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03.06.2018
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L’EDUCAZIONE MATEMATICA


Osservare, riconoscere, giustificare figure geometriche: proposta didattica con modelli dinamici e Cabri



Anna Maria Facenda1, Janna Nardi 2, Daniela Zambon3

ABSTRACT
In questo lavoro presentiamo e discutiamo una attività sperimentale, realizzata in tre classi di scuola dell’obbligo. Il lavoro è iniziato usando un modello dinamico per studiare la relazione tra due figure; poi gli alunni hanno riprodotto e analizzato la stessa situazione con Cabri. Esponiamo le fasi dell’attività, con i loro aspetti positivi e negativi; concludiamo con alcune considerazioni sull’uso di un software e di modelli dinamici in modo integrato.
In this paper we present and discuss an experimental activity, realized in three classes of compulsory school. The work started by using a dynamic model, to study the relation between two shapes; then, the pupils reproduced and analyzed the same situation with Cabri. We expose the phases of activity, with their positive and negative aspects; finally, we conclude with some considerations concerning the use of this software and dynamic models in an integrated way.
INTRODUZIONE
La sperimentazione didattica di cui riportiamo di seguito svolgimento e risultati è stata svolta parallelamente in una classe II di scuola secondaria di primo grado e in due classi di IV primaria dell’Istituto Comprensivo “A.Gandiglio” di Fano (PU). Il percorso è costruito partendo da un modello dinamico e si sviluppa con la sua “traduzione” in una figura Cabri; l’attenzione è focalizzata principalmente sulle potenzialità dei due strumenti didattici e quindi sul rispettivo loro ruolo nella costruzione delle conoscenze. Esponiamo e documentiamo anche le fasi del lavoro, con gli aspetti positivi e quelli negativi; ne emerge di conseguenza il processo di consolidamento e arricchimento cognitivo compiuto, a nostro avviso, dagli allievi.
1. QUADRO TEORICO
L’attività di ricerca e sperimentazione in didattica della matematica, che il nostro gruppo porta avanti da oltre vent’anni, è fondata su una serie di riferimenti teorici dei quali ci limitiamo di seguito a fornire una sintesi. Approfondimenti ed ampliamenti in merito sono reperibili nei nostri lavori precedenti e in quelli degli altri autori citati in bibliografia.

Come punto di partenza per queste brevi riflessioni iniziali, ci sembra significativo proporre questa citazione: “Insegnare il pensare matematico e non il pensiero matematico” (Skemp; il corsivo è nostro); riteniamo infatti che il processo di insegnamento/apprendimento debba sollecitare e privilegiare le elaborazioni della mente e i loro risultati. All’origine di tutto il nostro lavoro ci sono quindi una constatazione e una domanda; la prima è una acquisizione teorica ormai consolidata: la matematica è una attività del pensiero che fa riferimento ad oggetti accessibili solo attraverso le loro rappresentazioni. Alla base del successo nell’apprendimento c’è la capacità di saper rappresentare lo stesso concetto attraverso registri diversi, operando opportune conversioni di registro e il successivo trattamento. Ciò è senz’altro all’origine di gran parte delle difficoltà che gli allievi incontrano nel loro rapporto con la matematica.

La domanda, probabilmente retorica, è: lo scarso interesse per la matematica, la debolezza della motivazione all’apprendimento, dipendono dai contenuti proposti, dalla metodologia di lavoro o da ambedue? La nostra ipotesi, peraltro condivisa dalla ricerca in materia, è che un sapere trasmesso prevede un ruolo passivo –e quindi poco attraente e gratificante- da parte dell’alunno. Al contrario, un sapere costruito, attraverso modalità di lavoro che lascino spazio alla creatività e all’indipendenza mentale, fa dell’allievo un protagonista della sua avventura conoscitiva. Per pensare matematicamente, bisogna prima di tutto esplorare, modellizzare, argomentare; ciò è indispensabile per capire, sia in senso strumentale (uso corretto e consapevole degli strumenti della disciplina) sia in senso relazionale (sapere cosa fare e sapere perché lo si fa). L’investigazione, la formulazione di problemi, la scoperta, l’applicazione di quanto emerso sono sia potenti fattori di motivazione sia attività che richiedono all’allievo di connotare gli “oggetti” del suo lavoro descrivendoli nel registro più opportuno per gli obiettivi che si propone.

Da quanto sommariamente esposto non è difficile arguire che un efficace processo di insegnamento/apprendimento, oltre che la motivazione degli allievi, richiede un significativo sviluppo professionale dei docenti. Quest’ultimo fattore, a sua volta, si fonda senza dubbio sui risultati del lavoro dei gruppi di ricerca; in essi, docenti universitari e insegnanti ricercatori/sperimentatori collaborano nella riflessione e nella produzione di materiali, nell’analisi dei prodotti della didattica, nella crescita culturale comune, in un contesto in cui ciascuno porta le proprie competenze e le mette a disposizione. Vorremmo aggiungere, però, un altro importante elemento nella costruzione di una figura docente professionalmente connotata in senso innovativo: l’acquisizione da parte di ogni insegnante di una “mentalità” di ricerca. Potremmo identificarla con un punto di vista personale e critico sul proprio operato, fondato su una solida preparazione disciplinare specifica, sull’abitudine alla progettazione delle attività e all’analisi dei processi osservati in classe.

Questa figura di insegnante, che propone e gestisce esperienze didattiche non tradizionali, deve tenere sotto controllo il proprio linguaggio e quello degli allievi, indirizzare le discussioni, saper utilizzare gli errori e gli interventi di tipo divergente nonché la modalità di partecipazione dei singoli. Si tratta evidentemente di un ripensamento del ruolo del docente piuttosto impegnativo; esso può avere però –come corrispettivo- un miglioramento del rapporto alunno/ matematica e un salto di qualità anche nel rapporto alunno/docente. Ne consegue, secondo la nostra esperienza, la crescita della motivazione negli allievi e la miglior consapevolezza dell’insegnante in rapporto alle proprie scelte, sia per la metodologia che per i contenuti proposti.

In riferimento alle riflessioni fin qui condotte, il nostro gruppo sperimenta e propone attività di classe fondate sulla manipolazione e sull’esplorazione attraverso materiali e software didattici; in questo lavoro (come nei precedenti riportati in bibliografia) vengono utilizzati modelli dinamici e Cabri, in modalità integrata. I modelli da noi proposti sono dinamici, cioè dotati di elementi mobili; come la funzione di trascinamento in Cabri, tale dinamicità ha innanzitutto una forte connotazione in senso spazio-temporale. In secondo luogo, la “modificabilità” degli “oggetti” costruiti (sia concreti che virtuali) stimola la produzione di un pensiero causale, che si esprime attraverso costruzioni verbali del tipo “se….allora”. Il tradizionale approccio esclusivamente statico alla geometria, come è ormai assodato, porta gli allievi ad attribuire alle figure proprietà che non le caratterizzano e che spesso sono improprie. Inoltre viene ostacolato il processo di generalizzazione di proprietà prima, e di teoremi poi, a favore di un apprendimento “localizzato” delle proprietà stesse, senza possibilità di far emergere gli invarianti relazionali.

