Tecnico-scientifico dell’antichità



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Considerantes enim Aristotelem aliis fecerint Meccanici demonstrasse, more huiusce facultatis studiosis gesturos nos fore arbitrati sumus, si easdem illas quaestiones Mechanicis, hoc est, Archimedeis probationibus confimaremus NOTEREF _Ref197597335 \h \* MERGEFORMAT .

Per Baldi, la meccanica si fondava sullo studio dei centri di gravità, che rendeva più chiari i ragionamenti aristotelici, senza tuttavia invalidarli nel loro complesso. Per esempio, quando nelle Exercitationes Baldi tratta la Quaestio II NOTEREF _Ref197597335 \h \* MERGEFORMAT , afferma che la soluzione aristotelica è certamente vera ma non deriva da principi meccanici (ossia, dalla considerazione dei centri di gravità) e, per questo motivo, preferisce discutere la Quaestio basandosi sulla nozione di centro di gravità NOTEREF _Ref197597335 \h \* MERGEFORMAT .

Naturalmente, avendo posto il centro di gravità a fondamento della meccanica, è necessario darne un’adeguata definizione. A tale fine, Baldi osserva, anzitutto, che il centro di gravità può essere considerato sia in grandezze lineari che piane e solide. Il caso lineare, data la sua semplicità, non era stato mai studiato; invece, i baricentri dei corpi piani e solidi erano stati indagati da Archimede, ma, per l’ingiuria del tempo, le ricerche sui solidi erano andate perse fino a quando Federico Commandino aveva provveduto a restituirle agli studiosi NOTEREF _Ref197597335 \h \* MERGEFORMAT . Baldi fornisce quindi le definizioni di centro di gravità che si trovano in Pappo NOTEREF _Ref197597335 \h \* MERGEFORMAT e in Commandino NOTEREF _Ref197597335 \h \* MERGEFORMAT ; preferisce, tuttavia, apportare un miglioramento a quella di Commandino affermando che la sua definizione è più breve di quella del suo maestro (nos vero quam brevissime dicimus). In realtà, essa è anche più generale (valida, cioè, per grandezze sia lineari, sia piane, sia solide) e più astratta, essendo riferita al concetto astratto di grandezza:

Centrum gravitatis uniuscuiusque magnitudinis punctum esse intra extrave magnitudinem positum, per quod si plano linea punctove dividatur, in partes secatur aequeponderantes NOTEREF _Ref197597335 \h \* MERGEFORMAT .

Baldi illustra nei dettagli tale definizione; in particolare, chiarisce l’uso del termine grandezza (magnitudo) per indicare linee, piani e solidi e l’affermazione per cui anche le linee e le superfici hanno un centro di gravità. Precisa che i corpi matematici non hanno mai gravità, ma in meccanica, si assume che le corde, le aste, le leve siano linee e le tavole siano superficie. NOTEREF _Ref197597335 \h \* MERGEFORMAT È chiaro che, per Baldi, siamo nel campo della meccanica razionale, scienza astratta dove i corpi perdono la loro materialità e sono sostituiti da entità geometriche (sulle difficoltà inerenti a tale concezione, si veda parte 1, cap. 6).

La definizione di centro di gravità non costituisce l’unico caso in cui Baldi riformula proposizioni di Commandino o di autori antichi con l’obiettivo di essere più conciso e generale (brevius et universalius). Ad esempio, nella trattazione della Quaestio XIX, dapprima Baldi traduce la formulazione aristotelica con queste parole:

Dubitat Philosophus, cur si quis super lignum magnam imponat securim, desuperque magnum adijciat pondus, ligni quippiam quod curandum sit, non dividit; si vero securim extollens percutiat, illud scindit, cum alioquin multo minus habeat ponderis id quod percutit, quam illud quod superiacet et premit? NOTEREF _Ref197597335 \h \* MERGEFORMAT

Poi, egli afferma che Aristotele avrebbe potuto porre la questione in termini più concisi e generali, ossia poteva chiedersi per quale motivo il movimento aggiunge peso al peso e, quindi, un oggetto subisce una sollecitazione maggiore dal movimento che non da un peso che staticamente gravi su di esso NOTEREF _Ref197597335 \h \* MERGEFORMAT .

La ricerca della brevità NOTEREF _Ref197597335 \h \* MERGEFORMAT e, soprattutto, della generalità non è meramente una questione stilistica, cui pure Baldi è molto attento NOTEREF _Ref197597335 \h \* MERGEFORMAT , ma è parte della tendenza verso l’astrazione che caratterizza la matematica dell’epoca e che andrà sempre più accentuandosi nei secoli successivi; tuttavia, Baldi, come tutta la scuola di Urbino e, probabilmente, come tutta la matematica italiana a lui contemporanea, non spinge la ricerca dell’astratto fino alla formulazione di una nozione di quantità generale capace di unificare il discreto e il continuo e di costituire un fondamento per l’algebra simbolica NOTEREF _Ref197597335 \h \* MERGEFORMAT .

***


Se, da una parte, Baldi, seguendo Archimede, ritiene che la meccanica sia basata sulla nozione di centro di gravità, dall’altra il suo concetto di gravità è ancora, nell’essenziale, quello aristotelico. Nelle Exercitationes, l’urbinate distingue i corpi in pesanti e leggeri; i primi tendono per natura verso il centro della Terra, gli altri, invece, hanno una naturale propensione ad allontanarvisi. I corpi considerati in meccanica non sono però soggetti solo alla gravità naturale ma anche ad altre forze; di conseguenza, è opportuno suddividere i gravi in due categorie: i gravi per natura, che si muovono verso il centro della Terra, e i gravi per violenza, che sono spinti da una causa esterna ad allontanarsi dalla causa stessa NOTEREF _Ref197597335 \h \* MERGEFORMAT . Sui gravi per violenza, in realtà, agiscono due forze: la gravità naturale e la forza indotta dal motore esterno NOTEREF _Ref197597335 \h \* MERGEFORMAT ; pertanto, il moto di un grave per violenza è misto, dovuto al combinarsi dell’effetto della gravità naturale e del motore esterno.


Fig. 4

Ad esempio, se il corpo A con centro di gravità B, che per sua natura cadrebbe in C, è spinto lateralmente nella direzione di D, si muoverà prima di moto rettilineo (in quanto prevale il moto violento), poi secondo una traiettoria curvilinea, infine di nuovo di moto rettilineo (prevalendo la gravità) NOTEREF _Ref197597335 \h \* MERGEFORMAT .

Pur accettando la teoria dei luoghi naturali, Baldi rifiuta la giustificazione delle leggi della leva data nei Problemi meccanici. Aristotele, infatti, basandosi sull’osservazione che la rottura dell’equilibrio di una bilancia, ottenuta agendo su uno dei suoi bracci, provoca un moto circolare intorno al fulcro, aveva affermato che il cerchio era il principio cui si riducono tutti i fenomeni meccanici:

le proprietà che riguardano la bilancia si riducono al cerchio, quelle che riguardano la leva alla bilancia, e alla leva si riconducono quasi tutte quelle che riguardano i movimenti meccanici NOTEREF _Ref197597335 \h \* MERGEFORMAT .

