Università di Tieste — Facoltà d'Ingegneria. Lauree in ingegneria industriale presso la sede di Pordenone



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Università di Tieste — Facoltà d'Ingegneria.

Lauree in ingegneria industriale presso la sede di Pordenone

Corso di Analisi Matematica 2



Serie di funzioni e serie di potenze. Successioni di funzioni. Convergenza puntuale e convergenza

uniforme. La convergenza uniforme implica la convergenza puntuale (non viceversa). Limite uniforme

di una successione di funzioni continue, integrabili, derivabili. Serie di funzioni. Serie puntualmente e

uniformemente convergenti. Serie totalmente convergenti. La convergenza totale implica la convergenza

uniforme. Il problema della sviluppabilità. Funzioni sviluppagli in serie di potenze di centro XQ e funzioni

sviluppabili in serie di Fourier. Serie di potenze. Insieme di convergenza di una serie di potenze. Proprietà

dell'insieme di convergenza di una serie di potenze. Raggio di convergenza. Derivazione e integrazione a

termine a termine di una serie di potenze. Calcolo della somma di una serie usando manipolazioni della serie

geometrica. Funzioni analitiche. Coefficienti della serie di una funzione analitica. Serie di Taylor di una

funzione di classe C°° (I). Un esempio di funzione non sviluppabile in serie di potenze che ammette una serie

di Taylor convergente. Teorema di sviluppabilità (condizione necessaria e sufficiente per la sviluppabilità in

serie di Taylor di una funzione). Criteri di sviluppabilità. Esempi notevoli: esponenziale, funzioni circolari,

funzioni iperboliche, serie binomiale, logaritmo, funzioni circolari inverse. Determinazione numerica di log(y)

per ogni y e H+ usando la funzione omografica y = j^f. Esponenziale complesso e formula di Eulero.



Spazi metrici e spazi euclidei. Punti e vettori di ~5RN. Prodotto scalare e norma in ]R,N e loro

principali proprietà. Disuguaglianza di Cauchy-Schwarz. Rette e curve di IR2 e di IR3; equazione cartesiana in

forma implicita ed esplicita, equazione parametrica. Equazione parametrica di un segmento congiungente due

punti. Piani e superfici di IR3; equazione cartesiana in forma implicita ed esplicita, equazione parametrica.

Equazione parametrica della sfera.

Nozione astratta di distanza. Spazi metrici. Esempi. La distanza euclidea in ÌRN. Diverse metriche

in HN. Spazi di funzioni. La distanza del sup e le distanze integrali (scarto medio e scarto quadratico

medio) nello spazio C([a,b]). Topologia in uno spazio metrico: palla aperta di centro XQ e raggio p, intorni

di un punto, punti interni, punti isolati, insiemi aperti, insiemi chiusi, punti di accumulazione, chiusura di

un insieme, punti di frontiera. Limite di una successione in uno spazio metrico. Funzioni tra spazi metrici.

Funzioni continue. Componenti di una funzione a valori vettoriali. Teorema sul limite delle funzioni componenti.

Insiemi limitati in uno spazio metrico. Insiemi compatti per successioni. Caratterizzazione degli

insiemi compatti per successioni di TRN. Esempi di insiemi chiusi e limitati non compatti in uno spazio

metrico. Insiemi connessi per archi. Teorema dell'unicità del limite. Teorema sul limite della restrizione.

Tecniche per controllare la non esistenza del limite per x che tende a x° di una funzione. Teorema di limitatezza

locale. Teorema sul limite di una combinazione lineare. Teorema sul limite delle funzioni composte.

Teorema di compattezza (per successioni). Teorema di Weierstrass. Teorema di connessione. Teorema della

permanenza del segno. Teorema sul limite della funzione prodotto e della funzione reciproca. Rappresentazioni

grafiche dei campi scalari, e dei campi vettoriali. Insiemi, linee e superfici di livello di un campo

scalare.


Calcolo differenziale in IR^. Derivate direzionali e derivate parziali. Funzioni derivabili. La derivabilità

non implica la continuità. Approssimante lineare. Funzioni differenziabili. Differenziale. La matrice

associata al differenziale rispetto alla base canonica. Continuità e derivabilità delle funzioni differenziabili.

Derivata direzionale di una funzione differenziabile. Gradiente di un campo scalare. Matrice Jacobiana di

un campo vettoriale. Determinante Jacobiano. Coordinate polari e coordinate sferiche. Interpretazione geometrica

della differenziabilità per un campo scalare di IR2, piano tangente. Teorema del differenziale totale.

Teorema di differenziabilità della combinazione lineare, del prodotto, della funzione composta. Derivate

parziali delle funzioni composte. Il caso particolare in cui la funzione composta è reale di variabile reale.

Proprietà geometriche del vettore gradiente. Direzione di massima rapidità di variazione. Ortogonalità con

gli insiemi di livello. Formula del valor medio per i campi scalari. Funzioni con derivate mille sugli aperti

connessi per archi. Forme quadratiche e matrice associata. Forme quadratiche definite positive, definite negative,

indefinite. Derivate direzionali e derivate parziali successive. Matrice Hessiana di un campo scalare.