Secondo la nostra esperienza, i materiali didattici che utilizziamo –sia quelli più semplici prodotti dai ragazzi che quelli più sofisticati come il software Cabri- hanno una duplice valenza: sono mezzi per costruire concetti e nello stesso tempo “sistemi di segni” che in qualche modo li concretizzano. Sugli oggetti dell’esperienza e della percezione, la mente dell’allievo costruisce immagini concettuali; la maturazione dei processi logici, di astrazione e generalizzazione porta queste immagini a diventare prevalenti nella costruzione della conoscenza. Tappe essenziali di questo processo, che richiede necessariamente tempi non brevi e spesso non coincidenti tra alunno e alunno, sono: l’esplorazione, la scoperta di proprietà, la formulazione e la validazione di congetture con mezzi idonei (altri modelli come contro-esempio; trascinamento in Cabri). La duttilità di questi materiali e la loro capacità di far emergere le relazioni stimolano la discussione, consentono di formulare definizioni diverse ma corrette di uno stesso oggetto di studio e, in ultima analisi, permettono lo stabilirsi di reti concettuali ricche, solide ma nello stesso tempo trasferibili anche in contesti analoghi. Infine, è quasi ovvio sottolineare che gestire in prima persona il proprio materiale di lavoro consente a ciascun alunno di seguire un percorso personalizzato, nei modi e nei tempi, di costruzione della conoscenza. La successiva, indispensabile fase di confronto consente, attraverso l’interazione con i compagni ed il docente, di sottoporre a vaglio critico il proprio lavoro e di entrare in contatto con modalità differenti di approccio al sapere.

Concludiamo questa sintetica cornice teorica con un nuovo richiamo alla necessità che, in un contesto di apprendimento operativo, attivo e partecipato, l’insegnante riveda il proprio rapporto con il sapere matematico contenuto nei materiali di lavoro. Mentre gli allievi esplorano, riflettono, fanno congetture, discutono, il docente non “passa” la conoscenza; al contrario, tiene sotto controllo la sua costruzione da parte dei ragazzi, orienta tale processo e si fa garante della sua correttezza scientifica. Man mano che la classe lavora, egli/ella può osservare i loro tentativi (e quindi – indirettamente- i processi di pensiero); verificare la crescita di una mentalità progettuale; analizzare la forma e il senso delle loro produzioni linguistiche e favorire la loro trasformazione in corrette argomentazioni. L’allievo, da parte sua, ha modo di rilevare personalmente i propri errori e di trasformarli in stimolo per nuove congetture, superando l’iniziale approccio casuale con i materiali di lavoro. Per sostenere e validare le proprie ed altrui congetture è spinto ad individuare controesempi e ad utilizzarli in modo appropriato, compiendo i primi passi nel percorso che porta a formulare dimostrazioni e a comprenderne la necessità e l’efficacia.


2. IL LAVORO NELLE CLASSI
Premessa
Le classi coinvolte nella sperimentazione sono, come si è detto, due quarte di scuola primaria e una seconda di scuola secondaria di primo grado. Quest’ultima è composta da 24 alunni, di cui una affetta da una disabilità grave e ha partecipato solo molto marginalmente alle attività. Ci sono poi due alunni stranieri, con scarsa padronanza della lingua italiana; hanno preso parte al lavoro, ma naturalmente il loro contributo alle discussioni è stato molto limitato. La modalità di lavoro abituale durante le lezioni di matematica è fondata sul coinvolgimento diretto degli allievi, sull’operatività, sulla problematizzazione. Vengono utilizzati modelli dinamici e il software Cabri già dal primo anno della scuola media; inoltre, un piccolo gruppo di alunni proviene dalla stessa classe di scuola primaria. La loro maestra di matematica fa parte del nostro gruppo di lavoro e ha realizzato regolarmente nel quinquennio una didattica di tipo laboratoriale, con uso di modelli, Cabri, e con ampi spazi per la scoperta guidata e la discussione. Non è casuale, perciò, che proprio i ragazzi provenienti da questa classe siano stati spesso i più attivi sia in fase esplorazione che di formulazione di congetture.

La classe IV A di scuola primaria è composta di 24 alunni. E’ un gruppo intellettivamente vivace e propositivo ma a volte anche troppo esuberante e caotico, di difficile gestione nel momento di trarre le conclusioni del lavoro proposto; il profitto, abbastanza omogeneo, si attesta in genere su valori medio-alti.

Anche la classe IV B è composta da 24 alunni ed anch’essa è costituita da elementi intellettivamente vivaci. E’ un gruppo che però è più facile da condurre nelle attività, dimostra di saper lavorare in modo meno caotico e più incisivo giungendo in tempi brevi a conclusioni molto soddisfacenti.

In tutte e tre le classi, la sperimentazione ha impegnato un’ora alla settimana, per un totale di sei incontri, con fasi di lavoro individuale, a coppie e di discussione collettiva. L’insegnante di classe e un insegnante ricercatore hanno gestito congiuntamente le diverse fasi del lavoro; durante le discussioni si sono alternate nella stesura dei verbali, che rappresentano una preziosa documentazione. Su di essi, infatti, viene condotta una analisi a posteriori che consente di individuare eventuali nodi irrisolti, o punti da chiarire e approfondire, ri-orientando opportunamente l’attività.

Le insegnanti conoscevano le potenzialità del modello prescelto e avevano condotto in precedenza su di esso una analisi a priori attenta e approfondita; ciò aveva consentito di individuare i concetti, in preferenza, da mettere a fuoco con gli allievi, in funzione degli obiettivi scelti.

Il dettaglio delle fasi di lavoro è riportato nei paragrafi seguenti. In sintesi, l’attenzione delle classi è stata indirizzata verso il riconoscimento della tipologia e del numero di figure che si formano articolando un parallelogramma che abbia inscritto un quadrilatero; quest’ultimo ha i vertici nei punti medi del parallelogramma esterno. Il percorso di scoperta ha utilizzato dapprima un modello dinamico (scheda di costruzione appendice) e poi il software Cabri, attraverso la realizzazione e l’analisi di una figura che riproducesse il modello concreto.

