Storia e didattica delle equazioni di secondo grado: un caso di studio



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Storia e didattica delle equazioni di secondo grado: un caso di studio

A. Cirrito Dipartimento di matematica e informatica, Università degli Studi di Palermo, Palermo, Via Archirafi 34, 90123

E-mail: alessio.cirrito@unipa.it

ABSTRACT

Il presente lavoro riguarda lo studio delle equazioni di secondo grado da un punto di vista storico e didattico e si intende rivolto ai docenti e agli alunni di una classe seconda di un liceo scientifico.

Si precisa che l’evoluzione storica può indicare le graduali tappe che devono essere percorse nell’itinerario didattico, per poter avviare gli allievi alla disciplina considerata e quindi, nel caso trattato, all’uso del simbolismo algebrico proprio delle equazioni di secondo grado e ad un processo di astrazione sempre più massiccio. Dal punto di vista dello studente, invece, lo studio dell’evoluzione storica di un concetto può essergli di stimolo per fargli comprendere come ogni concetto matematico sia frutto di un percorso storico che spesso abbraccia secoli interi.

Tale lavoro, dopo un excursus storico, presenta un percorso didattico in cui si descrive l’argomento e si imposta il lavoro di spiegazione. Segue quindi un’analisi a priori e a posteriori in cui si descrive la somministrazione di un test di verifica ad una classe seconda di una scuola di Palermo, includendo l’analisi delle difficoltà ipotizzabili ed un’analisi dettagliata delle difficoltà riscontrate. Questo può servire ai docenti per affinare le tecniche didattiche e per rendersi conto dei problemi riscontrabili dagli studenti.

2010 Mathematics Subject Classification: 97H30.
Introduzione

Prima di cominciare la vera e propria trattazione potremmo chiederci perché è importante un quadro storico di riferimento quando si studia e si fa studiare la matematica. A mio avviso la risposta sta nel fatto che l’evoluzione storica può indicare le graduali tappe che devono essere percorse nell’itinerario didattico, per poter avviare gli allievi alla disciplina considerata e quindi, nel caso trattato, all’uso del simbolismo algebrico proprio delle equazioni e quindi ad un’astrazione sempre più massiccia. Dal punto di vista dello studente, lo studio dell’evoluzione storica di un concetto può essergli di stimolo per fargli comprendere come ogni concetto matematico sia frutto di un’evoluzione storica che spesso abbraccia secoli interi.

Un’analisi storica dell’Algebra ed in particolare del concetto di equazione, mostra che per molti secoli questa disciplina è rimasta indietro rispetto alla Geometria e che la costruzione del fondamentale simbolismo algebrico ha avuto un decollo lento e difficoltoso. È quindi possibile che anche gli studenti riscontrino gli stessi ostacoli e facciano gli stessi errori che tanti altri del passato hanno commesso. È fondamentale allora, a mio parere, prima di addentrarci nello studio della didattica, tracciare un quadro storico dell’Algebra ripercorrendo le varie tappe del suo sviluppo e soffermandoci sull’evoluzione del concetto di equazione algebrica e anche sull’analisi di alcuni metodi di risoluzione utilizzati nel passato ma che risultano ancora straordinariamente attuali. Il presente lavoro include anche una parte significativa di didattica della matematica, in cui mi sono occupato di svolgere un’analisi a priori e una a posteriori sull’insegnamento delle equazioni di secondo grado in una seconda classe di liceo scientifico, tramite la somministrazione di un test di verifica mirato.


  1. Percorso storico

    1. Gli Egizi

Nei papiri egiziani si trovano numerosi esempi di equazioni con enunciati e soluzioni completamente privi di simbolismo algebrico. Ad esempio il papiro Rhind, noto anche come papiro di Ahmes (nome del suo autore), contiene una tavola per esprimere le frazioni con numeratore 2 e denominatore da 5 a 101 come somma di frazioni con numeratore 1 o frazioni unitarie. Per esempio, consideriamo il problema 24 contenuto nel papiro ( [1] ).

