Programma relativo al modulo I (Geometria) dell’esame di Istituzioni di Matematiche + Istituzioni di Geometrica



Scaricare 17.28 Kb.
21.12.2017
Dimensione del file17.28 Kb.

Programma relativo al modulo I (Geometria)

dell’esame di Istituzioni di Matematiche + Istituzioni di Geometrica

A.A. 2015-2016

Docente del corso: prof. Giuseppe DEVILLANOVA



  1. Numeri complessi (pp 35—43)

Definizione di C e struttura di campo: Operazioni su R^2

Forma algebrica di un numero complesso: unità immaginaria, somma, sottrazione, prodotto e divisione tra numeri complessi.

Piano Complesso e rappresentazione cartesiana.

Coniugato e Modulo: Proprietà dell’operazione di coniugio. Proprietà del modulo di un numero complesso e proprietà elementari dei triangoli. Equazioni nel campo complesso.

Misura in radianti di un angolo. Circonferenza goniometrica. Funzioni coseno, seno, tangente e cotangente e legami tra di esse. Formule di addizione, sottrazione, duplicazione e bisezione.



Forma di De Moivre (o polare - trigonometrica di un numero complesso)

Formule dirette e inverse del cambio di variabili da cartesiane a polari. Vantaggi dell’utilizzo della forma polare nei prodotti, divisioni e potenze.



Radici n-esime di un numero complesso. Determinazione delle n radici n-esime distinte di un numero complesso qualsiasi. Interpretazione geometrica delle radici n-esime dell’unità.

  1. Elementi di Geometria e Algebra Lineare (pp 361--457)

    1. Vettori nel piano e nello spazio

Definizione di vettore

    1. Operazioni fondamentali sui vettori

Somma di vettori e sue proprietà, Vettore opposto, Moltiplicazione di un vettore per uno scalare, Versori, Normalizzazione di un vettore non nullo. Vettori del piano e versori canonici. Vettori nello spazio e versori canonici. Combinazioni lineari di vettori. Vettori linearmente indipendenti. Prodotto scalare e sue proprietà. Rappresentazione algebrica e goniometrica del prodotto scalare. Criterio di ortogonalità tra vettori. Interpretazioni fisiche di un prodotto scalare. Prodotto vettoriale e sue proprietà. Rappresentazione algebrica e goniometrica del prodotto vettoriale. Criterio di parallelismo tra vettori. Interpretazioni fisiche di un prodotto vettoriale. Prodotto misto di vettori. Interpretazione geometrica del prodotto misto. Criterio di complanarità di vettori dello spazio.

  1. Geometria analitica lineare nello spazio

Equazione di una retta nello spazio individuata da un punto e un vettore direzione oppure da due punti. Equazione parametrica vettoriale ed equazioni parametriche scalari di una retta. Equazioni cartesiane di una retta. Formule di passaggio da equazioni parametriche ad equazioni cartesiane e viceversa. Condizioni di parallelismo ed ortogonalità tra rette.

Equazione del piano individuato da un punto ed un vettore ortogonale al piano stesso, oppure da tre punti non allineati, oppure da due rette incidenti. Giacitura e coseni direttori di un piano. Rappresentazione cartesiana di un piano. Significato geometrico dei coefficienti dell’equazione di un piano espressa in forma normale. Condizioni di parallelismo ed ortogonalità tra piani. Equazione di una retta intersezione di due piani. Distanza di un punto da un piano. Rette sghembe.



  1. Spazi vettoriali

    1. Vettori n-dimensionali: lo spazioR^n. Spazi vettoriali astratti

Somma di vettori e sue proprietà, Vettore opposto, Moltiplicazione di un vettore per uno scalare e sue proprietà, Versori, Normalizzazione di un vettore non nullo.Versori canonici. Combinazioni lineari di vettori. Definizione di sottospazio e criterio di riconoscimento di sottospazi. Lineare indipendenza, base e dimensione di un sottospazio vettoriale. Componenti di un vettori secondo una base assegnata.

