Scheda numero 13 Liceo scientifico Da Vinci Classe seconda G/h omotetie e similitudini con GeoGebra



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SCHEDA NUMERO 13 Liceo scientifico Da Vinci Classe seconda G/H
OMOTETIE E SIMILITUDINI con GeoGebra
Ricorderai certamente che le isometrie sono le trasformazioni geometriche che corrispondono, in senso astratto, ai movimenti rigidi; le omotetie, invece, sono le trasformazioni che corrispondono in senso astratto, agli ingrandimenti e alle riduzioni delle figure a partire da un “centro di proiezione”. Vediamo ora degli esempi.
Attività 1: Dato un qualunque triangolo, ABC, determiniamo la figura ingrandita del doppio di tale triangolo.

  • Disegna un triangolo ABC e sia P un qualunque punto del piano che sarà il centro di proiezione (inizialmente, per facilitare la costruzione, fissalo fuori dal triangolo).

  • Disegna ora tre semirette uscenti da P e passanti per i punti A, B e C.

  • Individua sulle semirette i punti A', B' e C' tali che PA' = 2PA, PB' = 2PB …

(per individuare tali punti puoi tracciare delle circonferenze).

  • Disegna il triangolo che ha come vertici A', B' e C', misura i suoi lati e quelli del triangolo iniziale.


Osservazione: la trasformazione appena applicata al triangolo ABC per ottenere il triangolo A’B’C’ è detta omotetia di centro P e rapporto 2.
Attività 2: Dato un qualunque triangolo, costruisci un secondo triangolo i cui lati siano in proporzione (con rapporto k) a quelli del primo.

  • Disegna un triangolo ABC e sia P un qualunque punto del piano.

  • Inserisci nella barra sottostante la scrittura k = 2.3.

  • Visualizza la vista algebra: compare l‟elenco degli oggetti inseriti nella vista grafica; fai un clic sul pallino a fianco della k: a destra compare un segmento con un punto. Esso rappresenta lo slider di k, ovvero muovendo il punto lungo il segmento il valore del parametro k varia (si possono impostare intervallo di variazione e incremento attraverso proprietà del punto).

  • Ora scegli il comando Omotetia e seleziona nell‟ordine il triangolo, il punto P e poi digita k nella casella di testo che compare.

  • Ottieni un secondo triangolo A'B'C': esso è il trasformato di ABC nell’omotetia di centro P e rapporto k.

  • Modifica lo slider, vedi come varia l'immagine di ABC, cioè il triangolo A'B'C', al variare del rapporto di omotetia, cioè k. Modifica la posizione di P e osserva come variano i triangoli.

 Cosa succede se k = 1? …..............................................................................................................

 Cosa succede se k = -1? ….............................................................................................................

 Cosa succede se k = 2? …...............................................................................................................

Osserva ora i due triangoli e rispondi alle seguenti domande:




    • Del triangolo ABC possiamo osservare che se esso, percorso da A a B a C, risulta percorso in senso orario allora A'B'C' percorso da A' a B' a C' risulta percorso in senso …............. Possiamo quindi affermare che un'omotetia conserva l'orientamento delle figure?...................................................................................................................................

    • E' vero che le omotetie conservano le direzioni ovvero una retta viene trasformata in una retta ad essa parallela?….....................................................................................................

    • E l'allineamento dei punti è conservato?..........................................................................

    • E l'ampiezza degli angoli? …..............................................................................................

    • E cosa possiamo dire delle lunghezze dei segmenti?..........................................................

    • Che cose viene conservato invece in riferimento ad esse?...................................................


Attività 3: Dato un triangolo ABC, applichiamo ad esso la composizione di un'omotetia con una isometria.

  • Traccia un triangolo ABC, un punto P e, utilizzando questa volta l'apposito comando, applica ad esso un'omotetia di centro P e rapporto 1,5 (si scrive 1.5).

  • Ottenuto il nuovo triangolo A'B'C' applica ad esso una rotazione di centro C' e angolo 40° ottenendo un triangolo A”B”C”.


Conclusioni:


  • Possiamo dire che al triangolo ABC è stata applicata una trasformazione che è data dalla composizione di un'omotetia e di un'isometria. Tale trasformazione viene chiamata similitudine.

  • Poiché sia le isometrie, sia le omotetie conservano le ampiezze degli angoli, anche le similitudini conservano le ampiezze degli angoli.

  • Poiché una similitudine è la composizione di un'isometria ( che lascia le lunghezze invariate) e di un'omotetia ( che varia le lunghezze di un fattore costante), l'effetto delle similitudini sulle lunghezze è quello di una variazione secondo un fattore costante, detto rapporto di similitudine. Immediata conseguenza di questa osservazione è che le similitudini, come le omotetie, conservano i rapporti fra i segmenti.



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