Vorrei comprendere meglio IL concetto di impedenza tissutale elettrica da noi studiato in fisica medica



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Fisica Medica 2007/8

IMPEDENZA TISSUTALE



Vorrei comprendere meglio il concetto di impedenza tissutale elettrica da noi studiato in fisica medica. In particolare vorrei capire perché un tessuto in risonanza abbia un impedenza in cui la componente reattiva si annulla. Vi ringrazio.

Come noto un campione di materiale può essere caratterizzato dal punto di vista elettrico valutandone il comportamento che assume quando ad esso è applicata, tramite elettrodi, una tensione elettrica. A seconda delle proprietà conduttrici del materiale, l'entità del flusso di corrente elettrica provocata all'interno del campione dalla tensione applicata assume valori molto diversi. Nel caso semplice di sollecitazione in tensione di valore costante (regime continuo) il parametro che descrive l'entità della corrente è la resistenza elettrica (simbolo convenzionale R).

Qualora la tensione elettrica non abbia valore costante ma variabile nel tempo con andamento periodico sinusoidale, la corrente che si sviluppa risulta avere (salvo rari casi) anch'essa andamento sinusoidale con lo stesso periodo o, equivalentemente, la stessa frequenza di oscillazione. In questo caso, tuttavia, la corrente elettrica è caratterizzata da due grandezze anziché una:

- l'ampiezza, che descrive il valore massimo dell'oscillazione di corrente;

- la fase relativa, ovvero il ritardo temporale (o l'anticipo!) che l'onda sinusoidale di corrente assume rispetto all'onda sinusoidale di tensione.

Queste informazioni sono riassunte dalla grandezza impedenza elettrica (simbolo convenzionale Z) che rappresenta l'estensione formale della resistenza nel caso, peraltro molto frequente, di regime sinusoidale. È fondamentale ricordare qui che l'impedenza è rappresentabile da un numero complesso la cui parte immaginaria dipende dalla frequenza (f) dell'onda di tensione sollecitante.

Ovviamente anche una sostanza organica, quale una fibra o un tessuto, può essere caratterizzata dal punto di vista elettrico; si parla, pertanto, di impedenza tissutale.

L'effetto di risonanza può essere illustrato facendo riferimento alla rappresentazione schematica di un campione di materiale in Figura 1.

Figura 1 - Semplice esempio di circuito risonante sollecitato dalla tensione sinusoidale V. In evidenza anche le cadute di potenziale sui singoli elementi.

La resistenza R coincide, per basse frequenze, al valore di resistenza in regime continuo, la capacità C riassume gli effetti di accumulo di carica elettrica sul tessuto mentre l'induttanza L descrive gli effetti magnetici dovuti alla corrente variabile. La rappresentazione di Figura 1 è puramente astratta, nel senso che non è banale associarvi porzioni di tessuto né valutare il valore dei parametri necessari per analizzare a livello quantitativo il fenomeno.

Per la rete generale di Figura 1 l'impedenza complessiva vale:



dove il termine 2πfL prende il nome di reattanza induttiva (XL) e 1/(2πfC) si dice reattanza capacitiva (XC). Osservando la (1) si nota che esiste un particolare valore della frequenza f per la quale la componente induttiva bilancia la componente capacitiva annullando la parte immaginaria dell'impedenza. Dal punto di vista intuitivo si può interpretare il fenomeno considerando che il ritardo dell'onda di corrente rispetto all'onda di tensione provocato dagli effetti induttivi (L) sia perfettamente compensato dall'anticipo tra le onde stesse provocato dagli effetti capacitivi (C). In effetti capacità e induttanze rappresentano fenomeni descritti dalle equazioni di Maxwell dell'elettromagnetismo e rispecchiano la rispettiva dualità tra campo elettrico e magnetico.

In queste condizioni, di risonanza appunto (in particolare risonanza "serie"), l'impedenza è una grandezza puramente reale e coincide con la resistenza R; ciò significa che la corrente elettrica ha sfasamento (cioè differenza di fase ovvero ritardo) nullo rispetto alla tensione (le onde si dicono appunto "in fase"). Per la legge di Ohm la corrente ha ampiezza massima:

indipendente dai valori di L e C.

Ancora dalla (1) risulta molto semplice valutare la frequenza alla quale si manifesta la risonanza. Infatti, affinché si annulli la componente immaginaria dell'impedenza deve essere:

da cui:


Si osservi che tale frequenza dipende esclusivamente dalle componenti reattive L e C ma non dalla resistenza R che interviene, d'altra parte, quale unico parametro per la definizione dell'ampiezza della corrente alla risonanza, vedi (2).