    1. Prodotto scalare in R^n

Definizione e proprietà del prodotto scalare in R^n. Definizione di ortogonalità e parallelismo in R^n. Modulo o norma di un vettore. Proprietà della norma. Distanza dedotta dalla norma. Proprietà di una distanza.

    1. Spazi vettoriali con prodotto scalare

Proprietà degli spazi vettoriali dotati di prodotto scalare. Norma e distanza associate. Complemento ortogonale di un sottospazio vettoriale. Basi ortonormali e loro vantaggi. Procedimento di ortonormalizzazione di Gram-Schmidt. Proiezione ortogonale su sottospazi di dimensione finita. Elemento di minima distanza. Somma diretta di sottospazi ortogonali.

    1. Il concetto di linearità

Definizione di trasformazione lineare, significato geometrico ed interpretazione fisica di una trasformazione lineare.

  1. Matrici e trasformazioni lineari

    1. L’algebra delle matrici

Matrici tipo mxn. Operazioni di somma tra matrici e di moltiplicazione di una matrice per uno scalare. Matrici compatibili per il prodotto. Prodotto righe per colonne di matrici compatibili e relative proprietà. Matrice trasposta. Matrici quadrate. Matrice Identica. Matrici Triangolari. Matrice di rotazione nel piano.

    1. Rappresentazione matriciale delle trasformazioni lineari

Teorema di rappresentazione di una trasformazione lineare da R^n in R^m in dipendenza delle basi fissate. Esempi. Osservazioni sul teorema di rappresentazione.

    1. Determinante di una matrice quadrata

Definizione di determinante di una matrice (secondo il 1° Teorema di Laplace). Secondo Teorema di Laplace. Proprietà del determinante. Teorema di Binet. Interpretazione geometrica del determinante di una matrice 2x2 e di una matrice 3x3.

    1. Caratteristica di una matrice

Definizione di rango o caratteristica di una matrice. Interpretazione algebrica del rango di una matrice come numero massimo di vettori riga o di vettori colonna linearmente indipendenti. Teorema di Kronecker (o degli orlati).

    1. Matrice Inversa

Definizione di Matrice inversa di un matrice quadrata. Condizione necessaria e sufficiente per l’esistenza della matrice inversa. Matrici non singolari. Unicità della matrice inversa di una matrice non singolare. Esempi. Prodotto di matrici invertibili.

  1. Sistemi Lineari

    1. Generalità. Metodo di Cramer

Definizione di soluzione di un sistema di m equazioni in n incognite. Scrittura in forma vettoriale di un sistema di m equazioni in m incognite. (vettore delle incognite, vettore dei termini noti, matrice dei coefficienti e matrice completa). Analogie (ed interpretazioni geometriche) con il caso di 2 equazioni in 2 incognite. Tecniche elementari di soluzione. Sistemi di n equazioni in n incognite. Teorema di Cramer. Sistemi omogenei di n equazioni in n incognite.

    1. Immagine e Nucleo di una trasformazione lineare da R^n in R^m

Definizione di Immagine e di Nucleo di una trasformazione lineare da R^n in R^m (e loro proprietà espresse in termini di una matrice di rappresentazione). Teorema sulla dimensione di nucleo e di immagine. Caratterizzazione di trasformazioni lineari ingettive e surgettive mediante Immagine e Nucleo. Il caso particolare n=m. (l’esistenza di una soluzione equivale all’unicità della stessa).

    1. Sistemi generali. Teorema di Rouché-Capelli

Legami tra sistema omogeneo e sistema completo. Teorema di struttura delle soluzioni di un sistema completo. Compatibilità del sistema omogeneo. Insieme delle soluzioni di un sistema omogeneo visto come nucleo della trasformazione lineare associata alla matrice dei coefficienti. Condizioni necessarie per la compatibilità di un sistema di m equazioni in n incognite. Appartenenza del termine noto all’immagine della trasformazione lineare associata alla matrice dei coefficienti. Schema risolutivo di un sistema di m-equazioni in n incognite.

  1. Autovalori ed autovettori. Diagonalizzazione

    1. Matrici diagonalizzabili. Matrice diagonale e interpretazione geometrica della trasformazione lineare associata. Definizione di diagonalizzabilità di una matrice. Definizione di matrici simili e di matrice di passaggio.

