamezia Terme

(2006).


[6] Lenzi D., Matematica vecchia e nuova tra

errori, fughe in avanti e occasioni mancate.

Atti del convegno su Modelli e Tecnologie per

la nuova Didattica della Matematica, Salerno-

Positano (2007).

[7] Melzi G., Matematica e comunicazione sociale.

Periodico di matematiche, 1-2, 1978.

[8] Revuz A., La geometria in un insegnamento

moderno della matematica. Periodico



di Matematiche, serie IV, n. 3 (1965).


Condividi con i tuoi amici:


©astratto.info 2019
invia messaggio

    Pagina principale