Compito degli allievi non era solo quello di individuare quali e quante figure di ogni tipo si formavano, ma anche di giustificare le proprie affermazioni; essi dovevano perciò fare riferimento alle proprietà conosciute delle figure, alle eventuali definizioni già note e alle relazioni implicite nelle classificazioni costruite in precedenza, durante l’abituale attività di classe.





fig. 1. Riproduce il modello, così come è stato utilizzato dalle classi. Sono inserite anche le diagonali, sia della figura esterna che di quella interna.

Per economia di tempo, il modello dinamico è stato dato ai ragazzi già costruito e in legno, uno per ciascun alunno; i ragazzi, comunque, già lo avevano realizzato personalmente con del cartoncino robusto ma comunque più deteriorabile. Sempre individualmente, gli alunni dovevano rispondere per iscritto alle domande-stimolo proposte; la “traduzione” del modello in una figura Cabri è invece stata svolta a coppie, dato che erano disponibili 12 computer. Si sono alternati momenti di riflessione personale e fasi di discussione collettiva.

L’insegnante di classe e l’insegnante ricercatore hanno proceduto congiuntamente all’analisi dei protocolli e alla classificazione delle risposte; queste, insieme con i verbali delle discussioni, hanno fornito interessanti elementi di riflessione su argomenti quali: il ruolo delle rappresentazioni nell’insegnamento/apprendimento della matematica; la distinzione tra “oggetto” matematico e la sua rappresentazione, dal punto di vista degli allievi; le difficoltà di coordinare rappresentazioni diverse dello stesso oggetto; l’uso del linguaggio specifico e la condivisione dei significati; i cambiamenti e gli affinamenti nelle concezioni degli alunni; il ruolo della giustificazione e della argomentazione nel processo di consolidamento dei concetti.
La domanda-stimolo e le sue implicazioni
Ai ragazzi viene data la seguente consegna, da svolgere per iscritto dopo aver attentamente osservato il modello sottoposto ad articolazione:

Muovi (articola) il modello: a) osserva e descrivi le figure che si formano all’interno e all’esterno; b) perché si formano proprio queste figure?



Puoi usare, per la risposta, tutti i tipi di rappresentazione che vuoi.

Si tenga presente che l’uso del termine “rappresentazione” è prassi abituale nelle classi interessate, in quanto tutte sono state coinvolte, negli anni precedenti, in lavori di ricerca e sperimentazione all’interno del Progetto ArAl (early algebra); pertanto il suo significato è condiviso e non ha richiesto, in questa occasione, spiegazioni aggiuntive.

La forma linguistica in cui è stata posta la domanda-stimolo è volutamente semplice e quasi “colloquiale”; questa scelta è conseguenza di precedenti sperimentazioni e ricerche da noi condotte e ha lo scopo di disambiguare al massimo le consegne, soprattutto nel caso di classi di scuola primaria. Ciò sacrifica in parte, evidentemente, la correttezza formale delle espressioni utilizzate ma consente, in base alla nostra esperienza, di rendere trasparente all’allievo la richiesta del docente; ne deriva, dal nostro punto di vista, una migliore leggibilità delle risposte raccolte ed un incremento della loro pertinenza rispetto ai nostri obiettivi di lavoro.

Dall’analisi dei protocolli e dalle successive discussioni, ci proponevamo di mettere a fuoco alcuni aspetti della didattica con uso integrato di modelli e software, che ci sono stati suggeriti da precedenti sperimentazioni e che meritano, a nostro avviso, ulteriori approfondimenti. Li elenchiamo sinteticamente, riservandoci di metterli in evidenza nei paragrafi successivi e di discutere poi nelle conclusioni quanto emerso in proposito da questo lavoro:



  • il ruolo della percezione e il ruolo del ragionamento nell’apprendimento con modalità operative;

  • il rapporto tra il riconoscimento “percettivo” di figure e la successiva validazione cognitiva;

  • la comprensione dell’interdipendenza, nel modello utilizzato, tra le tipologie delle figure interna ed esterna.

Inoltre, nel passaggio dal lavoro sul modello concreto a quello con il software, vedremo come gli alunni debbano in qualche modo “subordinare” la propria creatività all’esigenza di costruire una figura Cabri aderente ad esso. Ciò comporta la necessità di selezionare la modalità di costruzione adatta e di validarla confrontandola con l’oggetto.

L’attività con i materiali ha permesso di osservare come gli alunni, sottoposti a stimoli adeguati, siano capaci di ricercare conoscenze sedimentate in memoria, di mettere in relazione proprietà e anche di individuare quali di esse siano necessarie, sufficienti, o entrambe.

Come in precedenti esperienze, inoltre, abbiamo avuto modo di confrontare le potenzialità e le reciproche interazioni tra i due materiali utilizzati; gli allievi sono stati invitati ad esprimere le loro opinioni, che riferiremo in sintesi nelle conclusioni. Ci limitiamo qui ad anticipare che il quadro che emerge da questa informale indagine conferma le conclusioni ricavate da analoghe sperimentazioni da noi condotte in passato e anche la nostra personale opinione in proposito.
Prima tappa: il riconoscimento delle figure
Dalla lettura dei protocolli emerge che tutti gli allievi della classe di scuola secondaria riconoscono in modo corretto le figure che si formano; nelle classi di scuola primaria la percentuale di riconoscimenti corretti è del 50%. La metà degli alunni arricchisce il proprio lavoro con disegni; il dinamismo del modello suggerisce ad alcuni dei ragazzi più grandi una rappresentazione con più disegni in sequenza, che riproducono fasi successive del processo di articolazione. Qualche bambino della scuola primaria, invece, disegna separatamente la figura interna e quella esterna; ciò potrebbe segnalare una difficoltà nel coordinare le immagini mentali evocate dal modello e – di conseguenza- nel percepire la relazione tra le due tipologie di figura.

In questa prima fase, individuale, del lavoro gli alunni di seconda media rispondono alla sollecitazione espressa dalla domanda b) (perché si formano proprio queste figure?) e si sforzano di giustificare la formazione delle figure che hanno individuato; tali “giustificazioni” sono, in alcuni casi, puramente descrittive e non sempre utili a motivare il “perché” richiesto:



  1. “..la figura interna è metà di quella esterna”

  2. “..ci sono coppie di figure simmetriche”

  3. “..si formano parallelogrammi perché i lati opposti sono paralleli”

  4. “..nella figura interna i lati si allungano e si accorciano”

In altri protocolli si può riconoscere una qualche forma di concatenazione logica tra le argomentazioni, nonostante la forma linguistica sia molto sintetica e/o imprecisa e richieda un certo sforzo di interpretazione:

e)“..si forma il rombo perché i vertici sono nei punti medi”

f)“..si forma il rombo perché il rettangolo è una figura simmetrica”

g)“..il rombo ha i lati uguali perché le distanze sono uguali”.