PROBLEMA: Qual è il valore del “Mucchio” se il “Mucchio” e un settimo del “Mucchio” sono uguali a 19.

Tradotto nel linguaggio moderno il problema si riconduce a risolvere l’equazione

Il metodo di risoluzione di Ahmes consiste nell’attribuire all’incognita x un valore numerico, plausibilmente falso, e lavorare su questo valore secondo le operazioni indicate nell’equazione. Il risultato finale ottenuto verrà poi confrontato con il risultato richiesto e ricorrendo all’uso di proporzioni si troverà la risposta esatta.

Se per esempio attribuiamo alla x il valore 7 otteniamo:

Possiamo quindi scrivere la proporzione: 8:19 =7:x da cui .

Tale metodo è ricordato col nome di “regula falsi” o metodo della falsa posizione.

Il metodo della falsa posizione risulta molto interessante soprattutto se si pensa al periodo in cui esso è stato sviluppato. Quello che mancava essenzialmente all’algebra egizia era la possibilità di indicare in qualche modo il numero incognito.



1.2 L’algebra babilonese


L’algebra degli egiziani si era interessata per lo più ad equazioni lineari, ma raggiunse in mesopotamia un livello di sviluppo più elevato. Il sistema di numerazione cuneiforme, usato dai babilonesi, è a base 60, ottenuto come combinazione dei sistemi naturali a base 10 e a base 6, eredità che ci è giunta nella misurazione di angoli e tempo.

Il ritrovamento delle tavole Plimpton documenta come i babilonesi affrontavano problemi pratici attraverso l’uso di tavole di calcolo aritmetico e geometrico. Su tali tavole idearono la notazione posizionale, grazie alla quale, utilizzando gli spazi tra i simboli, raggruppavano le cifre ordinandole da destra verso sinistra, secondo potenze crescenti. Si consideri a titolo di esempio la seguente scrittura notazione posizionale notazione posizionale notazione posizionale. Essa indicava il numero(in base 60). Rimangono insite in questa scrittura alcune ambiguità in merito alla cifra da esprimere rimaste per mille anni circa, ma tali ambiguità potevano essere eliminate dal lettore in basa al contesto della frase. Inizialmente i babilonesi non avevano alcun metodo per indicare lo zero (anche se a volte veniva lasciato uno spazio vuoto per indicarlo). Ma nel periodo della conquista di Alessandro il Grande si utilizzava un segno speciale, due piccoli cunei disposti obliquamente, segno che serviva per evidenziare la mancanza di una cifra. A quanto pare, però, il simbolo usato dai babilonesi per indicare lo zero non pose fine a tutte le ambiguità, giacché sembra che tale segno venisse usato solo per indicare posizioni “vuote intermedie” e non esiste nessuna tavoletta in cui il segno dei due cunei obliqui compaia in posizione terminale. Ciò vuol dire che i babilonesi dell’antichità non giunsero mai ad un sistema le cui cifre avessero un valore posizionale assoluto.

Fra le tavolette risalenti al periodo babilonese antico si trovano alcune tabelle contenenti le potenze successive di un dato numero, analoghe alle moderne tavole dei logaritmi. Sono state rinvenute anche tavole delle funzioni esponenziali in cui vengono elencate le prime dieci potenze delle basi 9 e 16 ( [2] ). Possiamo affermare che l’algebra raggiunse in Mesopotamia un livello molto più alto di quello raggiunto in Egitto; infatti molti testi del periodo babilonese antico mostrano equazioni di secondo grado complete a tre termini risolte senza nessuna seria difficoltà, grazie alle abili operazioni algebriche da loro sviluppate. Nel 1930 Neugebauer scoprì che le equazioni di secondo grado complete a tre termini erano state trattate efficacemente dai babilonesi in alcuni dei testi più antichi; dei tre tipi di equazioni di secondo grado, classificati nel medioevo e persino all’inizio dei tempi moderni,

1) 2) 3)

si trovano esempi nei testi del periodo babilonese antico risalenti a circa 4000 anni fa.




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