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PROGRAMMA DEL CORSO DI

ALGEBRA.

Prof. C. Casolo


Fondamenti:

Insiemi ed operazioni tra insiemi. Applicazioni, composizione, applicazioni invertibili. Cardinalità di un insieme. Relazioni di equivalenza, partizioni, insieme quoziente. Numeri interi, principio di induzione e altre proprietà. Calcolo combinatorio, coefficiente binomiale. - Dispensa + (rel. equivalenza) § 2.5 -

Gruppi:

Operazioni su un insieme, semigruppi e monoidi; §2.1.

Sottogruppi, gruppo (Z,+) e suoi sottogruppi, gruppi ciclici e loro sottogruppi, classi laterali e Teorema di Lagrange, sottogruppi normali, gruppo quoziente, omomorfismi e isomorfismi, teoremi di omomorfismo, coniugio, automorfismi e automorfismi interni, gruppi Z/nZ, prodotti e prodotti diretti, permutazioni e gruppi di permutazioni, decomposizioni in cicli, Teorema di Cayley; § 2.2 , 2.3 , 2.4 , 2.6 , 2.7 , 2.8 , 2.9, 2.10 , 6.1 (Teorema 1.3) , 6.6.

gruppi di matrici, gruppi di movimenti rigidi sul piano e simmetrie, azioni di gruppi su insiemi, orbite e stabilizzatori, formula delle classi, Teoremi di Sylow (solo enunciato); § 4.5 (dim. Teorema 5.5 solo in R2, niente Lemma 5.23), (§ 5.1 , 5.2 , 5.3, 5.5, 5.6 (solo Prop. 6.4), 5.7, 6.1, 6.3 (solo coniugio, cioè dalla riga -8 di pag. 242), 6.4 (senza dimostrazioni).

Anelli, polinomi e campi

Anelli: definizione, anelli commutativi, elementi invertibili, domini di integrità, sottoanelli, ideali, ideali principali, omomorfismi e isomorfismi, campi, anello dei quaternioni, anelli quoziente, aritmetica modulare, caratteristica, campo delle frazioni di un dominio, ideali massimali, domini a fattorizzazione unica, domini a ideali principali, domini euclidei. § 10.1 , 10.3 (tranne 3.7, 3.8), 10.4 (fini all'inizio di pag.429), 10.6, 10.7 (fino alla Prop. 7.5), 11.1, 11.2, 11.3 (esclusa pag.476)

Anello dei polinomi: costruzione e principali proprietà, principio di sostituzione, divisione tra polinomi, radici, ideali, fattorizzazione di polinomi, lemma di Gauss, algoritmi per la fattorizzazione di polinomi, aggiunzione di elementi ad un anello. § 10.2 (dalla fine di pag.415), 10.3 (punti 3.19, 3.20, 3.21, 3.22), 10.5 (Prop. 5.7), 11.1 (Teorema 1.5 e Prop. 1.8), 11.3 (fino al Coroll. 3.10), 11.4 (tranne la Prop. 4.7).

Campi ed estensioni: elementi algebrici e trascendenti, grado di una estensione, aggiunzione di radici e campi algebricamente chiusi, costruzione di campi finiti. §13.1, 13.2 (tranne la Prop. 2.9), 13.3 (fino al Teorema 3.10, esclusa la Prop. 3.3), 13.5 (fino alla Prop. 5.3), 13.6 (fino al Teorema 6.4 (a, b ,c) e senza dimostrazione), 13.9 (fino a meta di pag. 620).


Testo : M. Artin ALGEBRA


Programma del corso di
Secondo semestre
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