Reti di Petri Musicali Scopi



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24.01.2018
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Reti di Petri Musicali


Scopi

  • Definire uno strumento di rappresentazione delle strutture musicali, ad un livello più astratto della notazione

  • Utilizzare la definizione di generico Oggetto Musicale (Music Object - MO)



Scopi

  • Utilizzare un formalismo che presenti le seguenti caratteristiche:

    • Affinità con il modo di ragionare del compositore
    • Supporto di diversi livelli di rappresentazione dell’informazione musicale
    • Meccanismi di morfismo tra i vari livelli di rappresentazione
    • Strutture di elaborazione concorrente
    • Operatori per elaborare e trasformare le entità musicali
    • Alta flessibilità


Reti di Petri: Introduzione

  • Una Rete di Petri (Petri Net – PN) è un modello astratto e formale atto a rappresentare la dinamica di un sistema che esibisce attività asincrone e concorrenti

  • Utilizzando questo modello è possibile:

    • rappresentare la struttura musicale di un brano esistente (strumento per l’analisi)
    • creare brani lavorando ad un livello di astrazione più alto della notazione o del segnale (strumento per la sintesi)


Caratteristiche

  • Le Reti di Petri Musicali introdotte di seguito presentano le seguenti caratteristiche:

    • Uso di pochi simboli
    • Rappresentazione grafica
    • Descrizione di gerarchie
    • Descrizione di algoritmi applicabili a MOs
    • Gestione della temporizzazione
    • Possibilità di strutture deterministiche / non-deterministiche
    • Gestione di macro per strutture comuni
    • Sintesi della musica descritta


Oggetti Musicali (Music Objects – MOs)

  • Un oggetto musicale è una qualsiasi entità con una valenza musicale; ad esempio:

    • Un frammento di partitura
    • Un frammento audio
    • Un comando di controllo di un’apparecchiatura di sintesi
    • Una specifica di parametri musicali (tempo, volume…)


Oggetti Musicali (Music Objects – MOs)

  • Nei primi anni ’80 i MOs erano descritti attraverso lo standard MIDI

  • Dal 2004 si è esteso il modello attraverso l’utilizzo dell’MX



Reti di Petri (Petri Nets – PNs) – Definizione formale

  • Una PN è una tripla:

  • PN = (P, T, A)

  • dove P è detto insieme dei posti, T è detto insieme delle transizioni ed A è detto insieme degli archi. Inoltre devono valere le proprietà:

    • 1. P  T = 
    • 2. P  T  
    • 3. A  (P  T)  (T  P)
    • 4. dom(A)  ran(A) = P  T, dove
      • dom(A) = {x P  T : (x,y)  A per qualche y P  T}
      • ran(A) = {y P  T : (x,y)  A per qualche x P  T}


Reti di Petri: concetti fondamentali



Regole formali

  • 1. P  T = 

    • Un nodo non può essere contemporaneamente di tipo posto e di tipo transizione
  • 2. P  T  

    • In una PN ci deve essere almeno un posto o una transizione


Regole formali

  • 3. A  (P  T)  (T  P)

    • Possono essere collegati fra loro solo nodi di tipo diverso


Regole formali

  • 4. dom(A)  ran(A) = P  T, dove

    • dom(A) = {x P  T : (x,y)  A per qualche y P  T}
    • ran(A) = {y P  T : (x,y)  A per qualche x P  T}
    • dom(A): dominio degli archi
    • ran(A): codominio (range) degli archi
    • In una PN non possono esistere nodi isolati


Esecuzione di una PN

  • Una PN non è statica, ma può mutare le sue caratteristiche quando viene eseguita

  • Partenza dell’esecuzione: stato iniziale

  • Esecuzione: sequenza di scatti che mutano lo stato della rete

  • Termine dell’esecuzione: assenza di possibilità di scatto



Regole di scatto



Situazione non deterministica 1: alternativa



Esempi



Esempi



Estensione: capacità



Situazione non deterministica 2: conflitto



Esempi



Estensione: raffinamenti

  • Il raffinamento è un tipo elementare di morfismo usato per scomporre reti complesse in più reti semplificate

  • Una sottorete descrive un nodo padre



Estensione: peso probabilistico

  • In situazioni di alternativa e/o conflitto, la scelta tra le transizioni può essere condizionata dal peso probabilistico associato agli archi, un numero ≥ 0 (di default = 1) indicato fra parentesi quadre



Peso probabilistico: caso particolare

  • Una transizione connessa ad un arco con peso probabilistico = 0 è abilitata solo quando non esistono altre transizioni abilitabili connesse ad archi con pesi probabilistici > 0