Un alunno di seconda media individua spontaneamente la relazione tra mediane e diagonali delle due figure (le mediane del quadrilatero esterno sono le diagonali di quello interno) ed àncora ad essa la sua giustificazione: “ Se traccio le mediane del rettangolo diventano le diagonali del rombo e sono perpendicolari”. Alla stessa conclusione arrivano anche gli allievi di quarta, attraverso un dialogo a più voci che coinvolge anche l’insegnante:

A (Joan): E il rombo ha le diagonali che si bisecano.

A (Alessandro): E perpendicolari.

I: Le mediane del rettangolo sono…

A (Molti): Le diagonali del rombo.

Come si vede, emergono riferimenti a nozioni sedimentate in memoria [citazioni c) e f), ad esempio]; alla utilizzazione operativa di conoscenze pregresse [frase g)]; a procedure di controllo di natura sperimentale o percettiva [frasi a), e) ancora g)].

Tra i bambini di scuola primaria, pochissimi tentano di fornire una motivazione dei loro “riconoscimenti”; in genere, si limitano a nominare le figure.
Seconda tappa: la discussione collettiva.
Alla fase di osservazione, riflessione e verbalizzazione scritta individuale ha fatto seguito, come si è detto, la “messa in comune” di quanto emerso nei protocolli; le insegnanti –seguendo una metodica ormai collaudata in precedenti sperimentazioni e ricerche- riportano sinteticamente alla classe il contenuto dei lavori raccolti ed analizzati, distinguendo le argomentazioni addotte in “categorie”. Si scrivono alla lavagna frasi e osservazioni selezionate perché particolarmente significative e/o idonee ad aprire e stimolare la discussione. Non vengono fatti i nomi degli autori (a meno che non siano necessari chiarimenti sul senso delle frasi stesse) e questo accorgimento fa sì che tutta la classe si senta in qualche modo chiamata in causa per completare, correggere, affinare le osservazioni; chi ha scritto qualcosa di non completamente corretto o condiviso, nel clima di collaborazione che si viene a creare non vive il suo errore in modo ansiogeno e spesso riesce da solo a cogliere i punti deboli del proprio prodotto. Nello stesso tempo, la discussione resta in genere animata e molto partecipata e la mediazione del docente è fondamentale per moderare gli interventi e far sì che anche gli alunni più riservati e insicuri trovino il loro spazio.

Durante il dibattito, gli allievi hanno di nuovo in mano il modello; gli interventi e le osservazioni sono verbalizzati e l’obiettivo di questa fase è far emergere giustificazioni corrette per le varie figure, in modo che ciascun alunno abbia la possibilità di farle proprie. Nel dibattito, il docente si pone anche come garante scientifico e, nello stesso tempo, deve saper cogliere gli spunti significativi che offre la discussione; non è un lavoro facile, anche perché spesso il dibattito è animato e non raramente gli interventi tendono ad accavallarsi.

Nei paragrafi seguenti riportiamo sinteticamente le argomentazioni alle quali si è pervenuti grazie alla discussione, differenziandole per tipologia di figura. Trascriviamo anche alcuni interventi o scambi di battute nelle diverse classi, per esemplificare le nostre osservazioni o interpretazioni (in corsivo nel testo). Nei dialoghi riportati,viene indicato con “I” il docente di classe, con “IR” l’insegnante ricercatore.

In genere, a meno di specifiche precisazioni, le considerazioni degli allievi sono le stesse sia per la scuola secondaria che per la scuola primaria. In particolare sono comuni a tutte e tre le classi:



  • il collegamento tra parallelismo dei lati opposti e uguaglianza a coppie dei legnetti che formano il modello;

  • il frequente riferimento ad aspetti delle figure in realtà non essenziali (altezze, distanze);

  • un uso delle conoscenze pregresse non sempre pertinente a quanto si vuole argomentare;

  • la prevalenza di osservazioni aventi per oggetto i lati piuttosto che gli angoli o altri elementi delle figure.

Nel corso delle discussioni si evidenzia una ricerca inconsapevole, da parte degli alunni, delle condizioni necessarie e sufficienti per “nominare” una figura: attività, questa, propedeutica alla definizione ma appunto “inconsapevole” perché in alunni di questo livello scolastico il collegamento tra proprietà e definizioni è ancora in corso di interiorizzazione. Abbiamo inoltre osservato che nel dibattito le giustificazioni diventavano via via più ricche e meglio fondate, grazie al confronto con le obiezioni dei compagni e delle insegnanti, non di rado sostenute con controesempi (altri modelli dinamici adeguatamente scelti).
Rettangolo (figura esterna)

Gli allievi lo riconoscono come “parallelogramma che ha gli angoli tutti uguali”, oppure affermano che si forma “quando le diagonali si tagliano a metà e sono uguali” o ancora “quando le mediane si tagliano a metà e sono perpendicolari”. La proprietà della bisezione delle mediane è evidentemente pleonastica in questo contesto, dato che è presente in tutti i quadrilateri (teorema delle mediane); gli alunni non ne erano ovviamente consapevoli. La nostra scelta è stata quella di non soffermarci in modo particolare su questo punto e di limitarci a far constatare ai ragazzi che la bisezione delle mediane è presente anche nei generici parallelogrammi generati dal modello.


II secondaria

A (Enrico R): Nel rettangolo gli angoli sono tutti uguali

A (Francesco F): Perché i lati del rettangolo sono perpendicolari

A (Francesco): Le diagonali si tagliano a metà

A (Enrico): Però nel parallelogramma sono diverse, nel rettangolo sono uguali.
IV primaria

A (Elena): Ha due lati uguali e due no….

……

I: Sono i lati che determinano l’essere rettangolo?....



A (Domenico): No, anche gli angoli devono essere uguali, retti.

……


A (Piero): Le mediane si incontrano nel punto del centro.

A (Alessandro): Sono perpendicolari.

Rombo (figura interna)


La proprietà che viene richiamata più spesso per giustificare la formazione del rombo è l’uguaglianza dei lati; i ragazzi osservano infatti che, nel rettangolo, i segmenti (loro dicono “la distanza”) che uniscono i punti medi di lati consecutivi sono uguali “perché gli angoli sono retti”. Alcuni alunni –una minoranza- che hanno notato come le mediane del rettangolo siano diagonali nel rombo, ne sottolineano la perpendicolarità:
II secondaria
A (Francesco F):…. Ha le diagonali che si bisecano e che sono perpendicolari.
IV primaria
A (Joan): Le diagonali sono perpendicolari perché sono le mediane del rettangolo.