Come curiosità si osservi che la tensione ai capi della resistenza ha ampiezza massima VR,MAX=IMAX*R=VMAX, cioè pari all'ampiezza massima della tensione applicata ai capi dell'intera rete mentre le tensioni massime ai capi della capacità C e dell'induttanza L sono rispettivamente:

Si osservi inoltre che per valori di induttanza elevati e capacità piccole le tensioni VC,MAX e VL,MAX possono superare l'ampiezza massima della tensione applicata (VMAX); questo risultato, apparentemente sorprendente, è dovuto ad uno scambio reciproco di energia tra condensatore ed induttanza che non coinvolge la sorgente esterna. In condizioni di risonanza lo scambio è massimo perché l'energia elettrica immagazzinata nel condensatore C è in opposizione di fase all'energia magnetica contenuta nell'induttore L: quando uno dei due acquista energia l'altro la cede. Pertanto, le tensioni VC,MAX e VL,MAX, alla risonanza, hanno uguale ampiezza (basta sostituire la (3) nelle espressioni appena trovate) ma verso, istante per istante, opposto: nella somma, vedi Figura 1, tutta la differenza di potenziale V è sostenuta dalla resistenza.

In Figura 2 è riportata un esempio di impedenza al variare della frequenza: sono evidenziati modulo (Figura 2a) e fase (Figura 2b) della grandezza completa Z. Si osservi che, come dimostrato, per f=fo (risonanza) l'impedenza è minima in modulo (L e C non giocano più nessun ruolo) e il ritardo di fase è nullo.


Le applicazioni della risonanza sono svariate in tutti i campi dell'ingegneria e della fisica; in particolare, in ambito medico, si rivela utile lo studio dell'impedenza tissutale allo scopo di evidenziare anomalie del tessuto organico, indice di eventuali disfunzioni o patologie.









APPLICAZIONE



Indicazioni e limiti della Radiofrequenza in dermatologia




 