Il motivo per cui il cerchio è a fondamento dei movimenti meccanici è che in esso si manifestano proprietà contrarie NOTEREF _Ref197597335 \h \* MERGEFORMAT :

Di tutte tali cose, il principio fondamentale è nel cerchio. E ciò è ragionevole; nulla di strano, infatti, che da cosa più mirabile una mirabile ne proceda; massimamente meraviglioso, invece, è che dei contrari stiano insieme. Il cerchio è costituito appunto da tali contrari NOTEREF _Ref197597335 \h \* MERGEFORMAT .

Sono quattro le coppie di opposti che, per Aristotele, giustificano le meravigliose proprietà del cerchio che, a loro volta, spiegano il principio della leva e tutti gli effetti meccanici che vi si possono ridurre. Baldi, invece, non condivide l’entusiasmo aristotelico nei confronti del cerchio e nel capitolo intitolato De Circulo eiusque natura Aristotelis doctrina esaminata non lesina critiche all’autore dei Probemi meccanici NOTEREF _Ref197597335 \h \* MERGEFORMAT .

La prima delle coppie di opposti individuate da Aristotele è moto-quiete: il cerchio, infatti, è generato da un compasso che ha un’estremità fissa e l’altra mobile NOTEREF _Ref197597335 \h \* MERGEFORMAT . Baldi osserva:

Dicimus igitur, videri nobis, circulum non ex contrarijs constitui, puta ex manente et moto, sed ex moto simpliciter. Nulla est enim semidiametri pars, quæ non moveatur. Punctum autem, quod stat, semidiametri pars nulla est. Et sane cur moto semidiamentro fiat circulus, non ideo accidit, quod alterum extremum stet, alterum vero moveatur: sed ideo quod semidiameter perpetuo eandem seruet longitudinem. Ellipsis sane centrum habet, sed ab eo ad circumferentiam quatuor tantum semidiametri quomodolibet sumpti ducuntur aequales. Si quis igitur semidiametrum daret proportione crescentem et decrescentem, stante altero extremorum Ellipsis describeretur. Præterea et spiralis linea, quæ mixta est, altero semidiametri extremo manente, altero vero moto producitur. Legem itaque circulo prælcribit, non quidem quod hæc extremitas ster, illa vero moveatur, sed quod sua circulatione semper semidiameter eandem servet longitudinem, quod vel ex ipsa circuli definitione colligitur. NOTEREF _Ref197597335 \h \* MERGEFORMAT

Per Baldi, quindi, il cerchio non è generato dalla coppia di contrari moto-quiete ma dal solo movimento del raggio generatore, in quanto il punto in quiete è una parte nulla del raggio NOTEREF _Ref197597335 \h \* MERGEFORMAT . Il cerchio è sì creato dal moto del raggio, ma ciò accade non perché qualcosa è fermo e qualche altra si muove ma perché il raggio conserva la lunghezza: se il raggio fosse variabile, cioè aumentasse o diminuisse, avremmo un ellisse.

Nel suo saggio sulle origini del concetto di macchina, Micheli osserva che le considerazioni di Baldi riguardano in realtà il cerchio sotto l’aspetto strutturale e non sotto quello operativo cui invece l’autore dei Problemi meccanici si riferisce (lo star fermo e l’esser mosso sono le condizioni che rendono possibile l’operazione) NOTEREF _Ref197597335 \h \* MERGEFORMAT . È interessante poi notare che la posizione di Baldi è in contrasto con quella di altri commentatori come Biancani NOTEREF _Ref197597335 \h \* MERGEFORMAT (“circulus tamen ex contrarijs est contistutus, oritur enim circulum ex commoto, et manente, quae quidem naturaliter sunt invicem contraria”) e de Guevara NOTEREF _Ref197597335 \h \* MERGEFORMAT (“admirandum valde sit, simul contraria fieri, aut aliquid effici ex contrarijs, et hoc contingat, et hoc contingat in ipsa constitutione circuli”).

Dall’originale coppia di opposti, l’autore dei Problemi meccanici ne faceva discendere altre tre. La prima è concavo-convesso: la circonferenza sarebbe a un tempo concava e convessa NOTEREF _Ref197597335 \h \* MERGEFORMAT . Per Aristotele, il concavo e il convesso erano opposti non solo tra loro ma anche alla retta NOTEREF _Ref197597335 \h \* MERGEFORMAT . Baldi, dal canto suo, sostiene che la proprietà di essere concava e convessa si trova in ogni curva e quindi non caratterizza la circonferenza:

Ad secundum miraculum, scilicet, quod in circulo circumferentia, quæ vacua linea est, concava simul sit, et convexa. Diceret quispiam id, si modo mirabile est non circulari tantum, sed cuilibet curvæ lineæ primo competere, etenim et Ellipsis et Hyperbole, et Parabole, et spira, tum Cyssois, Conchois, et infinitæ aliæ irregulares concavæ simul sunt et convexæ. Sed et hæc in superficiebus quoque desiderantur NOTEREF _Ref197597335 \h \* MERGEFORMAT .

In precedenza, Giovanni Battista Benedetti aveva negato l’opposizione tra concavità e convessità, sostenendo che era la curvatura, ossia la convessità, a definire la circonferenza, mentre la concavità è solo il termine della superficie ambiente, esterna al cerchio, per cui concavità e convessità non appartengono in realtà alla stessa linea NOTEREF _Ref197597335 \h \* MERGEFORMAT . In seguito, de Guevara risponderà a queste obiezioni ribadendo che la circonferenza è una linea dove il concavo e il convesso coincidono:

Nec difficultatem evadunt, qui dicunt, concavum, et convexum realiter non esse idem in circulo, seu curvitatem, et concavitatem non reperiri in eadem linea, sed in diversis, ita ut in circunferentia sit tantum curvitas, seu convexum, concavitas vero sit potius in corpore extrinseco ambiente per lineam illi correspondentem. Etenim cum linea corporis continentis ambiens circulum, penetretur in eodem spacio cum circunferentia ipsius circuli, considereturque sola quantitas abstracta, et figura utriusque lineæ coincidentis, eadem semper difficultas obstabit; nempe quo pacto fieri possit, ut eadem longitudo latitudinis expers, circulum terminans, seu circulariter extensa, simul sit concava, et convexa. Sed nihil prohibet eandem circumferentiam indivisibilem quoad latitudinem, et profunditatem, simul esse concavam, et convexam respectu diversorum, ut in alijs etiam linearum figuris, ac superficiebus poterit exemplificari: et ut eadem via dicitur aclivis, et declivis; idemque magnum, et parvum rei pectu diversorum, quæ cum illo comparantur NOTEREF _Ref197597335 \h \* MERGEFORMAT .

Micheli NOTEREF _Ref197597335 \h \* MERGEFORMAT interpreta il punto di vista aristotelico osservando che la concavità e la convessità della circonferenza “sono poste in evidenza mediante un atto operativo di apprensione, il movimento di flessione, per cui esse appaiono immediatamente, in modo inscindibile nella linea”. Le critiche di Baldi e di Benedetti, pertanto, non tengono conto di tale aspetto legato all’operazione del flettere che dà forma al cerchio, ma riguardano la forma del cerchio già dato.