E’ stato necessario utilizzare un altro modello per far verificare ai ragazzi che la sola perpendicolarità delle diagonali non è condizione sufficiente per individuare un rombo:

Modello a diagonali scanalate e articolabili, utilizzato come “controesempio”


II secondaria



IR: E’ sufficiente dire che per avere un rombo le diagonali devono essere perpendicolari? [IR mostra il modello in figura]

A (Enrico R): Le diagonali devono bisecarsi.

Alcuni alunni di scuola primaria fanno riferimento all’uguaglianza degli angoli opposti; l’insegnante, attraverso l’osservazione del modello in uso, fa rilevare che anche questa proprietà non è sufficiente.




fig. n. 2


Numerosi sono gli allievi, sia di scuola primaria che secondaria, che giustificano il rombo osservando che le mediane del rettangolo lo dividono in quattro “rettangolini” uguali (fig. 2), nei quali una diagonale è il lato del rombo.


IV primaria

A (Francesco V): Le mediane dividono il rettangolo in 4 rettangoli uguali, i lati del rombo sono le diagonali dei rettangolini.

Altri si concentrano sui triangoli (fig. 2) EDH, HCG, GBF, FAE; riconoscono che sono tutti rettangoli e uguali, perché i cateti sono ciascuno la metà di uno dei lati del rettangolo.


II secondaria

A (Giusy): Ci sono 4 triangolini uguali negli angoli del modello, quindi sono uguali i lati.

IR: Perché i triangolini sono uguali?

A (Sabina): Perché i lati di un triangolo sono sempre la metà dei lati del rettangolo.

Un paio di ragazzi di scuola secondaria sfruttano invece la simmetria; ricordano che nel rettangolo le mediane sono assi di simmetria: pertanto HG e GF sono uguali ad EH ed EF perché simmetrici rispetto ad HF. Un analogo ragionamento viene svolto considerando l’asse EG (fig. 2).


Parallelogramma

Sul fatto che la figura esterna sia un parallelogramma non ci sono, ovviamente, dubbi; i parallelogrammi interni vengono generalmente riconosciuti in base alla bisezione delle diagonali.



fig. n. 3

In modo del tutto analogo a quanto rilevato nel caso del rombo, i ragazzi fanno riferimento ai “piccoli parallelogrammi” uguali formati dalle mediane della figura esterna; nel quadrilatero interno, EH = FG perché sono le diagonali maggiori ed EF = HG perché sono le diagonali minori dei “parallelogrammini” individuati (fig. 3).

Altre giustificazioni utilizzano di nuovo i “triangolini” EDH, HCG, GBF, FAE. Gli alunni riconoscono che in questo caso solo quelli in posizione “opposta” sono uguali e non più tutti e quattro; ciò viene motivato rilevando che due sono ottusangoli e due acutangoli.


II secondaria

A Sabina): Fuori dal parallelogramma ci sono 4 triangoli…

A (Francesca): Uguali due a due.
I: Come facciamo ad essere sicuri?

A (Francesca): Guardiamo gli angoli.
IV primaria

A (Gianluca): Il rombo è in parentela con il parallelogramma perché ha i lati opposti paralleli; ha perso l’uguaglianza dei lati e la perpendicolarità delle diagonali.
Terza tappa: traduzione del modello in figura Cabri
Terminata la fase di discussione collettiva, il lavoro è proseguito nell’aula di informatica; l’obiettivo era “tradurre” il modello in una figura Cabri, validarla e analizzare le modalità utilizzate per la validazione.

Gli allievi delle classi di scuola primaria, come si è detto in precedenza, conoscevano Cabri ma non lo avevano mai utilizzato per costruire un parallelogramma; la classe di scuola secondaria, invece, conosceva già diverse modalità per ottenere parallelogrammi con questo software.

Per realizzare una trasposizione corretta del modello utilizzato, è necessario che il trascinamento non faccia variare la misura dei lati della figura circoscritta; per ottenere questa caratteristica, è necessario che due lati consecutivi del parallelogramma siano costruiti come raggi di altrettante circonferenze concentriche. Questo aspetto è stato oggetto di discussione collettiva; inizialmente gli alunni sono stati lasciati liberi di costruire il parallelogramma esterno scegliendo la modalità che preferivano. Naturalmente, alcuni hanno poi dovuto correggere le loro impostazione, quando hanno constatato (da soli o con la sollecitazione delle insegnanti) che nel parallelogramma così costruito – sottoposto a trascinamento- le misure dei lati non si mantenevano.

In questa fase, una delle due classi IV primaria ha richiesto più dell’altra la guida delle insegnanti.


R
Due circonferenze concentriche con centro in A e raggi diversi

Segmenti AB, AD (raggi)

Rette parallele: per D ad AB, per B ad AD

Punto C di intersezione, tra le due rette

Poligono ABCD

Punti medi E,F,G,H del lati del poligono

Poligono EFGH

Segmenti AC, BC (diagonali); HF, EG (mediane di ABCD)



iportiamo di seguito il programma:



Quarta tappa: la validazione della figura Cabri
Anche per questa fase si è partiti da una domanda-guida: “Durante il trascinamento, puoi osservare la formazione delle stesse figure individuate con il modello. Come puoi verificare il tipo di figure? Puoi usare anche più modi”.

Facciamo di nuovo rilevare la voluta semplificazione del linguaggio, per le stesse motivazioni esposte in precedenza; gli alunni sono consapevoli che, in un contesto Cabri, le funzioni che il software mette loro a disposizione sono utilizzabili sia per costruire le figure che per verificare in esse la presenza di determinate caratteristiche/proprietà che ne giustificano la “nominalizzazione” e quindi la classificazione.

In questa esperienza, solo pochi alunni –in prevalenza appartenenti alle classi di scuola primaria- hanno fatto ricorso alla misura di lati e/o di angoli come strumento di validazione.

Vediamo ora, figura per figura, quali modalità di validazione hanno proposto gli alunni:


Rettangolo

Alcuni alunni di quarta primaria utilizzano la funzione “Misura” applicata agli angoli; un alunno afferma che è sufficiente misurarne uno, perché “il rettangolo è un parallelogramma…”. Degli allievi della secondaria, più consapevoli dell’imprecisione insita in questa funzione Cabri, nessuno la usa.

Per controllare che la figura abbia gli angoli retti, è stata utilizzata la funzione “Retta perpendicolare” per un vertice ad un lato (ad esempio per il vertice B al lato AB o BC, fig. 4).

È stata anche utilizzata la costruzione della perpendicolare ad una mediana per il punto di incontro delle mediane (poiché le mediane nel rettangolo sono perpendicolari).


Rombo

Gli alunni hanno fatto ricorso alla costruzione di una retta perpendicolare ad una mediana del rettangolo, condotta o per un vertice della figura interna o per il punto di intersezione delle mediane. Ciò permette di individuare, nel primo caso il punto in cui la figura esterna è un rettangolo ed ha quindi le mediane perpendicolari, nel secondo caso la posizione in cui le diagonali del quadrilatero interno sono perpendicolari.