La Radiofrequenza (RF) rappresenta una recente ed interessante metodica nel trattamento di alcuni inestetismi quali l’adiposità localizzata, la panniculopatia edemato-fibro-sclerotica (P.E.F.S.), meglio conosciuta con il nome di “cellulite”, l’invecchiamento cutaneo e le teleangiectasie. L’apparecchiatura consta di un generatore di corrente alternata ad alta frequenza, di manipoli con caratteristiche diverse in funzione delle patologie da trattare e forniti di un intrinseco sistema di raffreddamento essenziale per evitare il surriscaldamento dell’epidermide. Il principio su cui si basa questa metodica consiste nel riscaldamento controllato del tessuto, derma o sottocute, mediante l’induzione di un campo elettromagnetico che determina nel tessuto interessato una complessa e variegata risposta in funzione della modalità applicativa prescelta. La RF permette di trasmettere, in maniera controllata, calore ai tessuti sottostanti molto più in profondità di qualsiasi altro sistema ed in particolare della metodica laser. Il manipolo bipolare presenta al suo interno due elettrodi (+/-) che eccitati generano un campo elettromagnetico con una profondità di circa 3-6 mm. L’utilizzo bipolare è peculiare per il trattamento dell’invecchiamento del viso, collo e decolleté. Può essere usato da solo o meglio abbinato a sorgente laser anche per il trattamento delle teleangiectasie. Il manipolo monoplare è costituito da un unico elettrodo che genera, sempre attraverso la costituzione di un campo elettromagnetico, un riscaldamento controllato molto più profondo che nella modalità bipolare, arrivando sino a 4-6 cm di profondità. L’intensità del riscaldamento è in funzione della conducibilità tissutale ed in particolare modo della resistenza che ogni specifico tessuto oppone a farsi attraversare da una corrente elettrica. Questa resistenza, chiamata impedenza, varia notevolmente in funzione delle peculiarità del tessuto da trattare. Ad esempio, il sangue offre un’impedenza certamente maggiore al grasso, la cute disidratata si lascia più facilmente attraversare rispetto ad una cute ben idratata. Questi concetti fisici sono basilari per l’applicazione pratica di questa metodica, che deve essere quindi personalizzata per ogni paziente e distretto. In modalità bipolare, come innanzi accennato, la RF è particolarmente indicata nel trattamento dell’invec-chiamento cutaneo sia cronologico sia fotoindotto. In particolare agisce sul trofismo del tessuto cutaneo migliorandone anche il tono. Il campo elettromagnetico indotto dal manipolo, con il conseguente rialzo termico del derma, induce una intensa stimolazione dei fibroblasti cui consegue la liberazione di sostanze vasoattive che riattivano il microcircolo ed una contestuale fibrillopoiesi e collagenogenesi che giustifica l’effettivo miglioramento dell’obiettività clinica. In eguale misura si osserva un ricompattamento del collageno preesistente che si dispone in maniera più ordinata sui piani spaziali. Non c’è necessità di anestesia ed il paziente, terminata la seduta, può tranquillamente riprendere la sua quotidianità e può truccarsi, se lo vuole. In modalità unipolare la RF è particolarmente indicata nel trattamento della adiposità localizzata e di quella condizione clinica identificata con l’acronimo di P.E.F.S., meglio conosciuta dall’utenza con il termine di “cellulite”. E’ bene precisare con i risultati migliori si hanno nel trattamento dell’adiposità localizzata in virtù dell’assenza delle anomalie anatomico-strutturali presenti nella P.E.F.S. responsabili di una maggiore resistenza del tessuto a farsi attraversare dall’impulso elettrico. La modalità utilizzata in entrambi i casi è quella monopolare. In questo caso, il campo elettromagnetico indotto dal manipolo, determina un riscaldamento termico del tessuto in profondità(4-6 cm) con duplice azione: 1- intensa attivazione del microcircolo con associato migliorato drenaggio (qualora trattasi di cellulite), 2- alterazione della carica elettrica citoplasmatica adipocitaria con conseguente attività lipolitica. La metodica non è invasiva ed è praticamente indolore, considerato che il paziente percepisce soltanto una sensazione di calore più o meno intensa secondo l'individuale sensibilità ed i parametri operativi utilizzati. E’ bene ricordare che i miglioramenti, già riscontrabili dopo le prime sedute, si stabilizzano ulteriormente nel prosieguo e sono decisamente più eclatanti se si abbina un’adeguata attività motoria ed igiene alimentare. Particolarmente interessante è l’utilizzo della RF nel trattamento delle teleangiectasie. In questo caso spesso viene associata con sorgenti laser il cui spot viene preceduto da un’emissione di RF che ne potenzia l’effetto, preriscaldando il “target”. I campi di utilizzo innanzi descritti meritano comunque un’attenta valutazione anche istologica, carenza questa frequente in campo dermoestetico. L’autore pertanto propone un’ampia carrellata di quadri clinici che attestano l’efficacia di questa nuova offerta terapeutica pur evidenziandone i limiti e le precise modalità d’uso


DESCRIZIONE DELL'UTILIZZO

1

Porre il soggetto in posizione orizzontale, con le gambe e le braccia leggermente divaricate per 5 minuti, onde permettere un'omogenea distribuzione dei fluidi corporei.



Non è richiesta alcuna preparazione del soggetto

2

Applicare i 4 elettrodi adesivi. Applicare le 4 pinzette ai relativi elettrodi (2 pinzette nere e 2 pinzette rosse) come mostrato in figura.



3

Accendere lo strumento e leggere i valori di Massa cellulare, Acqua extracellulare, Metabolismo basale e Angolo di fase espresso in gradi (indice della qualità cellulare) che compaiono sul display.

 

MODALITA' STA



 

 

PER USARE STA NELLA MODALITA' BIA SI EFFETTUANO COMUNQUE LE AZIONI DESCRITTE AI PUNTI 1 E 2 SALVO POI LEGGERE SUL DISPLAY I VALORI DI RESISTENZA E REATTANZA.

4

Inserire i valori di Resistenza e Reattanza mostrati dallo strumento nel software in dotazione. Per ogni soggetto viene creata una scheda nella quale trovano posto i dati antropometrici e le varie analisi effettuate che consentono di monitorare le condizioni del soggetto nel tempo. 

 





5

Il software elabora i dati fornendo un rapporto dettagliato del soggetto in termini quantitativi. Esso mostra tutti i parametri misurati dal BIA-101 nell’unità di misura (kg, Lt o Kcal) e in percentuale. In questo caso siamo di fronte ad un soggetto che ha una massa grassa del 17,3% ed una massa muscolare di 57,4 kg su un peso complessivo di 88 kg. L’angolo di fase di 9,1 denota un’elevata vitalità. Il metabolismo basale viene misurato in 2404 Kcal.