Un’altra coppia di opposti meravigliosi si ritrova, secondo l’autore dei Problemi meccanici, nel fatto che chi si muove lungo una circonferenza ritorna al punto di partenza, per cui l’ultimo diventa il primo e, allo stesso tempo, si muove avanti e indietro NOTEREF _Ref197597335 \h \* MERGEFORMAT . Ma Baldi non vede alcuna stranezza o miracolosa opposizione in ciò, in quanto se si percorre una circonferenza ABCD, il suo centro rimane sempre o alla destra o alla sinistra di chi la percorre (si veda fig. 5); non ci sono, pertanto, due moti opposti che avvengono contemporaneamente ma un unico moto e se si suppone, inoltre, che il cerchio ruoti in senso antiorario non può contemporaneamente muoversi in senso orario:

Ad tertium, quod contrarijs feratur lationibus, antrorsum, retrorsum, sursum et deorsum. Dicimus, facile solui, Nullus enim, re bene perspecta, affirmaverit circulum contrarijs lationibus moveri.

Esto enim circulus ABCD, circa centrum E; ponamus rotari, et A versus B, exempli gratia, antrorsum, movebitur autem et B versus C, et C versus D, tum D versus A. Non puto quenquam dicturum, circulum hunc antrorsum codem tempore, et retrorsum ferri nec sursum aut deorsum, si enim quispiam per eius circuli circumferentiani ambularet, is certe centrum ipsum semper ad dexteram haberet, vel ad sinistram, si ad dexteram, antrorsum ibit, si ad sinistram, tetrorsum. Sed nec sursum vel deorsum, est manifestum. Nihil autem prohibet eundem motum vario respectu contrarium dici posse, id tamen profecto fierine quaquam potest, nempe A moveri versus B, hoc est, B antrorsum, et eandem eodem tempore versus B, id est, retrorsum; repugnat enim naturæ NOTEREF _Ref197597335 \h \* MERGEFORMAT .



Fig. 5

Infine, la quarta contrarietà: i differenti punti del raggio del cerchio si muovono con differente velocità quando il raggio ruota; più precisamente, se un punto E è più lontano dal centro C di un punto D ma più vicino di un altro punto A, allora il punto E si muove con maggiore velocità di D e più lentamente di A (si veda fig. 6) NOTEREF _Ref197597335 \h \* MERGEFORMAT .




Fig. 6

Ad Aristotele sembra straordinario che punti diversi di uno stesso corpo (rigido) abbiano velocità differenti pur essendo mossi da una medesima forza. La dinamica aristotelica prevede che la velocità sia proporzionale alla forza, per cui la stessa forza non deve produrre moti differenti. Siamo di fronte a un “miracolo”, per dirla con Baldi, che va spiegato NOTEREF _Ref197597335 \h \* MERGEFORMAT .

La spiegazione fornita nelle Exercitationes sostanzialmente riproduce l’argomentazione proposta dall’autore dei Problemi meccanici; tuttavia, Baldi coglie l’occasione per precisare qualche punto della discussione aristotelica e per criticare il filosofo attribuendogli un errore circa la natura dei moti che si ottengono come composizione di altri moti. L’abate di Guastalla pensa che la posizione di Aristotele sul moto circolare e sul moto misto possa essere riassunta con queste parole:

Circulum quidem duplici motione produci, Naturali videlicet altera, et altera quæ est præter naturam, et ideo circularem lineam inter mixtas computari. Motus mixtus ait, vel proportione servata fit, aut non. Si proportione servata, rectam lineam; ea vero non servata, circularem lineam produci NOTEREF _Ref197597335 \h \* MERGEFORMAT .

Il movimento circolare, quindi, è il risultato della composizione di due moti, uno secondo natura, l’altro contro natura. Si tratta di un moto misto, anzi, è uno dei due casi possibili di moto misto, in quanto, secondo l’interpretazione che l’urbinate dà ai Problemi meccanici, la traiettoria di un moto misto può essere solo rettilinea o circolare; più precisamente, è:

1) rettilinea, quando la proporzione tra i due moti componenti si conserva;

2) circolare, quando il rapporto tra i due moti componenti non si conserva.

Nel brano sopra riportato Baldi si riferisce alla discussione del moto circolare contenuta nel primo dei 35 quesiti che costituiscono i Problemi meccanici, dove è affermato:

La causa di ciò [della quarta contrarietà] è che la linea che descrive il cerchio ha due spostamenti. Pertanto, quando ciò che si sposta si sposta in una certa proporzione, è necessario che si sposti in linea retta, e la stessa linea diventa diametro della figura che fanno le linee poste in questa proporzione NOTEREF _Ref197597335 \h \* MERGEFORMAT .

Tale proposizione, alla luce della dimostrazione data da Aristotele e delle parole che immediatamente seguono la dimostrazione, può essere riformulata in questo modo (si veda fig. 7).



Teorema 1. Supponiamo che lo spostamento totale s di un punto A sia il risultato della composizione di due spostamenti u e v in direzioni differenti. Nelle direzioni di tali spostamenti, si considerino due segmenti,  e , proporzionali a u e v

= u : v

e si costruisca il parallelogramma  determinato dai segmenti AB e . Infine, sia st lo spostamento di A in un intervallo di tempo t e si supponga che st avvenga in modo che le sue componenti nelle direzioni di AB e , diciamo ut e vt, siano proporzionali a u e v, ossia

u : v = ut : st.

Sotto tali condizioni, il moto del punto A avviene lungo la diagonale AC del parallelogramma .




Fig. 7

Il teorema 1 mostra che Aristotele ha una chiara padronanza del principio di composizione dei moti. Va anche detto che nulla, nel ragionamento di Aristotele, lascia pensare che le due direzioni siano perpendicolari tra loro e che quindi il parallelogramma sia un rettangolo; tuttavia, in tutte le edizioni da me consultate la figura che accompagna il testo è un rettangolo.

La dimostrazione di Aristotele ha una struttura abbastanza simile, ma non del tutto coincidente, a quella tipica della geometria euclidea, come descritta da Proclo NOTEREF _Ref197597335 \h \* MERGEFORMAT . Aristotele, infatti,

- dapprima fornisce la formulazione in generale del teorema;

- quindi esemplifica il teorema in un caso particolare con riferimento a una figura specifica (“sia la proporzione con cui ciò che si sposta si sposta, quella che AB ha con A”);

- costruisce poi la figura (“A si sposti verso B e AB si sposti in giù verso H; A si sia spostato verso  e la linea che è in AB verso E”);

- procede alla dimostrazione propriamente detta (“se la proporzione dello spostamento è quella che AB ha con A, è necessario che A abbia con AE questa proporzione. Allora il quadrilatero piccolo è simile per la proporzione al maggiore, cosicché la stessa linea sarà loro diametro e A sarà verso Z”);

- conclude, ribadendo la generalità della dimostrazione di cui al punto precedente (“si avrà la stessa dimostrazione, qualora lo spostamento sia interrotto in un punto qualsiasi”) e riformulando il risultato (“infatti, ciò che si sposta sarà sempre sul diametro”).