Esempio: Selettore



Reti di Petri Musicali

  • Nel caso musicale

    • Ai posti possono venire associati oggetti musicali, eseguiti quando arrivano delle marche in ingresso
    • Alle transizioni possono venire associati algoritmi di modifica, eseguiti allo scatto
    • Il materiale musicale trattato è codificato in MX


Temporizzazione

  • Nel nostro formalismo l’esecuzione delle transizioni è istantanea

  • La temporizzazione deriva dall’esecuzione degli oggetti musicali associati ai posti: le marche presenti sono disponibili in uscita solo quando l’eventuale esecuzione del materiale si è conclusa



Algoritmi associati alle transizioni

  • In una PN musicale possono essere associati alle transizioni degli algoritmi che modificano il materiale musicale in ingresso, ponendo in uscita il frammento modificato

  • Vengono definiti degli operatori usabili negli algoritmi: gli operatori qui trattati sono stati introdotti negli anni ‘80, quando ai posti venivano associati frammenti MIDI



Algoritmi: metacaratteri

  • Vengono usati all’interno degli algoritmi con un significato speciale

  • Sia X l’oggetto musicale da trasformare:

    • $ contiene il numero totale di note di X
    • % contiene il numero di note della sottosequenza di X su cui abbiamo definito l’applicazione dell’algoritmo
    • ? contiene il valore del parametro, riferito alla nota corrente, che vogliamo cambiare
    • ! Contiene la posizione della nota su cui viene applicato l’operatore


Algoritmi: operatori (estratto)

  • Oltre alle operazioni aritmetiche vengono definiti i seguenti operatori (fra altri) per la modifica dei parametri musicali

    • D (Duration): modifica durata
    • L (Loudness): modifica volume
    • M (Multiply): moltiplica note
    • R (Rotate): ruota note
    • P (Pitch): modifica altezza
    • I (Inversion): inverte note
    • K (Kill): cancella note
    • S (Save): preserva note


Algoritmi: esempi



Algoritmi: esempi



Algoritmi: esempi



Strutture elementari



Loop



Reti di Petri e MX

  • Esecuzione di una PN musicale:

    • Mixaggio dei frammenti MX associati ai posti
    • Produzione di un file MX in output
  • Struttura del file MX in output:

    • Copia dei frammenti MX della PN
    • Mixaggio degli spine


Mixaggio dell’MX

  • Quando viene processato un file MX in un posto:

    • La parte esterna allo spine viene copiata nell’MX globale
    • Ad ogni id viene aggiunto un prefisso che lo renda univoco (mx#_)
    • Se non ci sono sovrapposizioni lo spine viene accodato
    • Se esistono sovrapposizioni gli spine vengono mixati


Mixaggio degli spine: giustapposizione

  • Esempio: istante di tempo relativo 25



Mixaggio degli spine: sovrapposizione

  • Esempio: istante di tempo relativo 12



Problemi di mixaggio

  • Nel mixaggio di file MX si deve far attenzione: i vtu sono misure di tempo relativo

  • Es.: si mixano due frammenti identici compilati da soggetti distinti:

    • Nel frammento 1 ogni battuta “dura” 4 vtu
    • Nel frammento 2 ogni battuta “dura” 256 vtu


Problemi di mixaggio

  • Soluzione: nel file MX esiste un elemento XML chiamato vtu_amount che indica in quanti vtu è divisa una battuta

  • Anche con la soluzione proposta rimane il problema del mixaggio di frammenti con indicazioni metriche diverse



Terminologia

  • Multimetria: andamento orizzontale della musica sottoposto a cambiamenti successivi nell’ambito dell’organizzazione metrica



Terminologia

  • Polimetria: sovrapposizione simultanea di diversi flussi metrici



Polimetria: soluzione

  • Per consentire mixaggi polimetrici è possibile assegnare un parametro di scala

  • In realtà sono possibili 3 modalità:

    • Automatica1: allineamento per battute
    • Automatica2: allineamento per valori
    • Manuale: specifica manuale dei parametri


ScoreSynth



Esempio: Canone



Canone: struttura



Canone (soluzione 1)



Canone: soluzione 2



Canone: soluzione 2



Canone: soluzione 2



Canone: soluzione 2



Canone: modifica non-deterministica



Canone: modifica non-deterministica



Canone: modifica non-deterministica



Canone: modifica non-deterministica



Es.: Sonata KV332 di Mozart (1° movim.)



Sonata: struttura generale

  • Esposizione e ripresa presentano parti in comune e parti simili ma non identiche



Sonata: struttura generale



Sonata: struttura esposizione/ripresa



Sonata: struttura SG/CG



Sonata: struttura T



Sonata: struttura T



Sonata: Struttura T’



Sonata: struttura T’







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