    2. Autovalori e autovettori di una matrice. Definizione di autovalore di una matrice (o della corrispondente trasformazione lineare) e dei relativi autovettori. Definizione di polinomio caratteristico e di equazione caratteristica associati ad una matrice. Quantità che si conservano tra matrici simili: determinante, caratteristica, traccia e polinomio caratteristico. Esempi.

    3. Condizioni di diagonalizzabilità Definizione di molteplicità algebrica e di molteplicità geometrica di un autovalore. Definzione di semplicità e regolarità di un autovalore. Condizione necessaria e sufficiente per la diagonalizzabilità. Definizione di matrice ortogonale e relative proprietà. Teorema di diagonalizzabilità di una matrice reale simmetrica. (ortogonalità della matrice di passaggio). Esempi. Cenni ai movimenti rigidi di piano e spazio.

  2. Coniche e Quadriche

    1. Le coniche

      1. Le coniche dal punto di vista della geometria elementare e le loro equazioni canoniche

Le coniche come sezioni di un cono (coniche degeneri: le rette, coniche non degeneri: ellisse, iperbole, parabola).

Le coniche come luoghi geometrici piani e loro equazioni canoniche.

Coniche a centro (ellisse, iperbole). Coniche non a centro (parabola).


      1. L’equazione generale delle coniche. Forma canonica

Le coniche come curve algebriche del 2° ordine in R^2. Invarianti di una conica rispetto ai movimenti rigidi del piano. Criterio per la determinazione di coniche non degeneri. Calcolo degli invarianti di ellisse, iperbole e parabola in forma canonica. Riconoscimento di una conica mediante gli invarianti. Esempi. Tipi di coniche degeneri. Esempi.

      1. Coniche ed eccentricità

Caratterizzazione delle coniche non degeneri mediante l’eccentricità. Il caso escluso: la circonferenza.

    1. Le superfici quadriche

      1. Invarianti di una quadrica

Quadriche come superfici del 2° ordine in R^3.

Quadriche non degeneri (I4≠0): Ellissoide, Iperboloidi, Paraboloidi.



Quadriche degeneri (I4=0): Coni, cilindri e piani.

      1. Forma canonica e rappresentazione delle quadriche a centro (I3≠0): Ellissoide e Iperboloidi

      2. Forma canonica e rappresentazione delle quadriche non a centro (I3=0): Paraboloidi.

      3. Quadriche rigate: Iperboloide ad 1 falda e paraboloide iperbolico.

      4. Calcolo degli invarianti delle quadriche non degeneri in forma canonica.

      5. Riconoscimento di una quadrica mediante gli invarianti.

elenco: Programmi
Programmi -> Teorie dell’arte e dell’esperienza estetica
Programmi -> Ministero dell’Istruzione, dell’Università e della Ricerca
Programmi -> Liceo scientifico statale “sandro pertini” di Ladispoli anno scolastico 2016-2017
Programmi -> Roma – Via delle Sette Chiese, 259 – Tel. 065123106 –fax. 0651882892 Distretto 19 – Cod. Mec. Rmis01600N – C. F
Programmi -> Sandro pertini
Programmi -> Ufficio legislativo indicazioni nazionali per I Piani di studio personalizzati nella Scuola Secondaria di 1° grado
Programmi -> Liceo classico "Campana" Osimo. Percorso formativo di storia dell'arte 2016-2017 classe vac prof ssa Donatella Discepoli Obiettivi
Programmi -> I. I. S. “G. Brotzu” liceo scientifico quartu sant’elena programma classe 1° sez. C materia: Disegno e Storia dell’Arte Anno scolastico: 2015 – 2016 Insegnante: prof. Antonio Curreli argomenti tecnico-espressivi
Programmi -> Istituto tecnico commerciale statale “G
Programmi -> Programma di Storia dell’arte Anno scolastico 2013-2014


Condividi con i tuoi amici:


©astratto.info 2019
invia messaggio

    Pagina principale