Baldi è d’accordo con il teorema 1 e con la dimostrazione che ne dà Aristotele. Invero, riformula abbastanza fedelmente il ragionamento aristotelico considerando un rettangolo ABCD, il cui vertice punto A sia soggetto a un duplice moto, verso B e verso D (si veda fig. 8). Se A raggiunge il punto G le componenti del moto di A sono AF e AE, se raggiunge il punto C sono AD e AB. Poiché la proporzione tra i moti è conservata, si ha

AF : AE = AD : AB.

Quindi i parallelogrammi AEGF e ABCD sono simili e i punti A, G e C sono allineati, per un teorema NOTEREF _Ref197597335 \h \* MERGEFORMAT del libro VI di Euclide NOTEREF _Ref197597335 \h \* MERGEFORMAT .



Fig. 8

Si noti che nell’ambito della fisica aristotelica, la velocità è proporzionale alle forze e agli spostamenti (in dato tempo) e poiché nella dimostrazione ha importanza solo la proporzionalità tra i segmenti, questi possono rappresentare sia le forze (i motori), sia le velocità, sia gli spostamenti. Inoltre, laddove Aristotele parla di “spostamenti che hanno proporzione in un certo intervallo di tempo” (in contrapposizione, quindi, a “spostamenti che non hanno proporzione”), Baldi usa l’espressione “proporzione conservata” (che evidentemente è in contrapposizione a “proporzione non conservata”). Bottecchia Dehò, nella sua citata traduzione dei Problemi meccanici, parla, invece, di moti aventi “un rapporto costante” (in contrapposizione a “rapporto non costante” o “variabile”) NOTEREF _Ref197597335 \h \* MERGEFORMAT . Va segnalato che le concezioni implicite nella terminologia di Aristotele, di Baldi e di Bottecchia Dehò presentano significative differenze. Per Aristotele, una proporzione è determinata oppure non è (una proporzione); non sembra che, per lo stagirita, si possano prendere in considerazione (come oggetto di studio matematico) proporzioni che non siano definitivamente fissate. L’espressione “rapporto costante” che Bottecchia Dehò prende a prestito dal moderno linguaggio matematico, oltre a ridurre il concetto di proporzione a quello di rapporto, suppone l’esistenza di rapporti sia costanti che variabili, dove i termini “costante” e “variabile” sono intesi nel senso moderno secondo cui non vi è differenza concettuale tra il variabile e il costante e il rapporto costante è solo un caso particolare del rapporto variabile. È la natura fortemente simbolica della matematica moderna che rende possibile assimilare il variabile e il costante, ignorando la loro opposizione concettuale, allo stesso modo in cui nella moderna nozione di numero sono unificati nozioni in opposizione tra loro come quelli di quantità e assenza di quantità oppure di quantità discreta e di quantità continua. Tale concezione simbolica manca del tutto in Aristotele e nella matematica greca NOTEREF _Ref197597335 \h \* MERGEFORMAT . Per quanto riguarda l’espressione “proportio servata” usata da Baldi, essa, sia pure in modo ambiguo, appare preludere alla concezione moderna NOTEREF _Ref197597335 \h \* MERGEFORMAT , facendo riferimento a proporzioni che si possono conservare o meno e che possono essere prese in considerazioni in ogni caso anche quando non si conservano NOTEREF _Ref197597335 \h \* MERGEFORMAT .

Lasciata da parte tale questione, si può osservare che Baldi è in pieno accordo con Aristotele circa la natura rettilinea del moto quando la proporzione tra i due moti componenti si conserva NOTEREF _Ref197597335 \h \* MERGEFORMAT , mentre è in disaccordo sulla natura circolare del moto quando il rapporto tra i due moti componenti non si conserva. A tale proposito, si osservi anzitutto che, nei Problemi meccanici, dopo avere dimostrato l’esistenza di un rapporto fissato, in un qualsiasi intervallo di tempo, tra i due moti componenti è condizione sufficiente (volendo usare un termine moderno) affinché lo spostamento del punto A avvenga lungo la diagonale, Aristotele fa la seguente affermazione:

È chiaro pertanto che è necessario che ciò che si sposta nei due spostamenti secondo il diametro si sposti con la proporzione che hanno i lati NOTEREF _Ref197597335 \h \* MERGEFORMAT .

In genere tale proposizione (che chiamerò teorema 2) è considerata come inversa della precedente NOTEREF _Ref197597335 \h \* MERGEFORMAT . Micheli NOTEREF _Ref197597335 \h \* MERGEFORMAT ha negato ciò sulla base del fatto, notato da già da Benedetti NOTEREF _Ref197597335 \h \* MERGEFORMAT , che un dato movimento rettilineo può essere originato da coppie di spostamenti differenti. La struttura della frase mi sembra invece che lasci pochi dubbi sull’intenzione dell’autore dei Problemi meccanici di invertire un’ipotesi del teorema 1 (il moto conserva la proporzionalità delle componenti) con la tesi dello stesso teorema (il moto avviene lungo la diagonale); naturalmente è necessario aggiungere l’ulteriore ipotesi che il moto sia la risultante di due altri moti. Se si suppone, invero, che i moti componenti siano assegnati per direzione, allora il teorema 1 permette, data la proporzione, di determinare la diagonale su cui avviene il moto e il teorema 2 consente, data la diagonale, di determinare la proporzione tra i lati del parallelogramma. Senza tale ipotesi, cioè non si suppone che i moti componenti siano assegnati per direzione, il teorema 1 afferma solo l’esistenza di una diagonale in qualche parallelogramma lungo cui avviene il moto ma non permette di determinarla; laddove il teorema 2 si limita ad affermare l’esistenza della proporzionalità con i lati di qualche parallelogramma ma non permette di determinare tale parallelogramma. Aristotele giustifica il teorema 2 nel seguente modo:

Se [ciò che si sposta] ha, infatti, un’altra proporzione, non si sposterà secondo il diametro. E se i due spostamenti non hanno alcuna proporzione in alcun intervallo di tempo, è impossibile che lo spostamento sia in linea retta. Infatti, supponiamo che sia in linea retta: se questa è posta come diametro e completata ai lati, è necessario che ciò che si sposta si sposti con la proporzione che hanno i lati; lo si è dimostrato prima. Perciò, ciò che si sposta senza alcuna proporzione in alcun intervallo di tempo, non farà una retta, poiché si sposta con qualche proporzione in qualche intervallo di tempo, è necessario che lo spostamento sia retto in qualche tempo, in base a quanto detto precedentemente. Cosicché ciò che si sposta, se ha due spostamenti senza proporzione in nessun intervallo di tempo, diventa circolare NOTEREF _Ref197597335 \h \* MERGEFORMAT .