 

 

 





6

Consultare i valori di riferimento presenti a video per identificare l’eventuale scostamento dalla norma dei parametri misurati.

 



7

Attivare il grafico Biavector. Questo strumento grafico, Clinicamente validato, permette di individuare lo stato del soggetto riuscendo a discriminare tra buona e cattiva nutrizione, l’obeso dall’atleta, il magro dal cachettico o dall’anoressica, misurare l’idratazione e segnalare l’eventuale catabolismo muscolare.

In questo caso viene esaminato un soggetto che non riusciva ad incrementare la propria massa muscolare a causa di uno stato catabolico causato da cattiva alimentazione ed eccessivo allenamento.



Prima misurazione

Catabolismo muscolare causato da stress e cattiva alimentazione



BiaVector® Clinicamente validato

Seconda misurazione (3 mesi dopo)

Migliorato l’apporto nutrizionale e

 ottimizzato l’allenamento



Aumento ponderale di kg 0,5

La massa cellulare è aumentata di kg. 2,3

La Massa grassa è diminuita di kg 1,8.

Aumentato il metabolismo basale in seguito all’aumento di massa cellulare.


8

Stampare il rapporto d’analisi che riporta il nome dello Studio e del Centro Sportivo assieme ai dati del soggetto e agli eventuali grafici selezionati. 




9

Grazie ai valori misurati dai nostri Bioanalizzatori è subito possibile decidere gli opportuni interventi  dietetici, farmacologici o motori che potranno essere monitorati nel tempo.

Tutorial di matematica

Potenze, radici, logaritmi

01 - Potenze.

Con i numeri reali si possono fare le quattro usuali operazioni + - · / . 

Con i numeri reali si possono fare anche le potenze che, però, con costituiscono una nuova operazione.
Si tratta in effetti di una sequenza di moltiplicazioni

La potenze sono molto utili perché con esse è possibile mettere in forma abbreviata e compatta numeri 


anche molto grandi e perché soddisfano importanti ed utili proprietà.

Per esempio, la distanza terra-sole è di  150.000.000 km . Questo numero può essere scritto come:

        km

oppure, come si usa nella notazione scientifica (la stessa delle calcolatrici elettroniche) :

          km .

Ancora, la terra dista da Alpha Centauri  40.000.000.000.000 km . Usando le potenze si ha :

        km .

Il vantaggio di usare le potenze (specialmente quelle a base  10 ) è innegabile !

Una potenza, quindi è un "oggetto" matematico in cui un numero funge da base ed un altro da esponente :

       

La definizione di potenza è la seguente :

        la potenza è il prodotto di fattori uguali alla base tante volte quanto indicato dall'esponente.

Per esempio :

        .

Si noti che  per cui l'operazione di elevamento a potenza non è commutativa rispetto allo scambio 
fra base ed esponente.

La potenza ammette due tipi diversi di operazione inversa : la radice ed il logaritmo.

Usando le lettere invece dei numeri, cosa molto comoda in matematica perché ci permette di ottenere 
formule generali valide per tutti i numeri, la definizione di potenza vale :

       

dove la moltiplicazione è effettuata  n  volte. 

Si noti che  n  deve essere un numero intero maggiore di  1 . Questa precisazione è necessaria perché 


per avere un prodotto occorrono almeno due fattori. Vedremo più avanti come sia possibile definire 
potenze con esponente  1 , 0 o addirittura negativo e frazionario. 

Se la base è  10 , si ha la semplice regola che il numero che si ottiene è formato da  1  seguito da un numero 


di  0  pari all'esponente. Esempi : 

        .



02 - Proprietà delle potenze.

Le potenze soddisfano le seguenti fondamentali proprietà :

        - 1 -    il prodotto di due potenze di ugual base è uguale ad una potenza che ha per base la stessa 
                   base e per esponente la somma degli esponenti :

                            .

                   Esempio :

                            .

        - 2 -    il quoziente di due potenze di ugual base è uguale ad una potenza che ha per base la stessa 
                   base e per esponente la differenza degli esponenti :

                            .

                   Esempio :

                              .

        - 3 -    la potenza di una potenza è uguale ad una potenza di ugual base elevata ad un esponente 
                   uguale al prodotto degli esponenti :

                            .

                   Esempio :

                            .



03 - Esponenti ... particolari.