E’ necessario sollecitare la verifica della bisezione delle diagonali, che alcuni alunni suggeriscono di eseguire costruendo una circonferenza con centro O e raggio OH: si osserva che anche il vertice F appartiene alla circonferenza. (fig. 4). Con l’altra diagonale il procedimento è analogo.


fig. n. 4



Anche per l’uguaglianza dei lati gli allievi –sia di primaria che di secondaria- propongono di utilizzare la circonferenza con centro, ad esempio, in E e raggio EH; si verifica che la circonferenza passa anche per F. Se si ripete il controllo con centro in F e raggio FE si ha la certezza della uguaglianza di tutti i lati.


fig. n. 5


Nella classe di scuola secondaria, un alunno suggerisce di controllare se le diagonali della figura esterna passano per i punti medi dei lati di quella interna: a questo punto si ottiene il rombo. Utilizzando il modello concreto e la figura Cabri, l’insegnante fa rilevare che questa osservazione in realtà non è discriminante, perché ciò si verifica in qualsiasi posizione. Segnaliamo tuttavia questo intervento, perché evidenzia come l’allievo abbia intuito in modo completo lo scambio mediane/diagonali tra figura esterna e figura interna.


Parallelogramma

L
fig. n. 6


a modalità di verifica più utilizzata è basata sull’utilizzo della funzione “Rette parallele” per un vertice del parallelogramma (ad esempio per il vertice H al lato FG e al lato EF): nel trascinamento il parallelismo si mantiene.

Nella classe di scuola secondaria c’è una maggiore ricchezza di proposte:



  • Controllare la bisezione delle diagonali con la funzione Circonferenza (centro O e raggio OF, centro O raggio OE – fig. 7)

  • Controllare l’uguaglianza degli angoli opposti con la funzione Misura.

fig. n. 7




Discussione di bilancio sui procedimenti di validazione
Durante e dopo l’attività di validazione con Cabri, è stata attivata la discussione sui metodi utilizzati dai ragazzi; ne è emerso che le diverse procedure suggerite facevano riferimento alle possibili definizioni –alternative ma ugualmente valide- di ogni figura. E’ stata perciò affrontata e discussa la costruzione delle definizioni, mettendo a fuoco il problema della individuazione delle proprietà necessarie e sufficienti, come si vede in questi brevi scambi di battute:
II secondaria:

A (Nicola): Le diagonali si bisecano…
IR: Ma vale per tutte le figure che si ottengono…

A (Alcuni): Uguali nel rettangolo.

……….



IR: ….. Come posso definire un rombo usando le diagonali?

A (Francesco F):…. Ha le diagonali che si bisecano e che sono perpendicolari.

IV primaria

Nelle classi di scuola primaria, sono state trascritte alla lavagna le proprietà delle figure individuate; ciascuna proprietà e stata poi passata al vaglio del ragionamento, anche con il supporto di controesempi, per controllare se era sufficiente ad individuare con sicurezza e senza ambiguità la figura di volta in volta considerata.

Per il rettangolo, i bambini hanno riconosciuto queste proprietà: angoli retti -lati opposti uguali -diagonali uguali -mediane che si bisecano -mediane perpendicolari. Dalla discussione è emerso abbastanza rapidamente che solo la prima delle proprietà elencate è necessaria e sufficiente (“basta da sola”); le altre richiedono di essere abbinate.

Per il rombo, le proprietà riconosciute sono state: lati uguali - diagonali che si bisecano -diagonali perpendicolari - angoli opposti uguali. Gli alunni hanno scoperto che solo “lati uguali” si regge, per così dire, da sola e hanno ragionato con impegno sul modo in cui abbinare le diverse proprietà:

A (Andrea T): La terza basta. Non tutti sono d‘accordo. Si osserva il modello a diagonali scanalate... . tutti riconoscono che la perpendicolarità da sola non basta.

I: Con quale altra dobbiamo unirla?

A (Chiara): Lati uguali.

I: Ma lati uguali basta da sola?

A (Molti): Sì

I: Allora cerchiamo un’altra proprietà che da sola non basta e la uniamo a...

A (Alcuni): Che si bisecano...

Attraverso questa attività di discussione e di riflessione sulle proprietà, sono emerse con naturalezza, in alcuni casi, le relazioni tra le figure e quindi è stato possibile riprenderne la classificazione inclusiva; come si osserva dai dialoghi riportati più avanti, gli alunni dimostrano piena consapevolezza del fatto che si sta lavorando all’interno dell’insieme dei parallelogrammi.


IV primaria

I: Ora osserviamo cosa accade se muovo il modello. Perché è diventato un parallelogramma?

A (Gianluca): Ha mantenuto i lati paralleli ed uguali.

A (Andrea T): Ha cambiato gli angoli.

I: E il rombo cosa diventa?

A (Alcuni): Un parallelogramma.

I: Come fai ad essere sicuro?

A (Gianluca): Il rombo è in parentela con il parallelogramma perché ha i lati opposti paralleli; ha perso l’uguaglianza dei lati e la perpendicolarità delle diagonali.
II secondaria

A (Giacomo): La figura interna ha caratteristiche comuni con quella esterna.

A (Nicola): Sono tutti parallelogrammi…

Rileviamo infine che, durante la discussione, si sono create in modo spontaneo condizioni favorevoli al problem posing, immaginando di modificare la posizione dei vertici della figura inscritta:


II secondaria

IR: Se la figura interna non la costruisco sui punti medi, ma su punti a caso?

A (Sabina): Non è più un rombo….

A (Alcuni): Un quadrilatero generico.

…………


IR: Potrei ottenere un deltoide?

A (Alcuni): Sì.

A (Nicola): Dipende…

A (Enrico): Basta che due vertici opposti, della figura interna, sono in un altro punto non al centro….

A (Francesco G): Spostare due vertici in modo parallelo… uguale.
IV primaria

1: Nel modello i buchi per il filo sono nei punti medi.. .se non fossero lì che figura si otterrebbe? Se i fori sono a caso...

A (Alessandro): un quadrilatero generico.

I: Se volessi un deltoide?

A (Silvia): Un po’ più su nei lati lunghi...

A (Joan): Negli altri lati nei punti medi, gli altri alla stessa altezza...

I: Se volessi ottenere internamente un quadrato?

A (Alessandro): Dovrei avere un quadrato fuori.