Baldi intende l’ultima frase NOTEREF _Ref197597335 \h \* MERGEFORMAT nel senso che il moto, qualora non siano verificate le condizioni che lo rendono rettilineo, è certamente circolare. Questa interpretazione è usuale nel Rinascimento NOTEREF _Ref197597335 \h \* MERGEFORMAT . Ad esempio, Piccolomini, citato esplicitamente da Baldi NOTEREF _Ref197597335 \h \* MERGEFORMAT , afferma:

[N]on secondum rectam lineam facta est motio; quo sit secundum curvarum linea concludi possit. Quam, quia nonsolum in nulla ratione, sed etiam in nulla ratione in nullo tempore, facta est motio, ciurcularem esse necesse erit NOTEREF _Ref197597335 \h \* MERGEFORMAT .

Giovanni de Guevara, qualche anno dopo Baldi, scrive:

Si autem in nulla fertur proportione secundum duas lationes nullo in tempore, rectam esse lationem, est impossibile. Sit enim recta. Posita igitur hac pro diametro, et circumrepletis lateribus, illud quod fertur, secundum laterum proportionem ferri necesse est: hoc enim demonstratum est prius. Non igitur rectam efficiet id quod secundum nullam proportionem, in nullo fertur tempore. Si autem secundum quampiam feratur proportionem, et in tempore quopiam, hoc necesse est tempus rectam esse lationem, per ea quæ retro sunt dicta. Quamobrem circulare est id, quod secundum nullam proportionem nullo in tempore duas fertur lationes NOTEREF _Ref197597335 \h \* MERGEFORMAT .

Naturalmente non è vero che un moto misto risultante da due moti non in proporzione fissata descriva una traiettoria circolare. Baldi lo nota e si preoccupa di darne un’esplicita dimostrazione; il suo ragionamento può essere ricostruito nel modo seguente (si veda fig. 10).

Sia il punto A soggetto a un duplice moto, verso B e verso C, e si supponga che non sia conservata la proporzione tra i moti. Si supponga, inoltre, che la traiettoria descritta del punto A sia la circonferenza AHB.




Fig. 10
Per la proposizione inversa di Euclide VI.13, deve aversi:

AD : DF = DF : (AB - AD);

quindi AE=DF è media proporzionale tra AD=EF e DB. In altri termini, per aversi un moto circolare, la componente che esprime il moto violento AE deve essere media proporzionale tra la componente del moto naturale AD e la differenza tra l’intero percorso e la stessa AD NOTEREF _Ref197597335 \h \* MERGEFORMAT . Quando non si verifica tale condizione, il moto non descrive una traiettoria circolare. In conclusione, se la proporzione dei moti composti non si mantiene costante, può prodursi non solo un cerchio ma anche un’ellisse o una qualsiasi altra linea curva che non contenga alcun segmento rettilineo:

Non enim mixtus motus, qui nun quam servata proportione fit, semper circulum producit, sed et Ellipsim potest, et quamlibet aliam lineam, cuius nulla pars sit recta. NOTEREF _Ref197597335 \h \* MERGEFORMAT

Baldi conclude la sua dimostrazione facendo notare esplicitamente che Aristotele ha commesso un errore:

verum non esse quod asserebat Philosophus, circulum ex mixto motu proportione nun quam servata necessario produci NOTEREF _Ref197597335 \h \* MERGEFORMAT .

Dopo aver corretto Aristotele sui moti misti, Baldi espone e commenta la spiegazione del quarto “miracolo” contenuta nei Problemi meccanici, la quale è basata sul seguente principio:

Se due cose che si spostano con la medesima forza, l’una è più respinta e l’altra meno, è ragionevole che quella più respinta si muova più lentamente di quella meno respinta NOTEREF _Ref197597335 \h \* MERGEFORMAT .

In altri termini, se lo stesso motore agisce su due corpi, ma ostacola lo spostamento di uno più dello spostamento dell’altro, allora il corpo maggiormente ostacolato si muove più lentamente dell’altro. Applicando tale principio, la spiegazione della quarta contrarietà (più veloce-meno veloce) consiste sostanzialmente nell’affermare che un punto più vicino al centro si muove più lentamente perché ha uno spostamento contro natura maggiore rispetto a un punto più lontano NOTEREF _Ref197597335 \h \* MERGEFORMAT :

Ad ogni linea che descrive un cerchio, accade di muoversi per natura secondo la circonferenza, contro natura lateralmente e verso il centro; minore è il raggio, maggiore è il movimento contro natura, perché più esso è vicino al centro che lo respinge di un moto contrario, maggiore è l’influsso che ne subisce NOTEREF _Ref197597335 \h \* MERGEFORMAT .

Naturalmente, l’effettivo significato di tale spiegazione dipende dall’accezione di moto “contro natura” e moto “secondo natura”. Micheli ha proposto la seguente interpretazione che appare solidamente fondata:

ad ogni linea che descrive il cerchio accade questo, si sposta secondo natura lungo la circonferenza (moto in cui agisce ∙op» [forza che il corpo ha in sé per natura e che lo spinge a muoversi in una determinata direzione] costretta lungo un percorso prefissato), e contro natura lateralmente (moto contro natura generato da „scÚj [forza che agisce dall’esterno su di un corpo]) e verso il centro (azione costrittoria del centro sul moto lungo la circonferenza) NOTEREF _Ref197597335 \h \* MERGEFORMAT .

Più tradizionale è l’interpretazione di Bottecchia Dehò, secondo la quale “la circonferenza viene ad essere la risultante di due movimenti, uno secondo natura ed uno contro natura, vale a dire uno in direzione della tangente e l’altro verso il centro” NOTEREF _Ref197597335 \h \* MERGEFORMAT . Quest’ultima è nella sostanza anche l’interpretazione di Baldi (condivisa dagli altri autori rinascimentali): il moto circolare si produce per l’effetto di due differenti moti, uno contro natura, verso il centro, l’altro secondo natura verso il basso. Per chiarire la spiegazione aristotelica del quarto ‘miracolo’, Baldi, anzitutto, costruisce la figura 11.

Esto, inquit, circulus BCDE et alter in eo minor MNOP circa idem centrum A. Ducantur Diametri maioris quidem CD, EB, minoris vero MO, NP. Itaque ubi AB circulata eo pervenerit unde est gressa, ipsa quoque AM eo unde moveri cœperat, perveniet. Tardius antem fertur AM, quam AD, propterea quod AM a centro magis retrahatur quam ipsa AB. Ducatur igitur ALF et a puncto L, ipsi AB perpendicularis LQ, cadens in minori circulo, et rursus ab codem L ipsi AB, parallela ducatur LS, ab S vero eidem perpendicularis ST, et ab F item FX NOTEREF _Ref197597335 \h \* MERGEFORMAT .



Fig. 11

Nella prima parte della spiegazione, Aristotele suppone che gli spostamenti secondo natura di B e M siano uguali, cioè ST=QL (si noti che non è ipotizzato che tali spostamenti avvengano nello stesso tempo). Un esame della figura mostra che MQ>BT: quindi essendo lo spostamento di M verso il centro maggiore rispetto a quello B, il punto M deve avere velocità minore.

