Processo Stocastico: un processo stocastico è un processo che è costituito da eventi la cui realizzazione non è deterministica, ma caratterizzata da incertezza



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Processo Stocastico: un processo stocastico è un processo che è costituito da eventi la cui realizzazione non è deterministica, ma caratterizzata da incertezza

  • Processo Stocastico: un processo stocastico è un processo che è costituito da eventi la cui realizzazione non è deterministica, ma caratterizzata da incertezza

  • Esempio: i tempi di arrivo dei clienti in un grande centro commerciale o il numero di clienti che arriva al centro commerciale nell’intervallo dt attorno al tempo t.





E’ possibile definire la Probabilità?

  • E’ possibile definire la Probabilità?

  • Sì, ma ci sono due scuole

  • La prima dice che la probabiltà è una porprietà oggettiva degli eventi (Scuola Frequentista)

  • La seconda dice che la Probabilità è una misura “soggettiva”della verosimiglianza degli eventi (De Finetti)





Supponete di saltare dentro U a caso. Chiamate P(A) la probabilità di saltare in A. Quanto vale?

  • Supponete di saltare dentro U a caso. Chiamate P(A) la probabilità di saltare in A. Quanto vale?

  • Sarà l’area di A diviso l’area di U: P(A)=A/U

  • In questo caso P(U)=P(A)+ P(B)+ P(C)+ P(D)+ P(E)



Dati n eventi non mutuamente esclusivi, in generale la probabilità dell’unione di detti n eventi sarà la somma delle probabilità degli eventi singoli, cui si sottrarrà la somma delle probabilità delle doppie intersezioni, si sommeranno le probabilità delle triple intersezioni e così via.

  • Dati n eventi non mutuamente esclusivi, in generale la probabilità dell’unione di detti n eventi sarà la somma delle probabilità degli eventi singoli, cui si sottrarrà la somma delle probabilità delle doppie intersezioni, si sommeranno le probabilità delle triple intersezioni e così via.

  • In termini di aree



2 eventi

  • 2 eventi

  • 3 eventi



  • Dimostrazione. Introduciamo un insieme di n eventi, A1, A2,…, An e consideriamo un esperimento casuale su di essi. Indichiamo con Ii la variabile indicatrice dell’evento Ai. La definiamo come segue:

  • Sia N il numero di eventi che si verificano. Varrà:



N è una variabile casuale. Ci chiediamo: qual è il valore atteso di N, E[N]?

  • N è una variabile casuale. Ci chiediamo: qual è il valore atteso di N, E[N]?

  • Prima di rispondere, vediamo un “trucco” di calcolo combinatorio che ci tornerà utile:

  • Ora, notiamo che

  • Quindi, se introduciamo la variabile indicatrice di N così definita:

  • Otteniamo:



Quindi vale per IN il seguente sviluppo in termini di binomio di Newton:

  • Quindi vale per IN il seguente sviluppo in termini di binomio di Newton:

  • …Il k+1 deriva dal fatto che davanti alla somma c’è un segno -…

  • Ora, calcoliamo il valore atteso di IN

  • Il passaggio all’interno della somma deriva dal fatto che il valore atteso è un operatore Lineare

  • Esplicitiamo i termini:



Calcoliamo i termini:

  • Calcoliamo i termini:

  • E così via.

  • Ora notiamo che:

  • Quindi:

  • q.e.d.



Supponete ora che B è avvenuto. Quindi siete saltati dentro l’area B.

  • Supponete ora che B è avvenuto. Quindi siete saltati dentro l’area B.



Nel gioco del lotto, si vince con il 6. Qual è la probabilità, in sei estrazioni senza rimpiazzo, su 90 numeri di ottenere 6?

  • Nel gioco del lotto, si vince con il 6. Qual è la probabilità, in sei estrazioni senza rimpiazzo, su 90 numeri di ottenere 6?

  • Giochiamo 1 colonna e calcoliamo la probabilità di vincere. La probabilità è che la prima cifra estratta sia una delle nostre 6, la seconda sia una delle rimanenti 5 e così via. Indichiamo con I l’evento “la prima cifra estratta è una di quelle giocate da noi,” con II l’evento “la seconda cifra è esatta dato che la prima è una delle nostre 6,”, con III l’evento ““la terza cifra è una delle rimanenti 4, dato che le prime due sono delle nostre 6,” etc.

  • Dobbiamo calcolare: P(I,II,III,IV,IV,VI). Utilizziamo la probabilità condizionale:

  • P(I,II,III,IV,V,VI)= P(VI | I,II,III,IV,IV)*P(V,IV,III,II,I)= P(VI | I,II,III,IV,IV)*P(V | IV,III,II,I)* P(IV,III,II,I)= …=P(VI | I,II,III,IV,IV)*P(V | IV,III,II,I)* …*P(II |I)*P(I)

  • La probailità che la prima sia una delle nostre è data da 6/90. La probabilità che la seconda sia una delle cifre giocate dato che la prima è una delle 6 è 5/89. Così via per le altre. Dunque:



Teorema probabilità totale: dati N eventi mutuamente esclusivi (A1, A2,…,AN) e esaustivi, la probabilità di un altro evento E in U è data da:

  • Teorema probabilità totale: dati N eventi mutuamente esclusivi (A1, A2,…,AN) e esaustivi, la probabilità di un altro evento E in U è data da:






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