Nella definizione di potenza abbiamo posto la condizione che l'esponente debba essere maggiore di 1


quindi possa prendere i valori 2, 3, 4 ...

Cosa succede se immaginiamo di elevare una base ad un esponente uguale a  1 , a  0  o addirittura ad 


un numero negativo (per gli esponenti frazionari vedi più avanti) ?

Secondo la definizione di potenza data in precedenza, queste operazioni sarebbero impossibili. E' però


possibile una loro definizione estendendo il concetto di potenza, considerandola in senso più generalizzato

Queste operazioni sono allora possibili (sotto certe condizioni) e la loro definizione è tale da "salvare" le 


proprietà delle potenze. Useremo allora le proprietà delle potenze per definire questi nuove operazioni.

Vediamo in dettaglio :

        - 1 -    esponente uguale a  1 :

                   Consideriamo la divisione  10 ³ / 10 ² = 1000 / 100 = 10 . 

                   Utilizzando le proprietà delle potenze il risultato sarebbe  .

                   Non abbiamo ancora definito 

                   Se definiamo , la seconda proprietà delle potenze rimane valida.

                   Generalizzando questo risultato a tutti i numeri, possiamo scrivere :

                            .

        - 2 -    esponente uguale a  0 :

                   Consideriamo la divisione  10 ² / 10 ² = 100 / 100 = 1 . 

                   Utilizzando le proprietà delle potenze il risultato sarebbe  .

                   Non abbiamo ancora definito  .

                   Se definiamo  , la seconda proprietà delle potenze rimane valida.

                   Generalizzando questo risultato a tutti i numeri, possiamo scrivere :

                            .

                   Si noti che si deve porre la condizione    perché non si può dividere per zero.

        - 3 -    esponente negativo :

                   Consideriamo la divisione 

                   Utilizzando le proprietà delle potenze il risultato sarebbe  .

                   Non abbiamo ancora definito  .

                   Se definiamo  , la seconda proprietà delle potenze rimane valida.

                   Generalizzando questo risultato a tutti i numeri, possiamo scrivere :

                            .

                   Si noti che si deve porre la condizione    perché non si può dividere per zero.

04 - Potenze a base  2 .

Oltre alle potenze a base  10 , rivestono un ruolo molto importante quelle a base  2 .

L'aritmetica con cui "funzionano" i computers è a base  2 !! Le informazioni (numeri, parole ecc .) che 
vengono elaborate o memorizzate in un computer sono codificate come sequenze di bit.  Un bit (binary 
digit) è la più piccola unità di informazione e può prendere i valori :  0  oppure  1 .

Un byte è una sequenza di  2 ³ = 8 bit . Per esempio :

    00110101

è il possibile contenuto di un byte.

Il Kb (chilobyte) corrisponde a  bytes, cioè 1024 bytes (non  1000  come erroneamente molti 
pensano !).

Il Mb (megabyte) corrisponde a  Kb .

Il Gb (gigabyte) corrisponde a  Mb .

Lasciamo al lettore il semplice calcolo di quanti bit è formato il  Kb , il  Mb  ed il  Gb .



05 - Radici.

Consideriamo la potenza  5 ³ = 125  . Possiamo allora definire l' "operazione" di radice a indice 3 (o radice 


terza) :

       

(dove il numero in alto a sinistra è l' indice mentre il numero sotto radice si chiama radicando), che ha 
come risultato quel numero che elevato all'indice dà il radicando. Infatti  5  elevato alla  3  dà  125 .

In questo caso, siccome l'indice è  3 , la radice si chiama anche radice cubica.

Se l'indice è  2 , la radice si chiama comunemente radice quadrata e, nello scriverla, si omette l'indice :

        .

La radice ad indice  1  è ovviamente il numero stesso, per cui :

       

perché  5 ¹  dà  5 .

La definizione di radice è allora :



         Una radice secondo un certo indice di un numero dato è quel numero che elevato all'indice 
         dà il numero dato. 

Le radici degli esempi precedenti hanno come risultato numeri naturali. Questo non è però il caso generale. 


In generale una radice fornisce come risultato un numero irrazionale (numeri con infiniti decimali non 
periodici).

Esempi :


       

La radice è l'operazione inversa della potenza perché si ha sempre :

       

dove  A  è qualunque numero su cui si può estrarre la radice ed  n  è qualunque indice ( 1 , 2 , 3 , ... ).



06 - Logaritmi.