Aristotele aveva giustificato la disuguaglianza MQ>BT affermando che “segmenti rettilinei uguali condotti su cerchi diseguali tagliano una parte minore del diametro nei cerchi maggiori” NOTEREF _Ref197597335 \h \* MERGEFORMAT . Baldi ritiene opportuno offrire una chiara ed esplicita dimostrazione della disuguaglianza MQ>BT, fondata sulla proposizione VI.13 di Euclide. Considerato, invero, il cerchio maggiore BCEP, si vede facilmente che TS è media proporzionale tra BT e TE; di conseguenza il quadrato di lato TS è uguale al rettangolo di lati BT e TE. Allo stesso modo considerando il cerchio minore, si vede che il quadrato di lato QL è uguale al rettangolo di lati MQ e QO. Ma i due quadrati sono uguali, essendo ST=QL, quindi i due rettangoli devono avere la stessa area, e poiché QOBT NOTEREF _Ref197597335 \h \* MERGEFORMAT .

Nella seconda parte della spiegazione – che Baldi riporta semplificando ciò che ritiene superfluo –, Aristotele osserva che in realtà gli spostamenti devono essere in proporzione: ossia vi deve essere proporzione tra gli spostamenti contro natura e quelli secondo natura di M e B, e quindi se M si sposta in L, B si sposta in F (il che significa assumere che i movimenti dei punti M e B avvengano in tempi uguali). Di conseguenza, M percorre uno spazio maggiore nello stesso tempo ed è più veloce NOTEREF _Ref197597335 \h \* MERGEFORMAT .

Baldi afferma che il ragionamento aristotelico è sottile e ingegnoso, ma si può fornire una dimostrazione migliore e più semplice che non faccia uso della gravità secondo natura. Infatti, quest’ultima è causa di un moto in linea retta verso il centro del mondo, per cui il moto circolare, di per sé, non avviene sotto l’azione della gravità naturale:

Caeterum subtilia et ingeniosa isthaec esse non negamus, et longe faciliori et explicatiori modo veritas haec demonstrari potest, reiectis nempe illis, secundum, et praeter naturam motibus, qui quidem in simplici circulo necessario non cadunt: caderent autem fortasse, si de circulo res esset a ponderibus circumlatis ex stabili centro descripto, qua de re agit G. Ubaldus in Mechanicis tractatu de libra NOTEREF _Ref197597335 \h \* MERGEFORMAT . Tunc enim dici potest, pondus quod alias recta ad mundi centrum tenderet, a circuli centro in circulatione retrahi, sed haec ad circuli naturam, quatenus circulus est, ne quaquam spectant NOTEREF _Ref197597335 \h \* MERGEFORMAT .





Fig. 12

La conclusione di Baldi è semplice: il moto di un punto più esterno è più veloce perché percorre uno spazio maggiore nello stesso NOTEREF _Ref197597335 \h \* MERGEFORMAT . Si tratta, tuttavia, di un osservazione strettamente cinematica e del tutto tautologica, che non sembra cogliere il tentativo fatto da Aristotele di offrire una spiegazione causale, ossia di spiegare la maggiore o minore velocità sulla base delle presunte cause del moto (naturali o per violenza).

***

Le meravigliose proprietà del cerchio e, in particolare la quarta, forniscono, secondo l’autore dei Problemi meccanici, la soluzione ai quesiti che si trovano in tale trattato. Di particolare interesse per la presente discussione è la Quaestio III, dove si chiede di spiegare il motivo per cui piccole forze, con l’aiuto di una leva, muovono grandi pesi nonostante il peso aggiuntivo della leva (cfr. supra, p. 74). Aristotele scrive:



[T]re sono le cose che riguardano la leva, il fulcro, lo sparto e il centro, e due pesi, quello che muove e quello che è mosso; pertanto, ciò che il peso mosso è rispetto a quello che muove, la lunghezza lo ricambia rispetto alla lunghezza allo stesso modo. Sempre, quanto sarà più distante dal fulcro, si muoverà più facilmente. La causa è quella detta precedentemente, che il punto più distante dal centro descrive un cerchio maggiore. Cosicché ciò che si muove con la stessa forza si trasferirà di più quanto più è lontano dal fulcro NOTEREF _Ref197597335 \h \* MERGEFORMAT .

Da tali affermazioni e dalle leggi della fisica aristotelica, seguendo Pierre Duhem NOTEREF _Ref197597335 \h \* MERGEFORMAT , alcuni studiosi NOTEREF _Ref197597335 \h \* MERGEFORMAT ritengono possibile derivare il principio della leva. Invero, considerata la leva AB (si veda fig. 13), il peso P posto in A percorre un arco maggiore del peso Q posto in B, ma i due spostamenti avvengono nello stesso tempo e quindi le loro velocità va e vb sono proporzionali alle distanze percorse, ossia:



va : vb= OA : OB.

Per dimostrare la legge della leva, secondo costoro, si potrebbe utilizzare la relazione tra forza e velocità che si trovano all’inizio del quinto capitolo del libro VII della Fisica:



Se A è il motore, B ciò che è mosso, C la quantità della lunghezza per la quale è stato mosso e “in quanto [lo è stato], ossia il tempo, è indicato con D, allora nel tempo uguale la forza uguale, indicata con A, muoverà la metà di B per un [intervallo] doppio dell’[intevallo] C e per l’[intervallo] C nella metà di D. In questo modo, infatti, si avrà proporzione. E se la medesima forza muove la medesima cosa in questo tempo qui per un [intervallo] di questa quantità qui e per la metà dell’[intervallo] nella metà del tempo, anche la metà della forza muoverà nell’ugual tempo la metà della cosa per l’uguale [lunghezza]. Per esempio, la [forza] E sia la metà di A e Z la metà di B: ebbene, le cose stanno in modo simile e la forza è proporzionale al peso, per cui in un tempo uguale muoveranno per un [lunghezza] uguale. E se E muove Z ne [tempo] D per l’[intervallo] C, non necessariamente nel tempo uguale ciò che è indicato con E muove il doppio di Z per la metà dell’[intervallo] […] Ché, in generale, […] non muoverà niente. In effetti, se l’intera forza ha mosso per un [intervallo] di una data quantità, la metà non muoverà né per altrettanto [intervallo], né in un tempo qualsiasi. Ché, uno solo potrebbe muovere la nave, se la forza di coloro che la tirano in secco viene divisa dal loro numero e nella lunghezza per la quale la muovono NOTEREF _Ref197597335 \h \* MERGEFORMAT .

Con un’interpretazione rigorosamente quantitativa della prima parte di tale brano, si ottiene quella che è in genere considerata la legge fondamentale della dinamica aristotelica: in un moto violento, la velocità è direttamente proporzionale alla forza applicata e inversamente proporzionale alla “grandezza” del corpo. Tale legge è espressa da Duhem affermando che la potenza del motore che muove un corpo è misurata dal prodotto del peso (o dalla massa) del corpo mosso per la velocità del movimento impresso a quel corpo NOTEREF _Ref197597335 \h \* MERGEFORMAT . Benvenuto traduce la lunga frase di Duhem nella formula



Q=ms/t=mv,

dove Q è la forza, m un coefficiente di proporzionale NOTEREF _Ref197597335 \h \* MERGEFORMAT , s la distanza percorsa, t il tempo, v la velocità NOTEREF _Ref197597335 \h \* MERGEFORMAT .





