Strutture isomorfe. Ritengo inoltre di particolare rilevanza al triennio lo studio (dal punto di vista astratto) dell'anello dei polinomi nell'indeterminata x, a coefficienti in un campo



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14.02.2020
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TRIENNIO
Se le strutture algebriche fondamentali (gruppi, campi, anelli) non sono state introdotte al biennio, non risulta difficile definirle all'inizio del triennio, quando i ragazzi possiedono abilità operative di un certo livello; un ripensamento sulle operazioni e sulle loro proprietà dovrebbe occupare ben poco tempo e risultare molto utile.

Per quanto riguarda un approfondimento al triennio dello studio delle strutture algebriche fondamentali, sono particolarmente interessanti, dal punto di vista didattico, due ordini di problemi:



· l'individuazione di sottogruppi in un gruppo (sottocampi in un campo e sottoanelli in un anello);

· il riconoscimento di strutture isomorfe.

Ritengo inoltre di particolare rilevanza al triennio lo studio (dal punto di vista astratto) dell'anello dei polinomi nell'indeterminata x, a coefficienti in un campo: l'analisi di questa struttura conduce in modo naturale al problema della risolubilità delle equazioni algebriche, alla necessità di costruire un campo algebricamente chiuso (cioè che contiene tutte le radici di un polinomio a coefficienti nel campo stesso), alla definizione quindi del campo dei numeri complessi, e infine al teorema fondamentale dell'algebra e alla sua interpretazione geometrica: un polinomio ¦(x) a coefficienti in R definisce una funzione y=¦(x), il cui grafico ha proprietà che sono strettamente legate al numero di radici (eventualmente coincidenti) del polinomio. Tuttavia il polinomio ¦(x) (aspetto sintattico) e la funzione y=¦(x) (aspetto semantico) sono oggetti differenti, e come tali vanno trattati; per esempio, cosa rispondere alla domanda: è vera la seguente uguaglianza?



Dal punto di vista delle funzioni l'uguaglianza è falsa. La funzione y= (x2-1)/(x-1) non è uguale alla funzione y=x+1 (la prima ha un punto di discontinuità); dal punto di vista dei polinomi l'uguaglianza è vera, poiché (x+1)(x-1)=x2-1.

È buona norma (troppo spesso ignorata dai libri di testo) dichiarare sempre il campo dei coefficienti del polinomio; un polinomio può avere caratteristiche completamente differenti a seconda del campo a cui si pensano appartenere i suoi coefficienti. Per esempio, il polinomio x2+1 non è scomponibile né in Q né in R, ma è scomponibile in , e anche in Z5: infatti (x+2)(x+3)=x2+5x+6=x2+1.

Molti risultati interessanti, come il Teorema di Ruffini e il principio di identità dei polinomi (che è un teorema, e non un principio), si possono facilmente ottenere in generale, cioè per polinomi a coefficienti in un campo qualsiasi.

Non è chiaro perché su molti libri di testo il problema delle equazioni algebriche non venga affrontato in modo unitario: dopo le equazioni di secondo grado spesso c'è il vuoto, e gli alunni non sanno se esistano formule risolutive per ogni grado. Il teorema di Ruffini-Abel, secondo cui non è possibile esprimere le soluzioni di una generica equazione di grado superiore al quarto come funzioni algebriche dei coefficienti, è un esempio molto importante di teorema negativo: la storia della matematica è strettamente legata a quei teoremi che sanciscono l'impossibilità di risolvere un dato problema con dati strumenti. Lo stesso teorema di Pitagora è di questo tipo: non è possibile esprimere la lunghezza dell'ipotenusa mediante una funzione razionale delle lunghezze dei cateti.




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