3. RIFLESSIONI CONCLUSIVE E QUESTIONI APERTE
Quanto finora esposto è, come si è detto nell’introduzione, la “cronaca ragionata” di un’ esperienza volta ad approfondire ulteriormente le potenzialità didattiche dell’uso integrato di modelli dinamici e di Cabri; non ci sono pertanto ipotesi di lavoro in merito alle quali trarre delle vere e proprie conclusioni. Ciò non ci esime, tuttavia, dal mettere in rilievo gli aspetti del lavoro che meritano, a nostro avviso, di essere sottoposti a riflessione o che possono aprire a future sperimentazioni.

  • Rapporto tra rappresentazioni diverse dello stesso “oggetto” – Questo problema si è posto in particolare nella fase di traduzione del modello in figura Cabri; ambedue gli strumenti sono registri di rappresentazione e il passaggio dall’uno all’altro è evidentemente mediato dalla percezione: è questa che consente di verificare se la costruzione al computer riflette fedelmente gli elementi varianti ed invarianti del modello. Alcuni dei programmi inizialmente proposti dagli alunni non rispettavano la costanza della misura dei lati; nonostante ciò fosse ben visibile, è stato necessario attirare l’attenzione dei ragazzi su questa “infedeltà”. Ci sembra che ciò sottolinei ancora una volta come il coordinamento di registri di rappresentazione diversi sia un punto cruciale del processo di insegnamento/apprendimento della matematica. L’osservazione è –a nostro avviso- non banale, dato il ruolo tuttora preponderante che hanno le rappresentazioni iconiche (si pensi al disegno) nella didattica della geometria; l’introduzione di Cabri può contribuire ad evidenziare incomprensioni e contraddizioni presenti nelle immagini mentali degli allievi, che altrimenti resterebbero inosservabili.

  • Argomentare e giustificare come attività di avvio alla dimostrazione – Come è noto, non c’è uniformità di opinioni in merito al rapporto tra argomentazioni e giustificazioni da una parte e dimostrazione dall’altra. E’ evidente che una attività matematica “alta” come la dimostrazione non è proponibile nella fascia scolare in cui noi operiamo; il suo statuto epistemologico è troppo astratto e complesso per consentire ai nostri alunni una vera comprensione della sua necessità. Tuttavia riteniamo che il dover giustificare in modo efficace, logico e verbalmente chiaro le proprie intuizioni ed opinioni sia un passo importante. L’allievo deve infatti staccarsi dalla pura constatazione, che può essere corretta ma ha comunque un valore locale, limitato e non sempre generalizzabile; deve dare forma al proprio ragionamento utilizzando uno o più linguaggi coordinati e facendo ricorso, se necessario, a costrutti logici del tipo “se…allora”. Nel corso di questa sperimentazione, e delle precedenti, abbiamo potuto verificare come gli allievi, man mano che l’attività procede in tal senso, diventino più esigenti e critici verso le argomentazioni dei compagni e anche verso le proprie. Affermazioni come “.. si vede che ..” vengono evitate e considerate poco o per niente convincenti.

  • Utilizzo delle conoscenze – La lettura dei protocolli e l’analisi dei verbali forniscono interessanti elementi di riflessione a proposito del modo in cui gli allievi fanno uso del proprio bagaglio di conoscenze, sia per giustificare le proprie affermazione che per validare il riconoscimento di figure. Frequente –come è ovvio- il ricorso a conoscenze ormai memorizzate (“è un parallelogramma perché ha i lati [opposti] paralleli”) ma anche a relazioni tra proprietà (“si forma un rombo perché il rettangolo è una figura simmetrica”), sia pure espresse in maniera non sempre esplicita. Non mancano procedure di controllo concrete, che comunque trovano la loro giustificazione implicita nelle conoscenze pregresse (“..perché i vertici sono nei punti medi”; “ha i lati uguali [il rombo] perché le distanze sono uguali”). Naturalmente, data l’età degli alunni, è forte il contributo degli aspetti percettivi, come evidenzia l’uso di un linguaggio colloquiale (“..si allunga…”; “.. si accorcia”..); sono presenti anche riferimenti ad aspetti non pertinenti, come ad esempio le aree. L’attenzione a queste modalità di utilizzo delle conoscenze fornisce elementi per definire diversi stili di lavoro, chiaramente connessi anche al livello di maturazione, e quindi permette di seguire nel tempo l’evoluzione della “personalità cognitiva” degli allievi.

  • Rapporti tra figure e/o tra concetti – Non sorprende constatare che non sempre gli alunni prendono spontaneamente in considerazione i collegamenti tra le diverse proprietà, che pure riconoscono, allo scopo di rafforzare le proprie affermazioni; i dialoghi sottostanti ne sono una testimonianza. Porre in relazione è infatti una attività mentale già abbastanza raffinata, soprattutto quando è richiesto di applicarla in situazioni non legate a campi esperienziali. Cabri può essere, in quest’ambito, uno strumento prezioso, in quanto l’utilizzo delle sue funzioni a scopo di verifica/validazione fa spesso riferimento a rapporti funzionali.

II secondaria:

A (Nicola): Nella figura esterna se i lati sono paralleli può essere anche

quadrato

A (Francesca): Dovrebbe avere tutti i lati uguali.

IV primaria:



A (Gianluca). E’ un rombo.

I: Come faccio ad essere certa?

A (Andrea T): Ha gli angoli opposti uguali.

I: Serve? Anche nel parallelogramma gli angoli sono così.

A (Andrea T): Il rombo deve avere i lati uguali.

A (Andrea G): E’ imparentato con il quadrato.

I: Serve questa osservazione?

A (Andrea T): Le diagonali sono perpendicolari.

  • Costruzione collettiva della conoscenza – I diari di lavoro –dei quali sono stati riportati in precedenza diversi frammenti- rivelano che le conquiste matematiche alle quali si è giunti sono il frutto della composizione di più voci. Le osservazioni si integrano reciprocamente, in una dialettica che comporta processi di accettazione e di confutazione, per produrre nuova conoscenza secondo una modalità “sociale” che rende tutti utili e tutti protagonisti. Anche qui, l’insegnante attento può ricavare dall’esame dei documenti di lavoro preziose indicazioni sul contributo dei singoli e quindi valutare l’effettiva partecipazione.

  • Giustificazioni e definizioni – Consideriamo infine il rapporto tra giustificazione e definizione, così come sembra delinearsi nel corso dell’attività; ci siamo chiesti: gli allievi giustificano usando le definizioni o approdano alle definizioni attraverso la necessità di giustificare? Dalla lettura di protocolli e verbali non emerge il ricorso a definizioni “preconfezionate” per giustificare le proprie osservazioni; certo, gli allievi fanno riferimento a proprietà delle figure per validarne il riconoscimento, per cui sembrerebbe che il processo si articoli secondo queste tappe: percezione/osservazione di proprietà – attribuzione di un “nome” sulla base delle proprietà evidenziate – approdo (spesso su sollecitazione degli insegnanti) ad una definizione. A sostegno di questa interpretazione portiamo la constatazione che “definire” è un processo che richiede –a monte- una attività di generalizzazione non facile e non spontanea in alunni di questa età.