Esiste un altro modo di definire l'operazione inversa dell'elevamento a potenza : il logaritmo.

Consideriamo ancora la potenza  5 ³ = 125 . Chiediamoci : qual'è il numero per cui elevare la base
5  per ottenere  125 ? Ovviamente questo numero è  3 .

Abbiamo così definito il concetto di logaritmo. Scriviamo allora :

         

dove il numero  5  scritto in basso a destra del simbolo  log  si chiama base ed il numero di cui si 


fa il logaritmo si chiama argomento.

La definizione di logaritmo è allora :



         Il logaritmo di un numero secondo una certa base è quel numero per cui si deve elevare 
         quella  base per ottenere il numero dato.

Esempi :


                perché  10 ¹ = 10
             perché  10 ² = 100
           perché  10 ³ = 1000 .

Il calcolo del logaritmo non conduce sempre ad un risultato "semplice", come negli esempi dati. Per esempio :

         

dove il risultato, essendo  11   compreso fra  10 e  100 , è compreso fra  1  e  2  ed è un numero irrazionale.

Si può fare , ovviamente, il logaritmo di un numero reale qualunque (sotto certe condizioni che vedremo 
in seguito). Per esempio :

        .

E' molto importante notare che :

          perché  10 ° = 1


           perché  5 ° = 1 .

Quindi, il logaritmo di  1  è sempre  0 , qualunque base (permessa) si scelga.

Si noti anche che :

          perché  .

Si noti infine l'importantissimo caso :

        .

Non esiste nessun numero per cui elevare la base  10  in modo che il risultato sia  0 !!!  

Siamo arrivati all'importantissimo risultato che il logaritmo di  0  (fatto rispetto ad ogni base) non esiste.

I logaritmi si possono fare rispetto a basi qualsiasi (sotto particolari condizioni). Quelli più usati sono i
logaritmi a base  10 , i cosiddetti logaritmi decimali. Molto usati sono anche i logaritmi a base  2 .

Vi sono poi i logaritmi naturali o neperiani in cui la base è il  numero  e  = 2,718 ... , il cosiddetto 


numero di Nepero (John Napier, inglese, 1550 - 1617), che è un numero irrazionale di enorme 
importanza in matematica. 

Ritorneremo su questo numero e sulle sue proprietà in seguito. 

I logaritmi naturali si indicano usualmente con la semplice sigla  ln . Per esempio :

       



07 - Cenni sulla storia del logaritmo.

Il concetto di logaritmo risale a Nepero (John Napier, teologo scozzese 1550-1617).

Il matematico inglese Henry Briggs (1556-1630) perfezionò l' idea di Nepero e pubblicò nel 1617 (anno 
della morte di Nepero) un libro contenente i logaritmi in base  10  dei numeri da  1 a  1000 .

I logaritmi in base  10  sono detti logaritmi decimali o volgari e venivano usati per "velocizzare" i calcoli 


prima dell'avvento delle calcolatrici e dei computer.

Il grande matematico svizzero Eulero (Leonhard Euler, 1701-1783) introdusse successivamente il numero 


irrazionale  e = 2,718 ... che chiamò numero di Nepero in onore dell'inventore dei logaritmi.

Egli pose questo numero come base dei logaritmi che per questo vengono chiamati logaritmi neperiani


naturali.

Il perché fu introdotto un tale numero così "complicato" a fungere da base per i logaritmi, è da ricercarsi


nelle particolari ed importanti proprietà analitiche che la funzione logaritmo naturale ha (le vedremo in 
seguito quando studieremo le derivate).

08 - Numero di Nepero.

Il numero di Nepero  e  può essere definito nei seguenti modi :

        - 1 -    Come limite della successione :

                           

                   ovvero il limite della successione :

                              ;    ;    ;  ecc. ecc.

                   per  n  tendente all'infinito.

        - 2 -    Come limite della sommatoria (serie) :

                           

                   ovvero :

                            .

In futuro approfondiremo i concetti di limite, successione e serie.



09 - Potenze a esponente frazionario.

Le radici possono essere espresse in forma di potenze ad esponente frazionario. Per esempio :

        .

Il perché di questo risulta molto semplice se si considera che la radice è l'operazione inversa della 


potenza e se si estende la proprietà della potenza di potenza agli esponenti frazionari :

        .

Analogamente si ha :

        , , .

In generale si ha :

        .

dove  a  indica un numero.

Fine. 


Funzioni elementari



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