Fig. 13

Nel caso in esame della leva AB, le forze applicate non sono altro che i pesi Q e P, quindi le velocità va e vb sono proporzionali ai pesi, ossia

Q : P = OA : OB.

Duhem non si limita ad affermare che la formula della leva è contenuta nei Problemi meccanici, ma addirittura vede nella riduzione della leva al movimento circolare la radice del principio delle velocità virtuali:

N’eût-il formulé que cette seule pensée, Aristote mériterait d’être célébré comme le père de la Mécanique rationnelle. Cette pensée, en effet, est la graine d’où sortiront, par un développement vingt fois séculaire, les puissantes ramifications du Principe des vitesses virtuelles NOTEREF _Ref197597335 \h \* MERGEFORMAT .

Una differente e più plausibile interpretazione si trova in de Gandt NOTEREF _Ref197597335 \h \* MERGEFORMAT e Micheli NOTEREF _Ref197597335 \h \* MERGEFORMAT . Nella soluzione della Quaestio III, Aristotele afferma che il peso maggiore, posto più lontano dal fulcro, si muove più velocemente, qualora una forza esterna lo metta in movimento. Non vi sono riferimenti alla proporzionalità tra velocità e peso, né si fa un tentativo di tradurre lo spostamento in termini quantitativi esatti: nei Problemi meccanici, il ragionamento è sostanzialmente qualitativo NOTEREF _Ref197597335 \h \* MERGEFORMAT . Inoltre, le stesse regole di proporzionalità aristotelica non sono traducibili in termini rigorosamente quantitativi. Il brano sopra citato si conclude con l’osservazione per cui se fra la “grandezza” del corpo e la forza applicata vi è una grande sproporzione, allora è possibile che non si produca alcun movimento; in altri termini, affermare che certi oggetti sono in proporzione (diretta) non significa di per sé che esiste un’esatta proporzione in senso matematico tra due oggetti, ma semplicemente che se l’uno viene aumentato l’altro verrà incrementato in modo simile, entro condizioni non precisate.

***

Procedo ora a illustrare come Baldi tratta il principio nelle Exercitationes. Dopo aver accennato alla questione del peso di una leva materiale e chiarito che ha una scarsa influenza nel sollevare grandi pesi NOTEREF _Ref197597335 \h \* MERGEFORMAT , l’urbinate passa a esporre la sua interpretazione della Quaestio III NOTEREF _Ref197597335 \h \* MERGEFORMAT , che può così riassunta: un peso più lontano descrive un cerchio maggiore e quindi ha una velocità maggiore; poiché le forze acquistano potenza dalla lunghezza del braccio e quindi dalla velocità, quanto più è lungo il braccio tanto più facilmente è mosso il peso; in altri termini,



P : Q = va : vb = OA : OB,

ossia, nella sostanza, la stessa interpretazione data poi da Duhem.

Baldi ha però molte riserve sulla concezione aristotelica di tipo dinamico; a sua avviso, essa presenta una difficoltà sostanziale per quanto riguarda la possibilità di parlare di velocità di una leva in equilibrio, essendo una leva in equilibrio ferma:

Veruntamen, caussam huiusce mirabilis effectus, esse velocitatem, quæ brachij longitudinem consequitur, non affirmamus. Quae enim velocitas in re stante? Stant autem vectis, et libra dum manent in æquilibrio, et nihilo secius parva potentia ingens sustinet pondus NOTEREF _Ref197597335 \h \* MERGEFORMAT .

Un aristotelico potrebbe rispondere a tale obiezione osservando che le velocità considerate non sono in atto ma in potenza NOTEREF _Ref197597335 \h \* MERGEFORMAT ; risposta inaccettabile per l’urbinate, in quanto non è per nulla evidente quale sarebbe il movimento in potenza di ciò che attualmente fermo; inoltre, la forza che sostiene, lo fa in atto e non in potenza NOTEREF _Ref197597335 \h \* MERGEFORMAT . È vero che la velocità del moto del braccio più lungo è maggiore, ma tale maggiore velocità non è la causa dell’equilibrio perché la forza che agisce nel luogo dove la velocità è maggiore non si oppone al movimento. Inoltre, per effetto della velocità, i corpi, e che siano lanciati, e che cadano naturalmente, acquistano peso, ma tale aumento deriva da una velocità e da un moto che sono in atto. Invece, i bracci in equilibrio non si muovono: nessun movimento è in atto NOTEREF _Ref197597335 \h \* MERGEFORMAT . Di conseguenza, per Baldi, la corretta impostazione del problema è quella archimedea contenuta nella proposizione 6 degli Equiponderanti:

Proposizione 6. Grandezze commensurabili si equilibrano quando le loro distanze sono inversamente proporzionali ai loro pesi NOTEREF _Ref197597335 \h \* MERGEFORMAT .

Come accennato nel capitolo II.1, la dimostrazione di tale proposizione si basa su un sistema di otto postulati. Alcuni riguardano l’equilibrio dei gravi sospesi e possono essere formulati così:

- pesi uguali applicati a distanze uguali (dal fulcro) sono in equilibrio, pesi uguali applicati a distanze disuguali non sono in equilibrio, e quello che è sospeso alla distanza maggiore si abbassa;

- se due pesi applicati a certe distanze (dal fulcro) sono in equilibrio, e se a uno di loro si aggiunge qualcosa, allora si ha pendenza dal lato cui si è aggiunto;

- se due pesi applicati a certe distanze (dal fulcro) sono in equilibrio, e se a uno di loro si toglie qualcosa, allora si ha pendenza dal lato cui non si è tolto.

Altri postulati riguardano i centri di gravità:

- se figure piane uguali e simili coincidono, anche i loro centri di gravità coincidono;

- figure simili hanno centri di gravità similmente posti;

- se grandezze poste a certe distanze sono in equilibrio, anche grandezze ad esse uguali, poste alle stesse distanze, sono in equilibrio;

- ogni figura il cui perimetro è concavo dalla stessa parte ha il centro di gravità al suo interno NOTEREF _Ref197597335 \h \* MERGEFORMAT .

Dopo aver provato alcuni risultati preliminari, Archimede dimostra la proposizione 6 nel modo seguente NOTEREF _Ref197597335 \h \* MERGEFORMAT .


Fig. 14

Siano date due grandezze commensurabili A e B, poste a una distanza ED, e si supponga che A stia a B come DG sta GE (si veda fig. 14). Si deve dimostrare che il centro di gravità della grandezza che si ottiene prendendo insieme A e B è il punto G. Poiché

A : B = DG : GE

e, per ipotesi, A è commensurabile con B, anche GD è commensurabile con GE. Esiste, pertanto, una misura comune di EG e GD; sia N tale misura. Si prolunghi ED con due segmenti DK e EL tali che DK=EG e EL=DG. È chiaro che

EL=EH, LH=2DG, HK=2GE.