Funzioni due volte differenziabili in un punto. Differenziale secondo di una funzione in un punto. Il differenziale

secondo come forma quadratica associata alla matrice Hessiana. Derivate direzionali seconde di

una funzione due volte differenziabile. Teoremi di Young (solo enunciato) e di Schwarz (con dimostrazione)

sull'inversione dell'ordine di derivazione. Teorema di esistenza dell'approssimante di ordine 2 di una funzione

in un punto (polinomio di Taylor). Punti estremali per una funzione. Punti di minimo/massimo relativi e

punti di sella. Punti critici. Test del gradiente (teorema di Fermat). Test del differenziale secondo per la

classificazione dei punti critici. Criterio (di Jacobi-Sylvester) per stabilire la segnatura di una forma quadratica

generata da una matrice simmetrica di ordine 2 e 3. Vincoli in ffi^. Vincoli espliciti e vincoli impliciti

in M2 e M3. Problemi di massimo e minimo vincolato.

Curve di JR^ e superflci di IR3; parte prima. Curve parametrizzate in 1RN. Parametrizzazione e

sostegno di una curva. Curve equivalenti. Orientazione di curve equivalenti. Curve semplici, chiuse, regolari.

Vettore tangente. Equazione della retta tangente una curva regolare in un punto. Curve rappresentate con

equazione cartesiana in IR2. Il teorema della funzione implicita in dimensione 2. Parametrizzabilità locale

di una curva. Il metodo dei moltiplicatori di Lagrange per la determinazione dei punti di estremo vincolato:

caso della curva in M2. Superfici parametrizzate in IR3. Parametrizzazione e sostegno di una superficie.

Superfici equivalenti. Il nastro di Mòbius come esempio di superficie non orientabile. Linee coordinate sulla

superficie (meridiani e paralleli della sfera). Superficie regolare, piano tangente, vettore normale. Superfici

rappresentate di forma cartesiana. Parametrizzabilità locale di una superficie. Il metodo dei moltiplicatori

di Lagrange per la determinazione dei punti di estremo vincolato: caso della superficie in M3. Il metodo dei

moltiplicatori di Lagrange per la determinazione dei punti di estremo vincolato: caso della curva in M3.

Calcolo integrale in IR^. N—Rettangoli e decomposizioni di IR^. Relazione di finezza tra decomposizioni.

Somme integrali inferiori e superiori e loro proprietà. Funzioni integrabili secondo Riemann su un

rettangolo. Interpretazione geometrica dell'integrale in H2. Proprietà fondamentali dell'integrale: integrabilità

della somma e linearità dell'integrale, integrabilità del prodotto, monotonia dell'integrale, integrabilità

del valore assoluto, integrabilità della restrizione, additività dell'integrale, teorema della media integrale.

Funzione caratteristica XE- Insiemi misurabili e misura di un insieme. Esempio di un insieme non misurabile.

Teoremi di riduzione (di Fubini) per integrali doppi sui rettangoli (con dimostrazione) e per integrali

tripli sui 3—rettangoli di IR3 (solo enunciati): formule di riduzione per corde e per sezioni. Teorema di integrabilità

delle funzione continue sui rettangoli. Integrali su insiemi limitati. L'integrale su R della funzione

/^ associata ad / : E —» IR non dipende dal rettangolo R che contiene l'insieme E. Insiemi misurabili.

Insiemi trascurabili. I grafici delle funzioni integrabili sono trascurabili. Teorema di caratterizzazione degli

insiemi misurabili. Integrabilità delle funzioni limitate quasi ovunque continue su un rettangolo. Integrabilità

delle funzioni limitate quasi ovunque continue su un insieme misurabile. Insiemi di M2 normali rispetto

ad un asse e insiemi di IR3 normali rispetto ad un piano. Integrali su insiemi normali di M2. Teorema di

riduzione per corde su insiemi normali di IR3. Sezione di un insieme di M3. Insiemi sezionabili di IR3.

Teorema di riduzione per sezioni su insiemi sezionabili di IR3. Il volume del cono. Applicazioni geometriche

e fisiche: volume e massa di solidi in IR3, centro di massa, momenti di inerzia. Sostituzione di variabili negli

integrali multipli. Teorema del cambio di variabili negli integrali multipli (solo enunciato). Le trasformazioni

lineari, l'area di un parallelogramma ed il determinante della matrice associata; giustificazione informale

della formula del cambio di variabili. Integrazione in coordinate polari. Integrazione in coordinate sferiche.

Coordinate ellittiche in H2 ed ellissoidali in M3. Coordinate cilindriche in IR3. Il cono, il cilindro, la sfera,

l'ellissoide, il toro. Solidi di rotazione. Il teorema di Pappo-Guldino per i volumi. Integrali generalizzati in

IR^. Insiemi localmente misurabili. Famiglie invadenti di un insieme. Integrale generalizzato di Riemann di

una funzione definita su un insieme di JR,N. Il calcolo dell'integrale /R e~x dx.