  • Interazione tra modello dinamico e Cabri – In questa, come in tutte le precedenti esperienze nelle quali abbiamo fatto utilizzare agli allievi sia un modello concreto che il software, al termine del percorso abbiamo coinvolto gli alunni nella riflessione e nel confronto tra i due strumenti di lavoro. Quanto esponiamo di seguito, perciò, è una sintesi tra ciò che noi abbiamo constatato come docenti e ciò che è emerso dalle osservazioni dei ragazzi. Premettiamo che la scelta di far operare le classi prima con il modello e poi con Cabri non è casuale, ma è frutto di numerose sperimentazioni precedentemente realizzate. Non ripetiamo qui le motivazioni che ci hanno condotto a privilegiare questa modalità di lavoro; chi fosse interessato ad approfondirle può ricercarle nei nostri contributi citati in bibliografia, ai quali rimandiamo anche per un esame più puntuale dei vantaggi che comporta l’utilizzo di materiali concreti in funzione euristica. Gli alunni che hanno partecipato a questa attività, sollecitati ad esprimere la loro opinione, hanno affermato che il modello –proprio per i limiti derivanti dalla sua “concretezza”- li stimola a ragionare (“il modellino serve per ragionare..”) perché richiede loro di formarsi delle immagini mentali. Queste devono continuamente essere adattate alle nuove situazioni derivanti dal dinamismo dell’oggetto stesso: i ragazzi dicono “bisogna immaginare”; gli alunni di scuola primaria, in particolare, hanno rilevato che il modello li portava ad osservare con attenzione tutte le sue componenti, per poter poi costruire ragionamenti e congetture: “Vedevamo meglio su pezzetti”, dicono. Cabri è più astratto, “non riflette la realtà”; inoltre impone la conoscenza di regole sintattiche mentre il modello richiede creatività. Di Cabri, gli allievi dicono però che facilita la verifica delle congetture e dei ragionamenti fatti con il modello, anche se “....su Cabri metto le funzioni, sul modello devo lavorare con la mente”. Riteniamo che queste osservazioni, sia pure in modo ingenuo, confermino che l’uso integrato di questi due strumenti/registri di rappresentazione offre agli alunni un contesto ricco di stimoli diversi. Vengono attivati, di conseguenza, processi cognitivi volti ad armonizzare i rispettivi linguaggi, a sfruttare al meglio le potenzialità di ciascuno strumento di lavoro e anche –su opportuna sollecitazione- ad analizzare il proprio personale modo di interagire con essi in un’ottica metacognitiva.


RIFERIMENTI
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Facenda A. M. –Fulgenzi P. – Gabellini G. – Masi F.– Nardi J. – Paternoster F. (2003) “I modelli dinamici: costruzioni di immagini mentali e avvio alla deduzione” in L’insegnamento della matematica e delle scienze integrate vol. 26 A-B n. 6, 715-738

Facenda A. M. –Fulgenzi P. –Nardi J. – Paternoster F. –Rivelli D.– Zambon D. (2007) “Parallelogrammi inscritti in quadrilateri. Prima parte” in L’insegnamento della matematica e delle scienze integrate vol. 30 A n. 5, 549-571

Facenda A. M. –Fulgenzi P. –Nardi J. – Paternoster F. –Rivelli D.– Zambon D. (2008) “Parallelogrammi inscritti in quadrilateri. Seconda parte” in L’insegnamento della matematica e delle scienze integrate vol. 31 A n. 1, 13-31

Facenda A. M. –Fulgenzi P. –Nardi J. – Paternoster F. –Rivelli D.– Zambon D. (2008) “Uso integrato di Cabri e modelli dinamici: resoconto di una esperienza sui parallelogrammi” in L’insegnamento della matematica e delle scienze integrate vol. 31 A n. 5, 429-443

Furinghetti F. (2008) “Riflessione e azione nella formazione degli insegnanti” in Atti convegno in ricordo di F. Speranza, 15-23

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Laborde C., Capponi B. (1994) “Cabri-Géomètre constituant d’un milieu pour l’apprentissage de la notion de figure géomètrique” in Recherche en Didactique des Matéematiques, vol 14 n. 12, 165-210

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Malara, N., Tortora R. (2008) “Un progetto europeo per lo sviluppo professionale degli insegnanti attraverso metodologie di ricerca: il contributo italiano, le questioni sorte a livello internazionale, il nodo della figura dell’insegnante ricercatore” in Atti Convegno in ricordo di F: Speranza, Parma 2008, 61- 70

Mariotti M. A. (2003) “ Artefatti e strumenti nell’educazione matematica” in La didattica della matematica in aula, Pitagora Editrice, 87-98

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APPENDICE - SCHEDE DI COSTRUZIONE
Modello “parallelogrammi articolabili”

  • Forare le asticciole, di legno o di cartone rigido, al centro e a circa 1 cm dai margini

  • Collegare gli estremi delle asticciole con quattro viti in modo da costruire un quadrilatero (Le misure delle asticciole devono rispettare la condizione di esistenza di un poligono).

  • Prendere del filo elastico, annodarne i capi e disporlo attorno alla testa delle quattro viti per ottenere le diagonali (l’elastico deve essere ben teso).

  • Inserire consecutivamente nei quattro fori situati al centro delle asticciole un filo elastico di un altro colore e annodarne i capi. Per ottenere la figura inscritta (anche in questo caso il filo deve essere ben teso).

  • Si può infine collegare, con un filo, i punti medi dei lati opposti in modo da visualizzare le mediane.


Modello diagonali scanalate

  • Praticare al centro dei due listelli, di compensato o di cartone rigido, una scanalature di circa 2 mm fino a 2 cm dal bordo e forare i due estremi a circa 1 cm dal bordo. (fig. a)

  • Incrociare le due asticciole e collegarle con la vite inserita fra le due scanalature.

  • Far passare un filo elastico consecutivamente nei fori delle asticciole e annodarne i capi

(Quando le due asticciole sono sovrapposte l’elastico deve essere ben teso).

a b c


Il modello può essere costruito con diagonali congruenti (fig. b), o non congruenti (fig. c).


1 Docente di Scienze Matematiche presso I.C. “A.Gandiglio”, Fano (PU) – sezione Scuola Secondaria di primo grado

2 Insegnante di Scuola Secondaria di Primo Grado, Presidente Sezione Mathesis – Pesaro – email: janna.nardi @ libero.it

3 Docente di Scuola primaria presso I.C. “A.Gandiglio”, Fano (PU)




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