Poiché N misura le metà di LH e HK, deve misurare anche LH e HK ed, essendo A:B=DG:GE, si ha

A : B = LH : HK.

Sia Z una grandezza contenuta in A lo stesso numero di volte che N è contenuto nel segmento LH, allora si ha

LH : N = A : Z e KH : N=B : Z,

ossia KH è multiplo N tante volte quante B è multiplo di Z. Quindi, Z è una misura comune di A e B.

Così, se una grandezza uguale a Z è posta su ognuno dei segmenti uguali a N in cui è diviso LH, il punto E è il centro di gravità di queste grandezze (il cui peso totale è uguale a A). Analogamente, se una grandezza uguale a Z è posta in ognuno dei segmenti uguali a N che costituiscono KH, il centro di gravità di tale sistema di pesi (uguali ad B) è il punto D. Poiché LG=GK, il punto G è il centro di gravità di tutto il sistema di pesi piazzati sull’intero segmento LK. In conclusione A e B si equilibrano in G.

Per concludere la dimostrazione del principio della leva è necessario considerare il caso in cui le grandezze siano incommensurabili, eventualità esaminata da Archimede nella proposizione 7 degli Equiponderanti NOTEREF _Ref197597335 \h \* MERGEFORMAT , la cui dimostrazione può essere ricostruita nel modo seguente NOTEREF _Ref197597335 \h \* MERGEFORMAT (si veda fig. 15). Siano A e G incommensurabili con i segmenti DE e EZ e sia

A : G = ED : EZ.

Se si suppone, per assurdo, che E non sia il centro di gravità di A e G, la leva può inclinarsi dal lato di A o di G. Si supponga, ad esempio, che si inclini dal lato di A (il ragionamento è analogo in caso contrario). Se si toglie da A una grandezza B, rimane una grandezza C=A - B. Tale grandezza C può sempre essere presa in modo che sia commensurabile con G e che la leva si inclini ancora dal lato di Z. Essendo C

C:G

quindi C e G non si equilibrano e, inoltre, la leva dovrebbe inclinarsi dal lato di D, il che però è contrario all’aver preso C in modo tale che leva si inclinasse dal lato di Z.




Fig. 15

Nelle Exercitationes Baldi non illustra la dimostrazione archimedea, limitandosi ad affermare:

Esto enim vectis AB, quomodolibet fulcimento divisus in C. Appendatur autem in A, pondus D, in B vero pondus E, ita se habens ad pondus D, ut ipsa AC ad CB. Stabit igitur vectis, et neutram in partem verget, erit enim centrum gravitatis in C, diviso nempe ibi vecte in partes æque ponderantes. Hoc post Archimedem, et insignes illos veteres Mechanicos præclarissime demonstravit G. Ubaldus in Mechanicis, Tractatu de Libra propos. 6, nec non de Vecte propos. 4 NOTEREF _Ref197597335 \h \* MERGEFORMAT .



Fig. 16

Baldi pensa che la dimostrazione di Archimede sia rigorosa ma non spieghi per quale motivo una proporzione permutata produce un sì mirabile effetto NOTEREF _Ref197597335 \h \* MERGEFORMAT ; in altri termini, la dimostrazione archimedea non fornisce una spiegazione di tipo causale alla legge della leva (fatto non accettabile da un punto di vista strettamente aristotelico NOTEREF _Ref197597335 \h \* MERGEFORMAT ). Per questo motivo, Baldi non intende fornire una nuova dimostrazione matematica della legge della leva (ossia un ragionamento che provi la validità della legge), ma una dimostrazione in senso aristotelico tale da spiegare il perché un certo fenomeno abbia luogo, ossia, nello specifico, la determinazione della causa dell’equilibro. Questa, per Baldi, è da ricercarsi nell’uguaglianza di stato (aequalitas status) NOTEREF _Ref197597335 \h \* MERGEFORMAT . Si ha uguaglianza di stato allorché si applicano due forze uguali alle estremità A e B di un segmento (fig. 17); è chiaro in tal caso il segmento rimane fermo NOTEREF _Ref197597335 \h \* MERGEFORMAT .




Fig. 17



Fig. 18
Per Baldi, mostrare l’esistenza dell’uguaglianza di stato per la leva significa che ci si può riportare al caso del segmento cui sono applicati due forze uguali. A tale scopo, Baldi suppone che alle estremità di una leva qualsiasi siano posti due pesi in proporzione inversa alle distanze del fulcro e mostra che tale leva può essere ridotta a uguaglianza e quindi condotta in uno stato di equilibrio NOTEREF _Ref197597335 \h \* MERGEFORMAT . In altri termini, Baldi dimostra la seguente proposizione:

Teorema 3. Se i pesi in una leva sono disposti in modo tale da rispettare la legge della proporzione inversa, allora si ha una situazione di uguaglianza (aequalitas status), nel senso sopra specificato. Tale stato di uguaglianza è la causa dell’equilibrio.

Per dimostrare tale teorema (fig. 18), Baldi considera la leva AB con fulcro C alle cui estremità sono appesi D ed E, in proporzione inversa:

D : E = CB : AC.

Poiché, dice Baldi, “il peso D può lo stesso che il braccio CB”, si prolunghi AC di un segmento AF=CB, allo stesso modo, poiché “il peso E può lo stesso che il braccio AC”, alla retta CB sia aggiunta in linea retta un segmento BG=AC. Le affermazioni “il peso D può lo stesso che il braccio CB” e “il peso E può lo stesso che il braccio AC” NOTEREF _Ref197597335 \h \* MERGEFORMAT non sono “una sorta” di postulati, come affermato da Romano Gatto NOTEREF _Ref197597335 \h \* MERGEFORMAT , ma conseguenze del principio della leva, che qui è preso per dimostrato e di cui si cerca di dare una spiegazione causale.




Fig. 19

Dunque, continua l’urbinate, poiché FC=AC+FA, allora il segmento FC è uguale a CG=CB+BG. Il segmento FG sarà così divisa così in due parti uguali FC e CG e poiché “l’uguale non agisce sull’uguale”, esso è in equilibrio (fig. 19).



Fig. 20

Si appendano, quindi, in F, due pesi H e I, uguali a D e E si pongono in G due pesi K e L anch’essi uguali a D e E (fig. 20). In questo modo, la leva FC sarà in equilibrio in quanto pesi uguali sono appesi a bracci uguali. È dunque chiaramente manifesto, conclude Baldi, perché si produce l’equilibrio qualora sia mantenuta la proporzione inversa dei pesi e dei bracci NOTEREF _Ref197597335 \h \* MERGEFORMAT .





Fig. 22
Per riassumere, nella dimostrazione di Baldi è ipotizzata la validità della legge archimedea della leva ed è mostrato che tale ipotesi permette di giungere a una situazione di uguaglianza di stato NOTEREF _Ref197597335 \h \* MERGEFORMAT . Come lascia intendere il motto “Ex inaequali aequalitas”, posto a commento della figura che orna il frontespizio delle Exercitationes (si veda fig. 22), la legge della leva trasforma ciò che è ineguale in uguale creando così uno stato di uguaglianza che è la causa dell’equilibrio.



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