Curve di IR^ e superfici di M3; parte seconda. Integrale di funzioni vettoriali. Il teorema sulla

norma dell'integrale (solo enunciato). Curve continue rettificabili. Teorema sulla rettificabilità di una curva

di classe C1. La lunghezza di una curva non dipende dalla particolare parametrizzazione. Ascissa curvilinea.

Il vettore tangente nella parametrizzazione d'arco è unitario. Integrale di linea di un campo scalare. Massa,

baricentro e momento di inerzia di un filo. Curve in forma polare, rappresentazione polare. Formula della

lunghezza per una curva in rappresentazione polare. Area di una superficie parametrizzata. Integrale di

superficie di un campo scalare. Superficie che ha per sostegno il grafico di una funzione reale di due variabili

reali. Superficie cilindrica e significato geometrico dell'integrale di linea su una curva piana. Superficie di

rotazione. Il teorema di Pappo-Guldino per le aree.

Campi vettoriali. Integrali di linea e campi vettoriali. Lavoro di un campo vettoriale lungo una curva.

Indipendenza dalla parametrizzazione equivalente che conserva il verso. Campi conservativi. Il potenziale

di un campo. Teorema di caratterizzazione dei campi conservativi. Il rotore di un campo in IR3 e in IR2.

Insiemi semplicemente connessi. Il lemma di Poincaré. Campi irrotazionali. La formula di Gauss-Green.

Applicazione al calcolo delle aree. Flusso di un campo vettoriale di IR2 attraverso una curva e di un campo

di M3 attraverso una superficie. Divergenza di un campo vettoriale di JRN. Il teorema della divergenza

di Gauss in IR2 e in H3. Il teorema di Stokes in ]R3. Gradiente, divergenza e rotore come operatori

differenziali. Il laplaciano. Interpretazione fisica di divergenza e rotore. Leggi espresse in forma integrale e

in forma differenziale.

Equazioni differenziali. Motivazioni, esempi e generalità. Dinamica di una popolazione. Il modello

di Malthus e il modello di Verhulst. Equazioni ordinarie ed equazioni alle derivate parziali. Ordine

di un'equazione, equazioni autonome, equazioni in forma normale. ODE del primo ordine. Soluzione di

un'ODE. Problema di Cauchy. Alcuni problemi fondamentali nello studio di un'equazione: esistenza, unicità,

dipendenza continua, stabilità. Teorema di Peano di esistenza della soluzione di un problema di Cauchy

del primo ordine (solo enunciato). Funzioni Lipschitziane. Teorema di esistenza e unicità locale della

soluzione di un problema di Cauchy del primo ordine (con dimostrazione). Equazioni a variabili separate.

Equazioni riconducibili ad un'equazione a variabili separate mediante sostituzione della variabile. ODE lineari

di ordine 1. Equazione omogenea ed equazione completa. L'operatore differenziale L : Cl(I) —> C°(I).

Lo spazio delle soluzioni dell'equazione lineare omogenea. Insieme delle soluzioni dell'equazione lineare

completa. Procedimento per la risoluzione di un problema lineare. Metodo della variazione della costante

per la determinazione di una soluzione particolare di un'equazione differenziale ordinaria lineare completa del

primo ordine. Formula risolutiva per le equazioni differenziali ordinarie lineari del primo ordine. Principio di

sovrapposizione. Equazioni di Bernoulli. Problema linearizzato. Cenno ai sistemi lineari. ODE e problema di

Cauchy di ordine n. Legame tra un'equazione scalare di ordine n e il sistema del primo ordine di dimensione

n corrispondente. Equazioni lineari di ordine n. L'operatore differenziale L : Cn(I) —> C°(I). Lo spazio delle

soluzioni dell'equazione lineare omogenea. Insieme delle soluzioni dell'equazione lineare completa. Metodo

della variazione delle costanti per la determinazione di una soluzione particolare di un'equazione differenziale

ordinaria lineare completa di ordine n. Matrice Wronskiana. ODE lineari a coefficienti costanti di ordine n.

Determinazione di una base per lo spazio delle soluzioni dell'equazione omogenea. Metodo di somiglianzà

per la determinazione di una soluzione particolare per equazioni lineari a coefficienti costanti in caso di

particolari termini noti. Equazioni del secondo ordine del tipo y" = f(y) e y" = f ( x , y ' ) . Risoluzioni di

sistemi lineari mediante derivazione. Equazioni di Eulero.



Testi consigliati P. Omari, M. Trombetta, Appunti del corso di analisi matematica 2 (per il diploma

universitario), Università degli Studi di Trieste, Facoltà di Ingegneria. (Chiedere al docente). V. Barutello,

M. Conti. D. Ferrario, S. Terracini, G. Verzini, Analisi matematica (con elementi di geometria e calcolo



vettoriale) Volume 2, Apogeo. M. Bramanti, C. D. Pagani, S. Salsa, Analisi matematica 2, Zanichelli.




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